1、,2.1.2 导数的概念 -可导与连续的关系,2018年11月20日星期二,导数定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当自变量x在点x0处有改变量x时函数有相应的改变量y=f(x0+ x)- f(x0).如果当x0 时,y/x的极限存在,这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记作 即:,复习：,1.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数学表达式的一个重要概念，要从它的几何意义和物理意义了解认识这一概念的实质，学会用事物在全过程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。,3）由于,称为,f (x)在x0的右导数.,称为,f (x)在x0的左导数.,定理： f (
2、x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右导数存在且相等.,4）如果函数yf(x)在开区间(a,b)内每一点都可导,就说函数yf(x)在开区间(a,b)内可导，这时，对于开区间内每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数 ，这样就在开区间(a,b)内可构成一个新的函数，称作f(x)的导函数。,5）函数f(x)在点x0处的导数 就是导函数在x=x0处的函数值，即 。这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。,区别：,是一常数。,是一函数。,联系：,即,函数,在点,处的导数,就是导函数,在,处的值，,注：通常，导函数也简称为导数,？,3. 由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本
3、方法是:,注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负.自变量的增量x的形式是多样的,但不论x选择哪种形式, y也必须选择与之相对应的形式.,4.求函数y=f(x)的导数可分如下三步:,5.导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,1）函数f(x)在点x0处有导数，则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线，且导数值是该切线的斜率；但函数f(x)的曲线在点x0处有切线，而函数f(x)在该点处不一定可导。如函数 在x=0处有切线，但不可导。,2）求切线方程的步骤：,（1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线在点(x0,f(x0)的切线的斜率。,（2）根据直线方程的点斜式写出切线方
4、程，即,例:证明:(1)可导的偶函数的导函数为奇函数;(2)可导的奇函数的导函数为偶函数.,证:(1)设偶函数f(x),则有f(-x)=f(x).,(2)仿(1)可证命题成立,在此略去,供同学们在课后练习用.,例7. 问曲线,哪一点有垂直切线 ? 哪一点处,的切线与直线,平行 ? 写出其切线方程.,解:,令,得,对应,则在点(1,1) , (1,1) 处与直线,平行的切线方程分别为,即,故在原点 (0 , 0) 有垂直切线,二、新课： 求导数举例,例1 求函数,解：,即,例2 求函数,解,即,即,如,又如,即,更一般地，对于幂函数,例3,解,即,类似可得,例4求函数f(x)=cos x的导数,
5、解,例5,解,因此,所以,特殊地，当ae时，,(sin x)=cos x,(cos x)=-sin x ,(ax)=axln a,特别地有(ex )=ex ,例6 求对数函数y=log ax的导数,解,以上得到的是部分基本初等函数的导数公式.,解,ysin x ,故在点处 切线方程为,法线方程为,五、函数的可导性与连续性的关系,设函数y=f(x)在点x处可导，即,存在。,由具有极限的函数与无穷小的关系知道，,这就是说，函数y=f(x)在点x处是连续的。,如果函数y=f(x)在点x处可导，则函数在该点必连续。,注意：一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。,所以，,则,例7 函数,由以上的讨论可知：,处不可导。,必要条件，但不是充分条件。,函数在某点连续是函数在该点可导的,例8 函数,处不可导。,这是因为在点x=0处有,即导数为无穷大，,在原点O具有,在图形中表现为曲线,垂直于x轴的切线,显然，导数不存在。,解,例9 讨论函数,在x=0处不可导,在x=0处的连续性和可导性,判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,作业 P50 7-14,
