1、探 索 规 律 提 升 能 力 2013.3.2. 神州智达,一. 2013年数学高考 备考综述,高中课标实施顺序 2004年 山东 宁夏 广东 海南 2005年 江苏 2006年 天津 辽宁 安徽 浙江 福建 2007年 北京 湖南 陕西 吉林 黑龙江 2008年 山西 河南 江西 新疆 2009年 河北 湖北 内蒙 云南 2010年 重庆 四川 贵州 甘肃 青海 西藏,1.数学高考的三个维度 知识与技能 思想与方法 能力与意识,数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考
2、查综合数学素养的要求。,数学新高考的主要特点 立足基础 适度综合 注重思想 优化策略 能力立意 力求创新 把握实质 探索规律,数学高考的两个关注点 立足基础 能力立意 多考想的 少考算的,数学备考的目标和要求 懂、会、对、快、好全面落实 读题仔细，审题谨慎，设计周到，推理严密，计算准确，画图达意，表述清晰，检验有效，排除漏洞.,二.关注学科特点 探索思维规律,数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心. 数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理
3、性思维，构成数学能力的主体.,1. 存在性与唯一性,例1 函数 R）,区间M=a,b(ab),集合N= y | y = f(x),xM， 则使M=N成立的实数对(a，b)有 A. 0个 B.1个 C. 2个 D. 无数多个,函数 R)是奇函数,思路一 思路二,例2 设有一组圆Ck: (x-k+1)2+(y-3k)2=2k4 (kN*)四个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 ,圆Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4 (kN*)的圆心为 (k-1,3k)，圆心轨迹是直线y=3x
4、+3；半径为 直线y=3x+3 与所有的圆Ck 都相交，B真； 将原点坐标代入，得10k2-2k+1= 2k4 (kN*), 左边是奇数，右边是偶数，不可能成立，D真； 当k时，半径无限增大，A,C假.,例3 如图，在四面体PABC中，PCAB， PABC,点D,E,F,G分别是棱 AP,AC,BC,PB的中点. （）求证：DE平面BCP； （）求证：四边形DEFG为矩形； （）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.,例4 已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 l 与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 . () 求a，b的值； () C上
5、是否存在点P，使得当 l 绕F转到某一位置时，有 成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由.,2. 不变性与不变量,例5 在平面直角坐标系xOy中，已知ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0)， 顶点B在椭圆 上，则 ,例6 如图，正方体ABCD-的棱长为2，动点E、F在棱上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DPz，（x，y，z大于零），则四面体PEF的体积 A. 与x，y，z都有关 B. 与x有关，与y，z无关 C. 与y有关，与x，z无关 D. 与z有关，与x，y无关,例7 设函数 曲线y=f(x)在点 (2,f(2)处的切线方程为7
6、x-4y-12=0. () 求 f(x) 的解析式； () 证明：曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值.,(2) 设P(x0 , y0)为曲线上任意一点，,例8 已知椭圆C过点 ，两焦点为（-1，0）,（1，0）. () 求椭圆C的方程； () E,F是椭圆C上的两个动点，若直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.,（1）由题意c=1， 可设椭圆方程为 由A在椭圆上，得 解得 b2=3， 故椭圆的方程为,设E(xE ,yE)，F(xF ，yF)， 点A 在椭圆上， 又直线AF与AE的斜率互为 相反数
7、，在上式以-k代k ，可得 直线EF的斜率 为定值 .,（2）设直线AE： 代入,3. 运动与变换,例9 如图，动点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方 体表面相交于M，N.设BP=x， MN=y,则函数y =f(x)的图象 大致是,y=MN=2MP =2BPtanMBP =(2tan MBP) x,例10 若不等式组 表示的 平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 A. a B. 0a1 C. 1a D. 0a1或a,例11 如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动. 设顶点P(x，y)的纵坐标与横坐标的函 数关系是y=f(x)
8、，则f(x)的最小正周期 为 ；在其两个相邻零点间的图 象与x轴所围区域的面积为 . 说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续. 类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动.,考察正方形向右滚动， 点P从x轴上P1开始运动，首先是围绕点A运动1/4个圆，到P2 （该圆半径为A P1 =1），然后以点B为中心，滚动到P3 （此时是以 BP = 为半径），然后以 C为圆心旋转 ，滚动到P4 （此时以 CP=1为半径），因 此最终构成图象是P1 P2 P3 P4与
9、 x轴所围成的图形（如图）可知周期为4，且该图形的面积为 ,例12 已知椭圆 的离心率为 以原点为圆心、椭圆短半轴长半径的圆与直线 y=x+2相切. () 求a与b； () 设该椭圆的左，右焦点分别为F1和 F2,直线l1过F2 且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直， l2交l1于点P. 求线段P F1垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型.,三.关注能力立意 提升能力水平,试题包括立意、情境和设问三个方面.以能力立意命题，就是首先确定在能力方面的考查目的，然后根据能力考查的要求，选择适当的考查内容，设计适当的设问方式.以能力立意命题，不仅是命题方式的变化，更是命题理念和原则的变化.
