1、内容与学时,第一章 随机事件及其概率,第二章 随机变量及其分布,第三章 随机变量的数字特征,第四章 随机变量函数的数字特征,第五章 大数定律与中心极限定理,第六章 样本及抽样分布,第七章 参数估计,第八章 假设检验,(18学时) 数理统计,(30学时) 概 率 论,二、参考学习书目：,概率论与数理统计,概率论与数理统计学习辅导与习题解答,浙江大学二、三版 高教出版社出版,自然界和社会中有两类现象：,确定性现象：在一定条件下必然发生（或不发生）的现象,例 抛一石子必然落下；,（结果可以事先预言的）,随机现象：,（结果不可事先预言）,例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；,在每次观察中具有偶然
2、性，而在大量的重复,绪 言,同性电荷必不互相吸引；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,观察中具有某种统计规律性的现象。,研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。,第一章,第一节,随机事件及概率,一、随机试验,二、随机事件与样本空间,三、事件间的关系及其运算,一、随机试验,对随机现象进行观察的试验，具有以下特点：,1、可以在相同的条件下重复进行；,2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；,3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。,E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。,例：,E2 : 将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。,E4:在一批灯泡
3、中任取一只,测试它的寿命。,E3 :记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、随机事件与样本空间,定义1,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E,的样本空间,记为 ,样本空间的元素,即E的每个结果，,称为样本点,记为e。,例如上页引例中：,= H,T ,=HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT,可列无穷个,=0,1,2,3,= t | t0,连续、 不可列,. 样本空间,1,2,3,4,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例：,将一枚硬币连抛三次,1) 观察正反面出现的情况,2) 观察正面出现的次数,. 随机事件,定义2,样本空间
4、中的子集称为随机事件，简称事件，,一般记为 A, B, C等。,A 点数之和为7 ,例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，,注意：,=11,12,13, ,61, ,66,A=16,25,34,43,52,61,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特殊随机事件：,3. 基本事件：,一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果）,1. 必然事件：,每次试验中必然发生的事件,记为。,2. 不可能事件：,每次试验一定不发生的事件,记,事件A发生,A中的某一个样本点在试验中出现,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 包含、相等关系,A发生必然导致B发生,1.事件的关系,三、事件间的关系及其运
5、算,事件B包含事件A,A与B相等，,记为 A=B。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事件的和,A和B的和事件,表示A与B中至少有一个发生，即：,A与B中至少有一个发生时，,发生。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事件的积,表示事件A和B同时发生， 即：,A与B的积事件,当且仅当A与B同时发生时，,通常简记为AB。,发生。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,事件的差,A-B 表示事件A发生但事件B不发生,但,互斥事件(互不相容),，则称A,B为互不相容事件,即：AB不能同时发生。,对立事件(逆事件),A与B的差事件,且,，则称事件A与B互为逆事件,或互为对立事件。,A的对立事件记为,=
6、-A。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2 .事件的运算法则,交换律,；,结合律,分配律,德摩根律：,；,推广：,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,，,注：事件的一些关系式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件,(1) A 发生, B 与C 不发生,(2) A 与B 发生, C 不发生,(3) A, B 与C 都发生,(4) A, B 与C 至少有一个发生,(5) A, B 与C 全不发生,(6) A, B 与C 至少有两个发生,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,在掷子的试验中, 样本空间,事件A 出现偶数点 ,事件B 出
7、现奇数点,事件C 出现点数大于4 ,事件D 点数大于5,求:,解:, A=2,4,6 , B=1,3,5 , C=5,6D=6,二、概率的统计定义,一 、频率,第二节 概 率的定义及性质,三、概率的公理化定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大,量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律，,频率这一概念近似反映了这个数量规律。,1.定义 1 设 E, A为E中某一事件，在相同条件进行,n次独立重复试验，事件A发生的次数记为,称为A的频率。(frequency),2. 性质：,一、频率,则比值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论：当n较小时，
