1、2.5 指数与指数函数最新考纲 考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10， 的指数函数的图象12 134.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是 (a0，m，nN *，且 n1)于是，在mnnam条件 a0，m， nN *，且 n1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂
2、的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a0，m，nN *，且 n1).0 的n1正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：a rasa rs ，(a r)sa rs，(ab) ra rbr，其中 a0，b0，r，sQ.2指数函数的图象与性质ya x a1 00 时，y1；当 x0 时，01性质(6)在( ，) 上是增函数(7)在( ， )上是减函数知识拓展1指数函数图象的画法画指数函数 ya x(a0，且 a1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ， .( 1，1a)2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)ya x，(2)y
3、 b x，(3)yc x，(4)yd x的图象，底数 a，b，c ，d 与 1 之间的大小关系为 cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数ya x(a0，a 1)的图象越高，底数越大3指数函数 ya x(a0，a1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特别注意应分 a1 与0a1 来研究题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打 “”或“”)(1) ( )na(nN *)( )nan na(2)分数指数幂 可以理解为 个 a 相乘( )mmn(3)函数 y32 x与 y2 x1 都不是指数函数( )(4)若 ama n(a0，且 a1)，则 mn.( )(5)函数
4、y2 x 在 R 上为单调减函数( )题组二 教材改编2P59A 组 T4化简 (x0，y0)_.416x8y4答案 2x 2y3P56 例 6若函数 f(x)a x(a0，且 a1) 的图象经过点 P ，则 f(1)_.(2，12)答案 2解析 由题意知 a 2，所以 a ，12 22所以 f(x) x，所以 f(1) 1 .(22) ( 22) 24P59A 组 T7已知 a ，b ，c ，则 a，b，c 的大小关系是35434()_答案 c 0，13()4(35)即 ab1，又 c 0)的值是_a3a5a4答案 170解析 .a3a5a4 341521425a702计算： 10( 2)
5、1 0_.37()8120.5答案 1679解析 原式 2 1，( 32) 125010 5 2 5 2 5 2 10 10 201 .49 5 5 16793(2017兰州模拟)化简： _.(a0)41232332 538()abbaa答案 a 2解析 原式111213333223 5()()()ababa a 2.51163313()aba思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有
6、负指数题型二 指数函数的图象及应用典例 (1)函数 f(x)1e |x|的图象大致是( )答案 A解析 f(x) 1e |x|是偶函数，图象关于 y 轴对称，又 e|x| 1，f (x)0.符合条件的图象只有 A.(2)若曲线|y| 2 x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_答案 1,1解析 曲线|y| 2 x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知，如果 |y|2 x1 与直线yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象
7、通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练 (1)已知实数 a，b 满足等式 2018a2019 b，下列五个关系式：03.又 a0)，则 yt 22t 的单调增区间为1，)，令 2x1，得 x0，又 y2 x在 R 上单调递增，所以函数 f(x)4 x2 x1 的单调增区间是0，) 命题点 3 指数函数性质的综合应用典例已知函数 f(x) .243ax(1)若 a1，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值；(3)若 f(x)的值域是 (0，)，求 a 的值解 (1)当 a1 时，f (x) ，2431x 令
8、 ux 24x3(x 2) 27.则 u 在(，2)上单调递增，在(2，) 上单调递减，而 y u在 R 上单调递减，(13)所以 f(x)在(，2)上单调递减，在(2，) 上单调递增，即函数 f(x)的单调递增区间是(2，) ，单调递减区间是(，2) (2)令 h(x)ax 24x 3，y h(x)，由于 f(x)有最大值 3，所以 h(x)应有最小值1，(13)因此必有Error!解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值为 1.(3)由 f(x)的值域是 (0，)知，ax 24x3 的值域为 R，则必有 a0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是
9、“同底”原则(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 (1)已知函数 f(x)Error!的值域是8,1，则实数 a 的取值范围是( )A(，3 B 3,0)C3，1 D 3答案 B解析 当 0x4 时，f( x)8,1，当 ax0 时，f( x) ， (12)a， 1) 8,1， 12a， 1)即8 1，即3a0，12a实数 a 的取值范围是3,0)(2)(2017江淮十校第三次联考) 函数 f(x)x 2bx c 满足 f(x1)f(1x )，且 f(0)3，则f(bx)与 f(cx)的大小
10、关系是( )Af(b x)f( cx) Bf(b x)f (cx)Cf(b x)f(c x) D与 x 有关，不确定答案 A解析 f(x1)f(1x )，f(x)关于 x1 对称，易知 b2，c3，当 x0 时，b 0c 01，f(b x)f(c x)，当 x0 时，3 x2 x1，又 f(x)在(1，)上单调递增，f(b x)0，a1)在区间 上有最大值 3，最2x 32，0小值 ，试求 a，b 的值52错解展示：现场纠错解 令 tx 2 2x(x1) 2 1，x ，t1,0 32，0若 a1，函数 f(t)a t在1,0上为增函数，a t ，ba ，1a，1 2x b 1a，b 1依题意得
11、Error!解得Error!若 01，b1，b0C00D01，a0，a1)满足 f(1) ，则 f(x)的单调递减区间是( )19A(，2 B2 ，)C2，) D(，2答案 B解析 由 f(1) 得 a2 ，19 19所以 a 或 a (舍去)，即 f(x) |2x4| .13 13 (13)由于 y|2x4|在(，2 上单调递减，在2，)上单调递增，所以 f(x)在(，2上单调递增，在2，) 上单调递减故选 B.7已知函数 f(x)a x (a0，且 a1)，且 f(2)f(3) ，则 a 的取值范围是_答案 (0,1)解析 因为 f(x)a x x，且 f(2)f(3) ，(1a)所以函数
12、 f(x)在定义域上单调递增，所以 1，解得 0 x4 的解集为_2x (12)答案 (1,4)解析 原不等式等价为 2x 4 ，2x 又函数 y2 x为增函数，x 22xx4，即 x23x40 且 a1)的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是_答案 (0，12)解析 (数形结合法)当 01 时，解得 01 矛盾12综上，a 的取值范围是 .(0，12)10当 x2,2时，a x0，且 a1) ，则实数 a 的取值范围是_答案 (1 ， )(22，1) 2解析 当 x2,2时，a x0，且 a1) ，若 a1，ya x是增函数，则有 a2 或 a0，a1)的图象经过点 A(1,6)，B(3,
13、24)(1)求 f(x)的表达式；(2)若不等式 x xm0 在(，1 上恒成立，求实数 m 的取值范围(1a) (1b)解 (1)因为 f(x)的图象过 A(1,6)，B(3,24) ，所以Error!所以 a24，又 a0，所以 a2，b3.所以 f(x)32 x.(2)由(1)知 a2，b3，则 x( ，1时， x xm0 恒成立，(12) (13)即 m x x在(，1上恒成立(12) (13)又因为 y x与 y x均为减函数，所以 y x x也是减函数，所以当 x1 时，y(12) (13) (12) (13)x x有最小值 .所以 m .即 m 的取值范围是 .(12) (13) 56 56 ( ，5613已知 yf(x )是定义在 R 上的奇函数且当 x0 时，f(x) ，则此函数的值域为14x 12x_答案 14，14解析 设 t ，当 x0 时，2 x1，00，x 1.(2)当 t1,2时，2 t m 0，(22t 122t) (2t 12t)即 m(22t1) (2 4t1)，2 2t10， m(2 2t1) 恒成立，t1,2 ，(2 2t1) 17，5，故实数 m 的取值范围是5，)
