1、,111 引 言 112 对称弯曲正应力 113 惯性矩与平行轴定理 114 对称弯曲切应力简介 115 梁的强度条件 116 梁的合理强度设计 117 双对称截面梁的非对称弯曲 118 弯拉(压)组合强度计算,第 十一章 弯 曲 应 力,主要介绍：梁的弯曲正应力、梁的强度分析与设计、 弯拉(压)组合问题。,一、梁横截面上的内力和应力的对应关系,t = f1 (FS),正应力仅与弯矩有关,111 引 言,切应力仅与剪力有关,s = f2 (M),二、纯弯曲概念(Pure Bending),若,FS = FS(x) M = M(x),同时存在，,称为横力弯曲或剪切弯曲。,梁在弯曲变形的同时产生剪
2、切变形。,如简支梁的AC、BD段。,在梁的CD段中：FS = 0，M = 常量,即只有M 存在，没有剪力作用，称为纯弯曲。,纯弯曲：FS = 0，梁横截面上没有t，只有s 。,112 对称弯曲正应力,一、矩形横截面梁纯弯曲实验研究,纯弯曲实验：万能材料实验机上进行。,取矩形横截面梁实验：,梁表面作与梁轴线平行的纵向线代表纵向纤维；,与梁轴线垂直的横向线代表横截面。,在梁两端加弯矩 M，使梁产生纯弯曲变形。,观察现象：,1. 横向线仍为直线，但相对地转过 一个微小角度，仍与已弯曲成圆 弧线的纵向线垂直；,与轴向拉、压时变形相似。,2. 纵向线均弯曲成圆弧线，且靠近 凸面处伸长，靠近凹面处缩短；,
3、3. 在伸长区，梁宽度减小， 在缩短区，梁宽度增加。,伸长,缩短,二、假设,1. 梁弯曲平面假设,弯曲变形时：,2. 单向受力假设,由实验现象和假设可推知：,设想梁由许多层纵向纤维组成，弯曲时各纵向纤维处于单向受拉或单向受压状态。,梁弯曲变形后，横截面仍保持为平面，并仍与已变弯后的梁轴线垂直，只是绕该截面内某轴转过一个微小角度。,靠近梁顶面的纵向纤维受压、缩短；,靠近梁底面的纵向纤维受拉、伸长。,弯曲变形时，梁横截面是绕中性轴转动的。,从伸长到缩短的过程中，必存在一层纵向纤维既不伸长也不缩短，保持原来的长度。,由变形的连续形可知：,中性层：由既不伸长也不缩短的纵 向纤维组成。,中性轴：中性层与
4、梁横截面的交线。,中性层,中性轴,中性轴垂直于梁横截面的纵向对称轴。,1. 变形几何关系 正应变分布规律,二、弯曲正应力一般公式,取梁微段 dx 分析：,弯曲变形后：,设中性层曲率半径为 r。,横截面1-1、2-2仍保持为平面，,取坐标轴：y 轴，z 轴。,y 轴与截面对称轴重合；,z 轴与中性轴重合(位置未定)。,但各自绕中性轴转过一个角度，形成一夹角，为 dq ；,距中性层为 y 处纵向纤维 ab的变形：,弯曲前：,弯曲后：,中性层长度不变：,ab 的伸长：,ab 的正应变：,为横截面上正应变分布规律。,(a) 式表示：纵向纤维的正应变与其离中性层的距离 y 成正比。,在一定的 M 作用下
5、，r 为常数，, | y |， | e | 。,中性层下方，y 为正值，e 也为正值，表示为拉应变；,b,a,O2,O1,1,1,2,2,dq,r,中性层上方，y 为负值，e 也为负值，表示为压应变。,2. 物理关系 正应力分布规律,纵向纤维 间无相互挤压，ab单向受拉(压)，,由s =Ee ，将 (a)式带入，得,为横截面上正应力分布规律。,式中 E、r 为常数，,(b)式表示：横截面上某点的正应力与该点离中性层的距离 y 成 正比。,即横截面上正应力沿高度呈线性分布。,中性层下方，y 为正值， s 也为正值，表示为拉应力；,中性层上方，y 为负值， s 也为负值，表示为压应力。,y =0
6、(中性轴上)，s = 0 ；,| y |max (上、下表层)， | s |max 。,由(b)式可得s 的分布规律，但因r 的数值未知，中性轴的位置未确定， y 无从算起，所以仍不能计算正应力，用静力学关系解决。,3. 静力学关系确定中性轴位置及r 的计算,取微面积 dA：( z，y ),dA,dA上微内力：s dA,截面上所有微内力s dA组成一空间平行力系，可合成为三个内力合力：,FN、My、Mz,1) As dA =FN, FN = 0, As dA = 0 (c),(b)带入(c) ：, E、r 不为零，, A ydA = 0,而 A ydA = Sz = yCA = 0, yC =