8、频率呈偶然性，波动性很大；,随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,这种称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，,频率稳定值,注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动范围越小。,即概率的统计定义。,二、概率（概率的公理化定义）,1.定义 设 E, ,对于E的每一事件A，赋予一个实数，,记为P(A),称为事件A的概率,如果P( )满足以下三个公理：, 非负性：, 规范性：, 可列可加性：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 性质：,故由可列可加性,有限可加性,，则,证明 取,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,且 A
9、和 BA互不相容,得式成立；,机动 目录 上页 下页 返回 结束,证明,推广：,(加法公式),机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示：可用归纳法证明,例1. 已知,证明:,例2、,解：,例3 某人外出旅游两天，据天气预报知：,第一天下雨的概率为0.6，第二天下雨的概率为0.3，,两天都下雨的概率为0.1,试求下列事件的概率：,(2) 第一天不下雨，第二天下雨,(4) 两天都不下雨；,(1) 第一天下雨，第二天不下雨,(3) 至少有一天下雨,解：设A第一天下雨，B第二天下雨,则,(5) 至少有一天不下雨,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1),(2),(3),(4),(5),机动 目录 上
10、页 下页 返回 结束,例2 (订报问题) 在某城市中，共发行三种报纸A，B，,C，订购A，B，C的用户占用分别为45%，35%，30%，,同时订购A，B的占10%，同时订购A，C的占8%，同,时订购B，C的占5%，同时订购A，B，C的占3%，试,求下列事件的概率：,(1) 只订购A的,(2) 只订购A，B的,(3) 只订购一种报纸的,(4) 只订购两种报纸的,(5) 至少订购一种报纸的,(6) 不订购任何报纸的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解 设A，B，C分别表示“用户订购A，B，C 报纸”,(1),(2),(3),两两互不相容的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4),两两互不相
11、容,(5),(6),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 已知,求 A,B,C 中至少有一个发生,解,的概率。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4 证明,证,例5,，求,解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6,，求,解,从定义出发求概率是不切实际的，下节将针对,特殊类型的概率求事件的概率。,第一章,第三节,古典概型和几何概型,一、等可能概型的定义,二、计算公式,三、计算方法,一、 古典概率模型,1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，,有限性 试验的样本空间中的元素只有有限个；,等可能性 每个基本事件的发生的可能性相同。,例：E1抛硬币,观察哪面朝上,2.计算公式：
12、,等可能概型也称为古典概型。,E2投一颗骰子，观察出现的点数,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 若事件A包含k个基本事件，即,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1 投两枚骰子，事件A“点数之和为3”，求,解 法一：出现点数之和的可能数值, 不是等可能的,法二：,36个,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2 投两枚骰子，点数之和为奇数的概率。,解 令A点数之和为奇数,法一，,36个,18个,法二，所有可能结果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶),A=(奇,偶)，(偶,奇), 说明样本空间的选取可以不同，但必须保证等可能。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.方法：
13、,构造A和的样本点(当样本空间的元素,较少时，先一一列出和A中的元素，直,用排列组合方法求A和的样本点个数,预备知识,. 加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有,种方法。,.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有,，则完成该项工作一共有：,种方法。,种方法（i=1,2,m),机动 目录 上页 下页 返回 结束,.排列：,从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，,进行排列，共有,种方法。,次排成一列，称为可重复排列，一共有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,. 组合,从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，,组合数为,或,例：袋中有三个球，标号1,2,3，任取两次, 无放
