1、突破 10 牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“ 恰好 ”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间” 、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。(3)若题目中有“最大”、“ 最小 ”、“至多”、“至少” 等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度” 等，即是求收尾加速度或收尾速度。二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态 临界条件速度达到最大 物体所受的合外力为零两物体刚好分离 两物体间的弹力
2、 FN0绳刚好被拉直 绳中张力为零绳刚好被拉断 绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、 解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程( 包括分析整体过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。挖掘临界条件是解题的关键。如例 5 中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度 a。【典例 1】如图所示，37 ，m2 kg，斜面光滑，g 取 10 m/s2，斜面体以 a20 m/s2 的加速度沿水平面向右做匀加速直线运动时，细绳对物体的拉力为多大？【答案】【解析】 设 m 处在这种临
3、界状态，则此时 m 对斜面体的压力为零由牛顿第二定律可知，临界加速度 a0g cot10 Error! m/s2Error! m/s2.将临界状态的加速度 a0 与题设给出的加速度进行比较，知 aa0，所以 m 已离开斜面体，此时的受力情况如图所示，由平衡条件和牛顿第二定律可知：Tcosma，Tsinmg.注意：a0 ，所以【典例 2】如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为 的固定斜面，斜面上放一质量为 m 的光滑球。静止时，箱子顶部与球接触但无压力。箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为 a 的匀减速运动直至静止，经过的总路程为 s，运动过程中的最大速度为 v。(1)求箱子
4、加速阶段的加速度大小 a；(2)若 agtan ，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力。FNsin ma解得 Fm( Error!g)【典例 3】如图所示，将质量 m1.24 kg 的圆环套在固定的水平直杆上，环的直径略大于杆的截面直径，环与杆的动摩擦因数为 0.8。对环施加一位于竖直平面内斜向上与杆夹角 53的恒定拉力 F，使圆环从静止开始做匀加速直线运动，第 1 s 内前进了 2 m。( 取 g10 m/s 2，sin 53 0.8，cos 530.6) 求：(1)圆环加速度 a 的大小；(2)拉力 F 的大小。【答案】 (1)4 m/s 2 (2)12 N 或 124 N【解析】 (1
5、)圆环做匀加速直线运动，由运动学公式可知 xError!at 2aError!Error! m/s 24 m/s 2(2)令 Fsin 53mg0，则 F15.5 N当 F15.5 N 时，环与杆上部接触，受力如图甲所示。甲乙由牛顿第二定律可知 Fcos F NmaFsin F Nmg由此得 FError! 124 N【跟踪短训】1. 如图甲所示，A、B 两物体叠放在一起放在光滑的水平面上，B 物体从静止开始受到一个水平变力的作用，该力与时间的关系如图乙所示，运动过程中 A、B 始终保持相对静止。则在 02t 0 时间内，下列说法正确的是 ( )A.t0 时刻，A、B 间的静摩擦力最大，加速度
6、最小B.t0 时刻，A、B 的速度最大C.0 时刻和 2t0 时刻，A、B 间的静摩擦力最大D.2t0 时刻，A、B 离出发点最远，速度为 0【答案】 BCD【解析】 t0 时刻，A、B 受力 F 为 0，A、B 加速度为 0，A、B 间静摩擦力为 0，加速度最小，选项 A 错误；在 0 至 t0 过程中，A、B 所受合外力逐渐减小，即加速度减小，但是加速度与速度方向相同，速度一直增加，t 0 时刻 A、B 速度最大，选项 B 正确；0 时刻和 2t0 时刻 A、B 所受合外力 F 最大，故 A、B 在这两个时刻加速度最大，为 A 提供加速度的 A、B 间静摩擦力也最大，选项 C 正确；A、B
