1、第四章 曲面的曲率张量与测地线,微分几何,曲面的曲率张量测地曲率、测地挠率与测地线曲面上的半测地坐标网、高斯-波涅公式本章补充习题,返回主目录,第四章 曲面的曲率张量与测地线,第四章内容概要,本章介绍了克氏符号、曲率张量、基本公式、基本方程、测地曲率、测地线、刘维尔公式、高斯-波捏公式等 重点：运用刘维尔公式计算测地曲率、运用高斯-波捏公式做证明题,返回章首,4.1曲面的曲率张量,内容：克氏符号、基本公式、曲率张量、高斯绝妙定理 重点：克氏符号与曲率张量的定义和性质,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-新的记号,设有曲面 S: r = r(u,v)，下面采用新的记号：u1 = u, u2 = v
2、；r1 = ru，r2 = rv；r11 = ruu，r12 = ruv，r21 = rvu，r22 = rvv；gij = ri rj，hij = n rij，这里 i,j = 1, 2 用新的记号，曲面的第一、第二基本形式分别为,返回章首,以后我们采用爱因斯坦求和约定，也就是上下重复的指标表示从 1 到 2 求和，如,4.1 曲面的曲率张量-求和约定,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-记号gij,有了 gij，我们由下式来定义 gij：,令,则由线性代数的知识可知,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-克氏符号,显然，克氏符号关于下标是对称的，即,我们称之为曲面的（第二类）克里斯托斐尔符号，简
3、称克氏符号,设,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-用旧记号表示克氏符号,曲面 S: r = r(u,v) 的克氏符号总共有 8 个，但由于它们关于下标是对称的，所以只有 6 个是独立的采用过去的记号，这些克氏符号表示为,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-正交坐标网下的克氏符号,注意，克氏符号的这些表达式非常复杂，大家只需了解，不必记忆,当取正交参数网时（F = 0），有,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-基本公式,上面的第一式称为高斯公式，第二式称为Weingarten公式这两个公式叫曲面的基本公式,定理. （曲面的基本公式）设 S: r = r(u1,u2) 是 R3 的正则曲面，则,返回章
4、首,练习题,3. 设,证明:,计算曲面的克氏符号,2如果曲面的第一基本形式是,1计算曲面 z = f (x,y) 的克里斯托斐耳记号,返回章首,如果用 tr A 表示矩阵 A 的主对角线元素之和， det A 表示 A 的行列式，则 H = (tr A)，K = det A,4. 记,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-曲率张量,定理. 黎曼曲率张量满足： （1）Rlijk = Rlikj，Rlijk + Rljki + Rlkij = 0； （2）Rijkl = Rijlk，Rijkl + Riklj + Riljk = 0， （3）Rijkl = Rjikl，Rijkl = Rklij,通过
5、直接验证，可得,我们将 Rlijk 和 Rijkl 都叫曲面的黎曼曲率张量,设,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-高斯方程与科达齐方程,高斯方程和科达齐方程叫曲面的基本方程,科达齐方程：,高斯方程：Rmijk = hijhmk hikhmj.,定理. 我们有,返回章首,4.1 曲面的曲率张量-高斯绝妙定理,定理. （高斯绝妙定理）曲面的高斯曲率 K 由第一类基本量决定，即高斯曲率是内蕴量事实上，由高斯方程可知 h11h22 h12h21 = R1212, 所以由高斯曲率的定义可知 K = R1212 /g，这说明曲面的高斯曲率是内蕴量这里g = g11g22 (g12)2.,返回章首,4.1
6、曲面的曲率张量-正交参数下的曲率张量,特别地，如果 E = 1，则,对 R3 中的曲面，如果我们取正交参数，则有,返回章首,练习题 1用曲面 x = u1cosu2, y = u1sinu2, z = f (u1) 验证高斯公式： G111 r1 + G122 r2 + h11n = r11. 2如果曲面的第一基本形式是 I = l2(du2 + dv2)，其中 l 0，证明 K = l-2 (lnl)uu + (lnl)vv .,返回章首,4.2测地曲率、测地挠率和测地线,内容：测地曲率、刘维尔公式、测地线、测地挠率 重点：刘维尔公式的应用,返回章首,C,4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-
7、曲面曲线的新标架,给定曲面 S 和曲面上的一条曲线 C设 P 是 C 上的任意一点，,S,P,a,e,n,则 a、e、n 是曲线 C 上彼此正交的单位向量，并且构成一右手系,命 e = na ,n 是曲面 S 在 P 点的单位法向量，,a 是 C 在 P 点的单位切向量，,我们要考虑的新标架就是 P ; a, e, n ,返回章首,4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率,曲面曲线 C 在 P 点的曲率向量 r 在 e 上的投影称为曲线 C 在 P 点的测地曲率，记为kg kg = r e = kb e kg = (r , r , n). k 2 = kg2 + kn2，其中 C 的曲率为
8、k，测地曲率为kg，切方向的法曲率为kn,返回章首,其中 q 是曲线 C 与 u -曲线的夹角,定理. 当取正交坐标网时，曲面曲线 C 的测地曲率为,u -曲线与 v -曲线的测地曲率分别为,4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率的刘维尔公式,返回章首,练习题1求位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆周的测地曲率2求位于正螺面 x = ucosv, y = usinv, z = av 上的圆柱螺线 x = u0cosv, y = u0sinv, z = av的测地曲率,返回章首,4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地线,曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称之为测地线