14、回，考虑顺序,12,13,21,23,31,32,无放回，不考虑顺序,12,13,23, 有放回，考虑顺序,11,12,13,21,22,23,31,32,33,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3 6只不同球(4白2红)，从袋中依次取两球，观察其,(1) “取到的两只球都是白球”,(2) “取到的两只球颜色相同”,(3) “取到的两只球中至少有一个是白球”,解 a.,(1),(2),求下列事件的概率：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若直接考虑：,(1),(2),(3),b.无放回,(考虑先后顺序),思考：如果不考虑顺序呢？,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,某教研室共有1
15、1 名教师, 其中男教师7 人, 现,在要选 3 名优秀教师, 问其中至少有一女教师概率,解,(方法一),设 A = “ 3 名优秀教师中至少有一名女教师”,= “ 3 名优秀教师中恰有 名女教师”,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法二 设 A = “ 3 名优秀教师全是男教师”,注：在使用排列组合时，分子分母要保持一致。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6 (分房问题) 将r个球随机地放入n(nr)个盒子中，,设各个球放入每个盒子是等可能的，,解,求：每个盒子至多有一个球的概率。,将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件,例5 袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的
16、一只只,摸出来，求第i个人摸出的是黑球的概率。,解 将k个人取球的每一种取法看成一个样本点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7(生日问题) 设每个人的生日在一年365天中的任一,(1) 他们的生日各不相同的概率为多少？,(2) n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？,解 (1) 设 A= “n个人的生日各不相同”,(2) 设 B = “n个人中至少有两个人生日相同”,当 n 等于64时，在64人的班级中，B发生的概率,接近于1，即 B几乎 总是会出现。,二、几何概率,例如：我们在一个面积为 的区域 中，等可能地任意投点，这就是一个几何概型。这里等可能的确切意义是这样的：设在区域 中有
17、任意一个小区域A，如果它的面积为 ，则点落入A中的可能性大小与 成正比，而与A的位置及形状无关，如果“点落入小区域A”这个随机事件仍然记作A，则 由 可得,这一类概率通常称作几何概率.,定义：一个试验具有下列两个特征：,（1）每次试验的结果是无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示,（2）每次试验的各种结果是等可能的,这样的试验称为几何概型 。,定义：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，仍记为 ，事件A所对应的区域仍以A表示 ，则定义事件A的概率为,这个定义称为概率的几何定义，由 式确定的概率称为几何概率。,例8 某公共汽车站每隔5分钟来一辆汽车，设乘客在间隔的两辆车之间的任一
18、时刻都可能到达车站，试求乘客等车不超过3分钟的概率。,解：设A=“乘客等车不超过3分钟”,例9 从 中随机地取两个数，求其积不小于 ，其和不大于1的概率。,解： 设所取的两个数为x、y，则样本空间为,设A=“两数其积不小于 ，其和不大于1”，,例10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船停泊的时间是一小时，乙船停泊的时间是两小时，求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率。,解：设甲、乙两艘轮船到达码头的时刻分别为x,y,由题意，若甲先到，则乙必须晚1小时到达，即,若乙先到，则甲必须晚2小时，即,如图中蓝色部分,设A=“它们中任何一艘都不
19、需要等候码头空出”，则,例11在三角形ABC中任取一点P，证明： 的面积之比大于 的概率为 .,证：如图,当点P落入 中时，,P,P,D,E,N,M,F,例12在线段AB上任取三点 求：,（1） 位于 与 之间的概率；,（2） 能构成一个三角形的概率。,解：,的长度分别为,点 位 与 之间，则必须满足 或,它是以O、E、F、G或O、A、B、E为顶点的两个四面体，,（2）设B=“ 能构成一个三角形”，,能构成一个三角形的充要条件是,它是一个以O、A、B、C、D为顶点的六面体，,其体积为,第四节 条件概率,一 条件概率,二 乘法公式,三 全概率公式,贝叶斯公式,第一章,(1) 抽中的是k的概率;,
20、(2) 若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。,解：,A 抽中的是红桃, B 抽中的是k,(1),(2),上述式子具有普遍性吗?,在古典概型中,一 条件概率,1、定义：,设 A，B为两事件，且,则称,为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。,则,2.,性质：条件概率类似满足概率的6条性质。,(1) 在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）,(2) 定义法,例1、 设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10% ,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品,的概率。,解,则由已知得,如引例,2、 条件概率的求法,定理 设,，则有,推广,其中,二、乘法公式,推广到n个事件，如果,则有,
21、一批零件共100件, 其中有10 件次品, 每次从其中任取,一个零件，取后不放回。试求：,2) 如果取到一个合格品就不再取下去，求在3 次,内取到合格品的概率。,1) 若依次抽取3 次, 求第3 次才抽到合格品的概率；,例2.,1),则,且互不相容,设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影,票,问各人获得此票的机会是否均等？,例3、,同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票,思考：如果是两张电影票呢？,三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式,定义,(1),(2),则称,注:对每次试验，,例如 设试验 E 为“掷骰子观察其点数”。样本空间为,而,不是划分。,1、全概率公式,