7、 0, z 轴(中性轴)为形心轴。,即中性轴必须通过梁横截面的形心。,s,dA,(b)带入(e) ：,令 Iz = A y2dA，称 Iz 为横截面对 z 轴的惯性矩。,即,为用曲率表示的弯曲变形公式。,2) As dAy = Mz, Mz = M, As dAy = M (e),横截面一定时， Iz 一定。,s,dA,1/r 为中性层弯曲变形后的曲率。, 将 EIz 称为梁的抗弯刚度。,将上式带入( b) ：,表示：梁横截面上的 s 与 M 成正比，与 Iz 成 反比，沿截面高度呈线性分布。,中性轴上：y =0 ， s = 0 ；,上、下表层：| y |max ，| s |max 。,s,d
8、A,2. 中性层曲率：,s 的方向可由梁的变形直接判定：,1. 中性轴位置：中性轴过截面形心；,结论：,3. 正应力公式：, 最大弯曲正应力,上、下表层： y = y max，,三、最大弯曲正应力,令 Wz = Iz /ymax ，称 Wz 为横截面的抗弯截面系数。,2. 弹性范围内，且 Ec = Et,1. 纯弯曲：平面假设条件下；,四、公式适用条件,3. 对称弯曲，y 轴为梁横截面的纵向对称轴。, 公式 、 、,可用于s sp，对称弯曲中纯弯曲时的正应力计算和中性层曲率计算。,例1：悬臂梁如图示，Me= 20kNm，E = 200 GPa，梁用No18工字 钢制成。试求梁的最大弯曲正应力和
9、梁轴的曲率半径。,解：(1)工字钢 Iz 、Wz,(3) 计算s max,由附录E表4(P359)查得：,Iz = 1.66105 m4,Wz = 1.85104 m3,(2) 作M 图,(4)计算梁轴的曲率半径r,由,有,113 惯性矩与平行轴定理,一、简单截面的惯性矩,1. 定 义：,Iz = A y2dA，为图形A 对 z 轴的惯性矩。,Iy = A z2dA，为图形A 对 y 轴的惯性矩。,2. 分析讨论,(1) dA0， y2、z20， Iz 、Iy 0，单位：m4，cm4，mm4,(2) 若 A = A1+ A2 + + An,则： Iz = IzA1+ IzA2 + + IzAn
10、 = S IzAi,Iy = IyA1+ IyA2 + + IyAn = S IyAi,为组合图形的惯性矩公式。,矩形截面的惯性矩：,取微面积 dA：bdy,圆形截面的惯性矩：,取微面积 dA：( z，y ), Iz = Iy,且有 r 2 = y2 + z2,箱形截面的惯性矩：,由组合图形的惯性矩公式：,空心圆截面的惯性矩：,二、平行轴定理,已知：A、Iz0、Iy0,Iz =A y2dA = A ( y0 + a)2 dA,求：Iz、Iy,Cy0z0：过形心直角坐标系,Oyz：任意直角坐标系,z与z0平行，间距为a，,y与y0平行，间距为b，,= A (y02 + 2ay0 + a2) dA
11、, Iz = Iz0 + a2A, Iz 0 = A y02dA,同理得：,解：,y = y0 + a,z = z0 + b,A y0dA = 0,AdA = A,Iy = Iy0 + b2A,=A y02dA + 2aA y0dA + a2AdA,即：截面对任一坐标轴 z 的惯性矩 Iz，等于对其平行形心轴 z0 的惯性矩 Iz0 加上截面面积与两轴间距离平方的乘积。,已知：d、m,求：Iz,解：,已知：h、b,求：Iz,解：,求：图示图形对形心轴 z 的惯性矩 Iz。单位：cm,解：(1) 确定形心位置,(2) Iz, Iz = IzA1+ IzA2 = 21.28 + 36.59 = 5