9、 由测地曲率的定义知曲面上如果存在直线（如直纹面），则此直线一定是测地线（因为直线的曲率向量是零向量） 曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线的曲率向量平行于曲面的法向量 球面上的大圆(过球面中心的平面与球面的交线)一定是测地线，这是因为大圆的主法线重合于球面的法线,返回章首,定理. 对任意一点 PS 和任意一个单位切向量 vTPS，存在正数 e 和唯一一条测地线 gv(s)，s(e, e)，满足 gv(0) = P, gv (0) = v， 并且 gv(s) 光滑地依赖于 s、P、v，而且 s 是 gv 的弧长参数,由常微分方程理论得：,测地线的方程为,4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-
10、测地线方程,返回章首,练习题 1求平面上的测地线 2求圆柱面 r = (Rcosq, Rsinq, z) 上的测地线,返回章首,4.3曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式,内容：半测地坐标网、测地线的短程性、高斯波涅公式 重点：高斯波涅公式的应用,返回章首,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-测地平行坐标系,对曲面 S 上任一点 P，设 g 是曲面上过 P 点的一条测地线，v 是 g 的自然参数 (|v|d)沿 g 作一个单位向量场 e(v) 垂直于 g (v)，然后过 g 上每一点 g (v) 作一条测地线 av: ( e, e)S，使得 av(0) = g (v)， av(0) =
11、e(v) av 的自然参数用 u 表示这样，(u, v) 就构成了曲面在 P 点附近的一个坐标系，这样的坐标系称为测地平行坐标系，相应的坐标曲线网叫半测地坐标网。（如图）,g,av,e(v),P,g (v),返回章首,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式- 在测地平行坐标系下的第一基本形式,定理. 在半测地坐标网下，曲面的第一基本形式为 I = du2 + Gdv2, G(0,v) = 1, Gu(0,v) = 0.,返回章首,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-测地线的局部极小性,定理. (测地线的局部极小性) 设 Q、R 是曲面上点 P 的一个充分小邻域内的两点，则在连接 Q
12、、R 的诸线段中，测地线段的弧长最短,R,Q,返回章首,如果区域 G 是一整块，里面没有洞，也没有缝隙，则称区域 G 是单连通的,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-单连通区域,单连通区域,不是单连通区域,返回章首,其中 ai 是 G 的第 i 个内角的角度，p ai 是第 i 个外角的角度,定理. 如果 G 是单连通的，则有高斯-波涅公式：,曲面 S 上的区域 G 的边界记为 G，高斯曲率记为 K，G 的测地曲率记为 kg，曲面的面积元素和弧长元素分别记为 ds 和 ds,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式,返回章首,S,G,G,ai,a2,a1,G,G,4.3
13、 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式,返回章首,其中 S(D) = a1 + a2 + a3 表示 D 的三内角之和,如果 G 是一个测地三角形 D，即三条测地线所围成的三角形，则有,如果 G 是由测地线段组成，则有,如果 G 是一条光滑曲线，则有,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式的特例,返回章首,练习题,2计算测地曲率在一般参数下的计算公式,证明：如果曲面 S: r = r(u,v) 的第一基本形式为 I = du2 + Gdv2，则曲面上的曲线 C 的测地曲率满足,返回章首,4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-曲面的基本定理,定理. 设 I =
14、 gijduiduj, II = hijduiduj,（gij = gji, hij = hji）是给定的两个二次形式，其中第一个正定如果 gij 和 hij 满足高斯方程和科达齐方程，则除了空间中的位置差别外，存在唯一一张曲面，以 I 作为第一基本形式，以 II 作为第二基本形式,返回章首,第四章补充练习题 证明：旋转曲面上的经线是测地线，纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线上的切线从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长 证明：如果曲面 S: r = r(u1,u2) 上的曲线 C: r(t) = r(u1(t), u2(t) 满足 d2uk/dt2 + Gikj(dui/dt)(duj
15、/dt) = 0, k = 1, 2,则 C 是测地线，并且 |r(t)| 是常数 ,返回章首,3证明球面 r = (acosucosv, acosusinv, asinu),上任一曲线的测地曲率 kg = (dq /ds) sinu(dv/ds)，其中 q 表示曲线与经线的交角 4证明若曲面上非直线的所有测地线均为平 面曲线，则它必为曲率线 5利用刘维尔公式证明平面上的测地线为直线 ,返回章首,7证明测地挠率为,6证明测地曲率为,返回章首,8证明：若曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零 9求证半径为 R 的球面上测地三角之和为 p + A/R2，其中 A 为测地三角形的面积 10证明：若曲面 S 的高斯曲率处处小于零，则 S 上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线 11证明极小曲面上不存在围成单连通区域的光滑的闭测地线 ,返回章首,12证明：若曲面的第一基本形式为 ds2 = (du2 + dv2) / (u2 + v2 + C ) 2，则它的高斯曲率是常数 ,13证明：若曲面的所有测地线均为平面曲线，则曲面为全脐曲面 ,返回章首,