22、则有,证:,例4、,假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙,再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？,解 设 A 从乙中取到白球， B 从甲中取到白球,袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，,=,运用全概率 公式计算P(A),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、 贝叶斯公式,定理,设随机试验E的样本空间为 , A为E的任意,一个事件,为的一个划分, 且,则,，称此式为贝叶斯公式。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设某工厂甲, 乙, 丙 3 个车间生产同一种产品, 产量,依次占全厂的45, 35, 20,且各车间的合格品率为,0.96, 0.98, 0.9
23、5,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？,解,分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，,设 A 表示“任取一件产品为次品”,由题意得,由贝叶斯公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以该产品是甲车间生产的可能性最大。,用全概率公式求,得,例6、,某炮台有3门炮，第1、2、3门炮的命中率分别为0.4，,0.3，0.5，3门炮各发射一枚炮弹，如果有两枚命中目标，,求第1门炮命中目标的概率。,解：,A两枚命中目标，,B第1门炮命中目标,例7、,A某种临床试验呈阳性,B被诊断者患有癌症,根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性,的概率为0.95，而正常人该试验
24、成阴性的概率为0.95， 已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，,如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？,解,由题，已知,注：,样本空间划分的寻找,1、直接找题目中概率相加等于1的事件;,2、从问题分析，看影响问题的是什么事件。,第五节 独立性与贝努里概型,引例：,E 掷两枚硬币，观察正反面的情况,A 甲币出现H ， B 乙币出现H,由此看出,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一 、两个事件相互独立,定义1,设A、B是两个事件，如果有如下等式成立,则称事件A、B相互独立。,定理,设 A、B是两个事件, 若,，则A、B 相互独立的充分必要条件,为, 若A、B 相互独立,
25、机动 目录 上页 下页 返回 结束,证,相互独立,则有,反之，由乘法公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,时，互不相容与相互独立,不能同时成立。,证,A、B互不相容,反之 A、B 相互独立,，故A、B不可能互不相容。,证：,其余同理可证。,当, 若A、B 相互独立,则,二、 多个事件的相互独立性,若下面四个等式同时成立,定义2,则称A, B, C相互独立，,如果只有前三个等式成立，则称A, B, C两两独立。,注：A,B,C相互独立,两两独立,反例：,现有四张卡片，第一张只写有1，第二张只写有2，,第三张只写有3，第四张写有1,2,3三个数字，现从中任取,一张卡片，卡片上出现什么数字
26、？,设 A 出现数字1，B出现数字2，C 出现数字3,显然，P(AB)=P(A)P(B)， P(AC)=P(A)P(C)， P(BC)=P(B)P(C),推广：,同时成立，,例1、,性质：,(1) 其中任意k个事件也相互独立;,若n个事件相互独立,其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的n个事件仍然相互独立。,甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率,分别为0.6，0.5，求飞机被命中的概率。,解：,A 甲击中飞机，B 乙击中飞机，C 飞机被击中,= 0.8,注：判断独立性问题时，可以根据具体问题分析， 或者题目会告知是否独立（如24页例6）。,例2、,对于例1，或者利用,利用德摩根律，
27、把求和事件的概率转化为求积事件的 概率，这种方法在解决独立性的问题中经常用到。,设某型号高炮命中率为0.6，现若干门炮同时发射,（每炮一发）,欲以99%以上的把握击中来犯的一架敌机，,至少需要配备几门炮？,解：设n为所需炮数，,所以至少需要配备6门高炮。,三、贝努利概型 定义： 若在同样条件下，将试验E重复进行n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果，则称这 n 次试验是相互独立的。 例3： 在同样条件下，抛掷一均匀硬币n次，易见每次投掷的结果，即不管出现“正面”或“反面”，均不会影响其它各次投掷结果，即此为 n 次重复且相互独立试验。 例4： 从一批灯泡中，任取n只作寿命试验，而每只灯泡的寿命结果不会影响其它灯泡的寿命结果，故此亦为n次重复且相互独立试验。,例5 袋中有3 个白球, 2个红球,有放回取球4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,解一 古典概型,设 B 表示4个球中恰有2个白球,解二 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A ，,有放回地取4个球看作做了 4 重 Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai,感兴趣的是 4 次试验中A 发生2次的概率,
