1、专题对点练 24 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题1.已知动圆 M 恒过点(0,1), 且与直线 y=-1 相切.(1)求圆心 M 的轨迹方程 ;(2)动直线 l 过点 P(0,-2),且与点 M 的轨迹交于 A,B 两点,点 C 与点 B 关于 y 轴对称,求证:直线 AC 恒过定点.2.已知椭圆 : +y2=1(a1)与圆 E:x2+ =4 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 ,圆 E 交 y 轴负半轴22 (-32)23于点 D.(1)求椭圆 的离心率;(2)过点 D 的直线交椭圆 于 M,N 两点,点 N 与点 N关于 y 轴对称,求证:直线 MN过定点,并求该定点坐标.3.已知抛
2、物线 E:y2=4x 的焦点为 F,圆 C:x2+y2-2ax+a2-4=0,直线 l 与抛物线 E 交于 A,B 两点,与圆 C 切于点 P.(1)当切点 P 的坐标为 时,求直线 l 及圆 C 的方程;(45,85)(2)当 a=2 时,证明:|FA|+|FB|-|AB|是定值,并求出该定值.4.设点 M 是 x 轴上的一个定点,其横坐标为 a(aR),已知当 a=1 时,动圆 N 过点 M 且与直线 x=-1 相切,记动圆 N 的圆心 N 的轨迹为 C.(1)求曲线 C 的方程;(2)当 a2 时,若直线 l 与曲线 C 相切于点 P(x0,y0)(y00),且 l 与以定点 M 为圆心
3、的动圆 M 也相切,当动圆 M 的面积最小时,证明:M,P 两点的横坐标之差为定值.5.已知椭圆 M: =1(ab0)的焦距为 2 ,离心率为 .22+223 32(1)求椭圆 M 的方程 ;(2)若圆 N:x2+y2=r2上斜率为 k 的切线 l 与椭圆 M 相交于 P,Q 两点,OP 与 OQ 能否垂直?若能垂直,请求出相应的 r 的值;若不能垂直 ,请说明理由.6.已知椭圆 =1(ab0)的右焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,已知|AB|= |OF|,且AOB 的面22+223积为 .2(1)求椭圆的方程;(2)直线 y=2 上是否存在点 Q,使得从该点向椭圆所引的两条切线相互垂直
4、 ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.专题对点练 24 答案1.(1)解 动点 M 到直线 y=-1 的距离等于到定点 C(0,1)的距离 , 动点 M 的轨迹为抛物线,且 =1,解得 p=2, 动点 M 的轨迹方程为 x2=4y.(2)证明 由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(-x2,y2).联立 化为 x2-4kx+8=0,=16k2-320,解得 k 或 k0,x1+x2=- ,x1x2= ,2-42 22|AB|= 1+2 (1+2)2-412=1+2 (-2-42 )2-422=1+2 -16+1
5、62=1+2 422=4(2+22)2= ,4(4-4+22)2 =4-22由抛物线的性质可知|FA|+|FB|=x 1+x2+p=x1+x2+2, |FA|+|FB|=- +2,2-42 |FA|+|FB|-|AB|=- +2- =2,2-42 4-22 |FA|+|FB|-|AB|是定值,定值为 2.4.(1)解 因为圆 N 与直线 x=-1 相切,所以点 N 到直线 x=-1 的距离等于圆 N 的半径,所以点 N 到点 M(1,0)的距离与到直线 x=-1 的距离相等.所以点 N 的轨迹为以点 M(1,0)为焦点,直线 x=-1 为准线的抛物线,所以圆心 N 的轨迹方程,即曲线 C 的方
6、程为 y2=4x.(2)证明 由题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0),由 -0=(-0),2=4 得 y2-y-kx0+y0=0,又 =4x0,所以 y2-y- +y0=0.20 420因为直线 l 与曲线 C 相切,所以 =1-k =0,解得 k= .(-420+0) 20所以直线 l 的方程为 4x-2y0y+ =0.20动圆 M 的半径即为点 M(a,0)到直线 l 的距离 d= .|4+20|16+420当动圆 M 的面积最小时,即 d 最小,而当 a2 时,d= 2 .|4+20|16+420=20+4220+4=20+4+4-4220+4 =2
7、0+42 +4-4220+4 -1当且仅当 =4a-8,即 x0=a-2 时取等号,20所以当动圆 M 的面积最小时 ,a-x0=2,即当动圆 M 的面积最小时,M,P 两点的横坐标之差为定值 .5.解 (1)依题意椭圆 M: =1(ab0)的焦距为 2 ,离心率为 .22+22 3 32得 c= ,e= ,可得 a=2,则 b=1,3=32故椭圆的方程为 +y2=1.24(2)设直线 l 的方程为 y=kx+m, 直线 l 与圆 x2+y2=1 相切 , =r,即 m2=r2(k2+1). |2+1由 可得(1+4k 2)x2+8kmx+4m2-4=0,=+,24+2=1=64k2m2-4(
8、1+4k2)(4m2-4)=64k2-16m2+160, m2b0)的右焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,已知|AB|= |OF|,且AOB22+22 3的面积为 ,2 c, ab= , a=2,b= ,2+2=3 2 2 椭圆方程为 =1.24+22(2)假设直线 y=2 上存在点 Q 满足题意,设 Q(m,2),当 m=2 时,从点 Q 所引的两条切线不垂直.当 m2 时,设过点 Q 向椭圆所引的切线的斜率为 k,则 l 的方程为 y=k(x-m)+2,代入椭圆方程,消去 y,整理得(1+2k 2)x2-4k(mk-2)x+2(mk-2)2-4=0, =16k2(mk-2)2-4(1+2k2)2(mk-2)2-4=0, (m2-4)k2-4mk+2=0.设两条切线的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2是方程(m 2-4)k2-4mk+2=0 的两个根, k1k2= =-1,22-4解得 m= ,点 Q 坐标为( ,2)或(- ,2).2 2 2 直线 y=2 上两点( ,2),(- ,2)满足题意.2 2
