1、算法案例,辗转相除法 更相减损术 秦九韶算法 进位制,辗转相除法,1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数 （2）求49和63的最大公约数,2、求8251和6105的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105
2、=21462+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程
3、序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给顶两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,98633
4、5 633528 35287 28721 21714 1477,所以，98和63的最大公约数等于7,秦九韶算法,这种算法用了几次乘法？几次加法？,这种算法用了几次乘法？几次加法？,5次乘法，5次加法.,进位制是人们为了计数和运算便而约定的记数系统.“满十进一”就是十进制，“满二进一”就是二进制，“满k进一”就是k进制，因此k进制需数k个数字.,进位制,一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：,3721=3103+7 102+2 101+1 100,110011(2)=125+1 24+ 023+0 22 + 121+1 20,7342(8)=
5、783+3 82+4 81+280,将k进制数转为十进制数：,例 把二进制数110011(2)化为十进制数.,解：110011(2)=125+1 24+ 023+0 22 + 121+1 20=51,练习：把下列数化为十进制数,(1) 1011010(2),(2) 10212(3),(3) 2376(3),将十进制数转为k进制数：,除k取余法,例 把89化为二进制数.,例 把89化为五进制数.,除2取余法,除5取余法,2、十进制转换为二进制,例2 把89化为二进制数,5,2,2,2,1,2,0,1,0,余数,11,22,48,89,2,2,2,2,0,1,1,0,1,注意： 1.最后一步商为0， 2.将上式各步所得的余数从下到上排列，得到：89=1011001（2）,练习,将下面的十进制数化为二进制数？,（1）10,（2）20,（3）128,（4）256,例 把89化为五进制数,3、十进制转换为其它进制,解：,根据除k取余法,以5作为除数，相应的除法算式为：,所以，89=324（5）。,练习：完成下列进位制间的转化,(1) 154(6)=_ (7),(2) 412(5) =_ (7),(3) 119(10)=_ (6),