12、7.87 cm4,A1,A2,组合图形对形心轴 z 惯性矩 Iz的计算步骤：,(1) 将组合图形分解为几个简单图形， 由形心公式确定形心位置：,(2) 由平行轴定理分别计算各简单图形对 z 轴的惯性矩 IzAi,A1,A2,IzAi = Iz0 + a2Ai,解：1) 作 M 图确定截面弯矩,例 受均布载荷作用的简支梁如 图所示，试求：,(1) 1-1截面上1、2两点的正应力； (2) 此截面上的最大正应力； (3) 全梁的最大正应力； (4) 已知E=200GPa，求1-1截面的 曲率半径。,2) 计算应力,3) 计算曲率半径,一、矩形截面梁横截面上的切应力,假设：,114 对称弯曲切应力简
13、介,横截面上剪力 FS 位于纵向对称轴上，,由切应力互等定理可知：,截面两侧边处的切应力方向应平行于侧边。,1. 截面上各点切应力都与剪力平行；,2. 距中性轴等距离处，切应力沿宽度均布。,当 h/b 1 时与实际情况较接近。,在以上假设的基础上分析得切应力的计算公式为：,矩形截面：高 h，宽 b，h b。,即切应力沿截面高度呈抛物线分布。,Sz(w)：为所求切应力处以外图形 面积 w 对 z 轴的静矩。,在中性轴上：y = 0，,在上、下表层： y = h/2， t = 0 ；,可知：,t 方向：与横截面上剪力方向相同； t 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度 h 呈抛物线分布。 tmax ：
14、为平均切应力的 1.5 倍。,二、工字形截面梁横截面上的切应力,切应力仍可用矩形截面时公式计算：,腹板上切应力：,腹板为矩形：h d, 腹板上切应力的分布与矩形截面相同。,工字形截面：由中间腹板和上下两 块翼板组成。,Sz(w)：为所求切应力处以外图形面积 w 对 z 轴的静矩。,求得 Sz(w) 后代入上式得腹板上切应力的计算公式为：,即腹板上切应力沿腹板高度呈抛物线分布。,在中性轴上：y = 0，,在腹板与翼板交接处， y = h/2，,对工字型钢：,式中,翼板上切应力：,可查型钢求得。,在翼板上还存在垂直方向的切应力，数值很小，一般略去不计。,此外，在翼板上还有沿水平方向(z方向)的切应
15、力存在，其推导方法和结果可参考有关资料。,三、弯曲正应力与弯曲切应力比较,最大弯曲正应力：,最大弯曲切应力：, 当 l h 时，s max t max,对实心截面的细长梁，弯曲正应力是影响梁强度的主要因素。,115 梁的强度条件,对一般梁，弯曲正应力和切应力的分布规律为：,横截面的中性轴处：有t max ，并且为纯剪切。,横截面的上下边缘处：有s max，并且为单向受拉(压)；,一、弯曲正应力强度条件,对一般梁，M = M(x)，作 M 图，确定 Mmax，即危险截面，,s 为弯曲时材料许用正应力。,则：,发生在横截面的上下边缘处，且为单向受拉(压)。,或：,弯曲正应力强度条件：,塑性材料：s
16、 c=s t，,只需 smax st ,脆性材料：s cs t，,应：,由强度条件可进行三方面强度计算：,1. 强度校核：,2. 设计截面：,smax s ,选择型钢时，若,则可选用。,3. 确定许可载荷：,Mmax s Wz,由 Mmax F ,二、弯曲切应力强度条件,一般对短梁( l 5h )、组合截面腹板较薄(工字形、T形、槽形等)、抗剪切强度低(焊缝、胶合面、铆钉连接等)的场合要进行弯曲切应力强度校核。,弯曲切应力强度条件：,t 为材料的许用切应力。,解：(1) 作 FS、M 图,例5 图示矩形截面木梁，已知 b = 0.12m，h = 0.18m，l = 3m， 材料 = 7 MPa
