1、第一节排列与组合,知识点一分类加法计数原理、分步乘法计数原理,1.分类加法计数原理：完成一件事可以有n类方法，在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，在第n类方法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法.,m1m2mn,2.分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法.,m1m2mn,3.注意的问题：(1)使用分类加法计数原理应注意：,分类时标准要明确，分类应做到不重不漏.(2)应用分步乘法计数原理应注意：明确题目中所指的“完成一件
2、事”是什么事，必须要经过几步才能完成这件事；完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了才算完成这件事，缺少任何一步，这件事都不可能完成；解决分步问题时要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰，还要注意元素是否可以重复选取.,一个易错点：两个基本原理不清致误.,(1)切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还要需要分步进行.分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取两本不同类的书，共有_种不同的取法.,解析分三类，第一类：取数学书和语文书，有10990(种)；第二类：取数学书
3、和英语书，有10880(种)；第三类：取语文书和英语书，有9872(种)，故共有908072242(种).,答案242,知识点二排列与组合.,一定的顺序,合成一组,一个区别：排列与组合.,(2)排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”.取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关则是组合从2，3，5，7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则mn_.,答案12,一个易错点：均匀分组与不均匀分组混淆致误.,答案90,一个做题技巧：间接法.,(4)按照“正难则反”的原则，如果正面问题分类较多，情况复杂或计算量较大，可以从反面入手解决，但
4、应做到不重不漏正六边形顶点和中心共7个点，可组成_个三角形.,答案32,一个解题思路,(5)求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类排加，分步相乘”某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数有_.,答案70,常见的解题策略有以下几种：(1)特殊元素优先安排的策略；(2)合理分类与准确分步的策略；(3)排列、组合混合问题先选后排的策略；(4)正难则反、等价转化的策略；,有限制条件的排列问题或组合问题求解策略,(5)相邻问题捆绑处理的策略；(6)不相邻问题插空处理的策略；(7)定序问题除法处理的策略；(8)分排问题直排处
5、理的策略；(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略.,【例1】 有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.,点评由于排列、组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决问题的方案是否完备，有无重复或遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看结果是否相同.,排列组合综合应用问题的注意事项,排列、组合的综合应用突破方略
6、,(1)排列组合综合的题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列，其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.(2)解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求，分清完成该事情是分类还是分步，“类”间相互独立，“步”间相互联系.,【例2】 (1)(2015河南郑州二模)某校开设A类选修课2门；B类选修课3门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中至少选一门，则不同的选法共有()A.3种 B.6种 C.9种 D.18种(2)(2016山东枣庄4月模拟)有5本不同的书，其中语
7、文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地摆成一排，则同一科目的书均不相邻的摆法有_种(用数字作答),答案(1)C(2)48,点评计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的元素是“排成一列”还是“合成一组”，不能将二者混淆，若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数.解题时注意间接法的运用.,两个基本原理的应用,【示例】 用0，1，2，3，4，5，6这7个数字可以组成_个无重复数字的四位偶数.(用数字作答),解析要完成的“一件事”为“组成无重复数字的四位偶数”，所以千位数字不能为0，个位数字必须是偶数，且组成的四位数中四个数字不能重复，因此应先分类，
8、再分步.第1类，当千位数字为奇数，即取1，3，5中的任意一个时，个位数字可取0，2，4，6中的任意一个，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.,根据分步乘法计算原理，有3454240(种)取法.第2类，当千位数字为偶数，即取2，4，6中的任意一个时，个位数字可以取除首位数字的任意一个偶数数字，百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位数字不能取与这三个数字重复的数字.根据分步乘法计算原理，有3354180(种)取法.根据分类加法计算原理，共可以组成240180420(个)无重复数字的四位偶数.,答案420,方法总结两个计数原理应用规律.第一步，由于计数问题一般是解决实际问题，故要先审清题意，弄清要完成的事件是怎样的；第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类四类中的哪一种；第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数；第四步，根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理计算出完成这件事的方法种数.,