7、 先在 F 的作用下加速，t 0 后 F 反向，A、B 继而做减速运动，到 2t0 时刻，A、B 速度减小到 0，位移最大，选项 D 正确。2. 如图所示，在水平向右运动的小车上，有一倾角为的光滑斜面，质量为m的小球被平行于斜面的细绳系住并静止在斜面上，当小车加速度发生变化时，为使球相对于车仍保持静止，小车加速度的允许范围为多大？ 【答案】a 向左时，a gtan；a 向右时，a gcot3. 一根劲度系数为 k，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为 m 的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度如图所示现让木板由静止开始以加速度a(a g)匀加速向下移动求经过多长时间木板开始与
8、物体分离【答案】4. 如图 (a)所示，一轻绳上端系在车的左上角的 A 点，另一轻绳一端系在车左端 B 点，B 点在 A 点正下方， A、B 距离为 b，两绳另一端在 C 点相连并系一质量为 m 的小球，绳AC 长度为 b，绳 BC 长度为 b.两绳能够承受的最大拉力均为 2mg.求：(1)绳 BC 刚好被拉直时如图(b)所示，车的加速度是多大？(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大？【答案】 (1)g (2)3 g【解析】 (1)绳 BC 刚好被拉直时，小球受力如图所示，因为 ABBC b，ACb，故绳 BC 方向与 AB 垂直，cos Error!，45，由牛顿第二定律，得 TA
9、sin ma，且 TAcos mg，可得 ag.(2)小车向左加速度增大，AC、BC 绳方向不变，所以 AC 绳拉力不变，BC 绳拉力变大，BC 绳拉力最大时，小车向左加速度最大，由牛顿第二定律，得 TBmT Asin ma m 因为TBm 2mg，所以最大加速度为 am3g. 5. 如图所示，一直立的轻杆长为 L，在其上、下端各紧套一个质量分别为 m 和 2m 的圆环状弹性物块 A、B。A 、B 与轻杆间的最大静摩擦力分别是 Ff1mg 、F f22mg，且滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等。杆下方存在这样一个区域：当物块 A 进入该区域时受到一个竖直向上的恒力 F 作用，而 B 在该区域运动
10、时不受其作用，PQ、MN 是该区域上下水平边界，高度差为 h(L2h)。现让杆的下端从距离上边界 PQ 高 h 处由静止释放，重力加速度为 g。(1)为使 A、B 间无相对运动，求 F 应满足的条件。(2)若 F 3mg，求物块 A 到达下边界 MN 时 A、B 间的距离。【答案】 (1)FError!mg (2) LError!hvA当 F3mg 时，A 相对于轻杆向上滑动，设 A 的加速度为 a1，则有：mgF f1F ma 1，解得：a 1gA 向下减速运动位移 h 时，速度刚好减小到零，此过程运动的时间tError!由于杆的质量不计，在此过程中，A 对杆的摩擦力与 B 对杆的摩擦力方向
11、相反，大小均为 mg，B 受到杆的摩擦力小于 2mg，则 B 与轻杆相对静止，B 和轻杆整体受到重力和 A对杆的摩擦力作用，以 vA 为初速度，以 a2 为加速度做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律可得：a2Error!Error!物块 A 到达下边界 MN 时 A、B 之间的距离为：LLh(v AtError!a 2t2)LError!h。6. 中央电视台推出了一个游戏节目推矿泉水瓶选手们从起点开始用力推瓶一段时间后，放手让瓶向前滑动，若瓶最后停在桌上有效区域内，视为成功；若瓶最后不能停在桌上有效区域内或在滑行过程中倒下，均视为失败其简化模型如图所示，AC 是长度为L15 m 的水平桌面，选手
12、们可将瓶子放在 A 点，从 A 点开始用一恒定不变的水平推力推瓶，BC 为有效区域已知 BC 长度为 L21 m ，瓶子质量为 m0.5 kg，瓶子与桌面间的动摩擦因数 0.4. 某选手作用在瓶子上的水平推力 F20 N，瓶子沿 AC 做直线运动(g 取 10 m/s2)，假设瓶子可视为质点，那么该选手要想游戏获得成功，试问：(1)推力作用在瓶子上的时间最长不得超过多少？(2)推力作用在瓶子上的距离最小为多少？【答案】 (1)Error! s (2)0.4 m(2)要想游戏获得成功，瓶滑到 B 点速度正好为零时，推力作用距离最小，设最小距离为 d，则：Error! Error!L 1L 2v22a 1d，联立解得：d0.4 m.