17、， = 0.9 MPa。试校核梁的强度。,可知： FSmax = 5400 N Mmax = 4050Nm,(2) 校核梁的强度,= 6.25 MPa, ,= 0.375 MPa, , 梁安全。,例6 图示减速箱齿轮轴，已知 F = 70 kN ，d1 = 110mm， d2= 100 mm，材料 =100 MPa。 试校核轴的强度。,12.25 kNm,9.8,解：(1) 作M 图，确定危险截面,C截面：Mmax= 12.25 kNm ， 为危险截面,D截面：MD = 9.8 kNm，但其直 径较小，也可能为危险 截面。,(2) 强度校核,C截面：,= 93.9 MPa, ,D截面：,= 9
18、9.9 MPa, , 梁满足强度要求。,解：(1) 作 M 图,例7 图示T形截面铸铁梁，已知 Iz = 8.8410-6m4，y1 = 45mm， y2= 95mm，材料 t = 35 MPa，s c= 140 MPa。 试校核梁的强度。,可知危险截面：D 截面、B 截面,D 截面：最大正弯矩 MD = 5.66 kNm,B 截面：最大负弯矩 MB = 3.13 kNm,= 59.8 MPa, c, 梁安全。, | MD | | MB | ， | y2 | | y1 |, |sa | |sd | 即最大压应力 为D 截面上a点。,而最大拉应力为D 截面上b点或B 截面上c点，由计算确定。,s
19、tmax= 33.6 MPa t,注意：若将梁倒置，则,stmax= 59.8 MPa t,梁不安全。,(2) 校核梁的强度,弯曲正应力是决定梁强度的主要因素，,116 梁的合理强度设计,是设计梁的主要依据。,要使 smax，则应使 Mmax 、Wz ,一、合理安排梁的载荷及支座,目的：使 Mmax ,如：合理安排载荷,Mmax = 0.25Fl,Mmax = 0.167Fl,Mmax = 0.125ql 2,Mmax = 0.025ql 2,如：合理安排支座,二、梁的合理截面形状,Mmax s Wz,即梁所能承受的弯矩Mmax与Wz 成正比，Wz 越大越有利；,另外，梁所用材料的多少和重量的
20、大小与横截面面积A成正比，面积越小，材料越少，重量越轻，越经济。,梁的合理截面形状应为：A 较小而 Wz 较大。,如：矩形截面，高 h，宽 b，h b,实际中矩形截面梁均为竖放。,竖放时：,平放时：,即矩形截面梁竖放比平放具有更高的弯曲强度。,若：h:b = 3:2 时，竖放时强度比平放时强度高 50%。,根据弯曲正应力的分布规律：,离中性轴愈远，正应力愈大；靠近中性轴处，正应力很小。,因此靠近中性轴处的材料工作时未充分发挥作用。,如：矩形截面改为工字形截面，可提高Wz,所以应将尽可能多的材料配置在远离中性轴处的部位。,其他如箱形截面、T形截面、槽形截面等都可提高 Wz 。,一般可用 Wz/A
21、 来评价梁截面形状的合理性和经济性。,若 Wz/A 较大，则表示梁截面形状较为合理性，较为经济。,矩形截面：,可知：矩形截面较圆形截面更为合理 。,圆形截面：设直径 d = h,工字钢、槽钢：,此外在考虑梁的合理截面形状时，还应考虑到材料的力学性能。,对 t =c 的塑性材料，一般采用对称于中性轴的截面，,此时有：tmax=cmax= 比较合理。,如T形截面，并使中性轴偏向于强度较弱的一边。,对 t c 的脆性材料，一般采用不对称于中性轴的截面，,tmax= t ，cmax= c ,设计时应有：,由：,即：,可使最大拉应力和最大压应力同时达到材料的许用应力。,对钢筋混凝土梁，应将钢筋置于梁中较
22、大拉应力处。,三、等强度梁的概念,一般 M = M(x) Mmax,对等截面梁，需按最大弯矩Mmax处设计：,即采用截面沿轴线变化的变截面梁。,因此对Mmax以外的其他截面上的材料未得到充分利用。,为节约材料，减轻重量，从强度考虑，可在 M 较大处采用较大的截面，M 较小处采用较小的截面。,变截面梁的强度条件：,近似采用等截面梁的公式：,M(x)为梁截面上的弯矩，Wz(x)为梁截面的抗弯截面系数。,若使变截面梁各横截面上的最大正应力都等于许用应力，即得到等强度梁。,等强度梁的强度条件：,可得等强度梁的Wz(x)沿梁轴线得变化规律：,如：悬臂梁受 F 作用，矩形截面：h、b,(1) b为常量、h
23、(x)为变量,M(x) = Fx,即h(x)按抛物线规律变化。,自由端：x = 0，h = 0,但不能满足切应力强度条件，所以由一段h为常量：,工程实际中的鱼腹梁即为此种等强度梁。,(2) h为常量、b(x)为变量,即b(x)按直线规律变化。,其等强度梁为一三角形板。,实际中将其分成狭条，再重叠起来，即得到常见的板弹簧。,对于圆截面的等强度梁，也可由条件,求得直径 d(x) 的规律变化。,但实际中考虑到轴的加工方便和结构装配上的要求，常采用阶梯形状的梁(阶梯轴)来代替理论上的等强度梁。,118 弯拉(压)组合强度计算,一、弯、拉(压)组合变形,实例：,摇臂；,轴向力产生轴向拉伸；,横向力产生对
24、称弯曲；,摇臂为拉、弯曲组合变形。,钩头螺栓；,外力与轴线平行，但不重合，称为偏心拉伸(压缩)。,向轴线平移后：F、M,螺栓为拉、弯曲组合变形。,杆件受轴向力和横向力同时作用时产生拉(压)与弯曲的组合变形。,弯拉(压)组合分析：,1. 外力分析,Fx：轴向力，使梁产生轴向拉伸,2. 内力分析,作 FN 图、M 图,危险截面： B截面 (固定端),F,Fx= F sinj,Fy= F cosj,Fy：横向力，使梁产生对称弯曲,m-m截面内力：,FN = Fx= F sinj,M = Fyx = Fxcosj,FN = F sinj,Mmax = Flcosj,3. 应力分析,FN：产生正应力 s
25、N,M：产生弯曲正应力sM,均布,沿高度线性分布,+,=,危险点：a、b,4. 强度校核,tmax t ,应：,cmax c ,弯拉(压)组合分析步骤：,1. 外力分析,将外力分解为轴向力和横向力。,2. 内力分析,作 FN 图、M 图,确定危险截面。,3. 应力分析,由危险截面上sN、sM的分布规律确定危险点，计算其应力：,4. 强度计算,stmax= sN + sM ，scmax= sN sM,tmax t ,应：,cmax c ,+,=,选择截面时：,A、Wz未确定，需估算。,先只考虑 M 作用，由,再用,不满足时需重新选取。,选择截面(型钢等)。,+,=,作用在杆件上的载荷与杆轴线平行
26、而不重合时，杆的变形称为偏心拉伸(压缩)。,偏心距：e,将F 向轴线简化： F、Me,F = F,可知：偏心拉伸(压缩)实际为弯曲与拉伸(压缩)的组合变形，,其计算方法与弯拉(压)组合变形的方法相同。,二、偏心拉伸(压缩),Me = Fe,例8 图示带缺口钢板，两端受拉力 F = 80 kN，板宽 b = 8 cm， 板厚 d = 1cm，缺口高 t = 1cm，材料 =140 MPa。 试校核钢板的强度。(不考虑应力集中的影响。),解：(1) 受力分析，内力计算,外力 F 对A-A截面为 偏心拉伸：,A-A截面上内力：,轴力： FN = F = 80 kN,弯矩： M = Fe = 400
27、Nm,偏心距：, 钢板强度不够。,(2) 应力分析,+,=,a 点：,= 163.3 MPa,b 点：,= 65.3 MPa,(3) 强度校核, a = 163.3 MPa ,若在A-A处再开一缺口，使截面对称，则成为轴向拉伸：, 钢板安全。,可见应避免偏心载荷。,例9 图示悬臂梁，F = 10 kN，l = 2 m，e = l/10，a = 30，材料 =160 MPa。试选择工字钢型号。,解：(1) 外力分析,将 F 向B 截面形心简化：,梁的计算简图：,轴向力：FC= Fx= F cosa,集中力偶矩：Me= eF cosa,横向力：Fy = F sina,可知：梁为拉伸和弯曲组合变形。,(2) 内力分析,作 FN 图： FN = 8.66 kN,由强度条件：,得：,作 M 图：Mmax = 8.27 kNm,(3) 初选梁工字钢型号,查附录E表4：选No12.6工字钢，Wz = 77.5 cm3，A = 18.118 cm2,(4) 强度校核, ,No12.6工字钢合适。,若smax 时，需重新选择。,