10、,1. 空间想象能力,对空间形式的观察、分析、抽象和处理的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象.数学高考对空间想象能力提出了三个方面的要求：能根据条件做出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换，会运用图形形象地揭示问题本质.,例13 一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为h1、h2、h3，则h1h2h3 =,设棱长为a，则正四 棱锥高 ， 正三棱锥的高及三棱 柱的高 故h1h2h3 =,例
11、14 已知正三棱锥 P-ABC， 点P，A,B,C都在半径为 的球面上， 若PA,PB,PC两两互相垂直，则球心到 截面ABC的距离为_.,例15 如图，四棱锥S-ABCD 的 底面是正方形，每条侧棱的长都是底 面边长的 倍，P为侧棱SD上的点. () 求证：ACSD；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m () 若SD平面PAC，求二面角P-AC-D大小； () 在()的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得.BE平面PAC. 若存在，求SE EC的值；若不存在，试说明理由.,() 连BD，设AC交BD于O，由题意SOAC .在正方形ABCD中， ACBD ，所以AC平面SBD ,得ACSD
12、 . ()设正方形边长为a ，则SD= 又OD= 所以SDO=60 ,连OP ， 由(1)知 , AC平面SBD ,所以 AC OP ， AC OD,所以POD是二面角P-AC-D的平面角. 由SD 平面PAC ,知SD OP ,所以POD=30 .,（ ）由（ ）可得 故可在SP上取一点 N,使 PN=PD,过N作PC的平行线与 SC的交点为E . 连BN,在BDN 中,知 BN/PO，又由于 NE/PC ,故平面BEN/平面PAC ，得BE/平 面PAC ,由于SN:NP=2:1 ,故SE:EC=2:1 .,例16 如图1,在RtABC中，C=90, D，E分别是 AC，AB的中点，将AD
13、E沿DE折起 到A1DE的位置，使A1FCD,如图2. （）求证：DE/平面A1CB； （）求证： A1FBE ； （）线段A1B上是否存在点Q，使A1C 平面DEQ？说明理由.,() D，E分别为AC，AB的中点DE/BC . DE 平面A1CB DE/平面A1CB . () 由已知AC BC , DE/BC DE AC DEA1D, DE AC DE 平面A1DCDE A1F . 又A1F CD A1F 平面BCDE A1F BE.,()取A1C,A1B中点P,Q,则PQ/BC. DE/BCDE/PQ. 由()知，DE 平面A1DC DE A1C . P是等腰三角形DA1C的底边的中点 A
14、1C DP A1C 平面DEPA1C 平面DEQ A1B上存在点Q，使A1C 平面DEQ .,2. 抽象概括能力,从具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能应用于解决问题或做出新的判断. 抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程.,例17 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数： 将三角形数1,3,6,10, 记为数列an，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn，可以推测：b2012是数列an
15、中的第_项；b2k-1=_.（用k表示）,例18 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表从上往下数，第1次全行的数都为1的 是第1行，第2次全行的 数都为1的是第3行, ， 第n次全行的数都为1 的是第 行；第61行中1的个数是 , 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1,第61行 1 1 0 0 1 1 1 1 第62行 1 0 1 0 1 0 1 0 1 第63行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,例19 小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相
16、联. 连线标 注的数字表示该段网线单位时间 内可以 通过的最大信息量.现从结点 A向结点B传递信息, 信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是 A.26 B. 24 C. 20 D. 19,例20 定义：曲线C上的点到直线l的距 离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知曲线C1：y=x2+a到直线l：y=x的距离等于曲 线C2：x2+(y+4)2=2到直线l：y=x的距离，则实数a=_.,3. 推理论证能力,推理是数学思维的基本形式，贯穿于数学学习与解题过程的始终.论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的正确性的一连串的过程. 推理既包括合情推理，也包括演绎推理. 一般
17、说来，运用合情推理探索和发现结论，再运用演绎推理进行证明.,例21 观察下列等式： 由以上等式推测一个一般的结论：对于nN*， ,3,7,11,15, ,4n-1; 1,3,5,7, ,2n-1;,例22 设等差数列an前n项和为 Sn，则S4 , S8-S4 , S12-S8 , S16-S12 成等差数列. 类比以上结论有：设等比数列bn前n项积为Tn , 则 T4， ， ， 成等比数列.,已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则 等于 .,例23 等差数列an的前n项和为Sn，a1=1+ , S3=9+3 (1) 求数列an的
18、通项与前n项和Sn ； (2) 设 N *),求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列,（1）由已知 解得d=2，故,（2）由（1）得 假设bn中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则 bq2 =bpbr 即 与p，q，r互不相等矛盾，故bn中任意不同三项都不可能成等比数列,例24 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数. （）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 （） 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.,4. 运算求解能力,会根据法则、公式进行正确的运算和变形；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷
19、的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算. 运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等.,例25 如图，双曲线 的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1， B2， 两焦点为F1，F2 . 若以A1A2为直 径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分 别为A，B，C，D. 则双曲线的离心率e=_；菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值 _.,例26 若存在实数x,使| x-a |+| x-1 | 3成立，则实数a的取值范围是 .,存在实数x,使| x-a |+| x-1 | 3成立,例27 在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量
20、 绕点O逆时针方向旋转 后得向量 ，则点Q的坐标是,例28 数列an中，a1=2，an+1=an+cn（c是常数，n=1,2,3,），且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列 () 求c的值； () 求an的通项公式,（）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，由a1 , a2 , a3成等比数列，得(2+c)2=2(2+3c),解得c=0，或c=2 当c=0时, a1 = a2 = a3 ,不符合题意舍去，故c=2 （）当n2时，由于a2 -a1 =c, ,a3 - a2 =2c，, an-an-1=(n-1)c,故an-a1 =1+2+ (n-1)c = 又a1=2， c=2，故an=2+
21、n(n-1)=n2-n+2, 当n=1时也成立，所以an=n2-n+2 (n=1,2, ) ,5. 数据处理能力,会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断.数据处理能力主要依据统计和统计案例中的方法对数据进行整理，并解决给定的实际问题.,例29 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表 s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有 A s3s1s2 B s2s1s3 C s1s2s3 D s2s3s1,例30 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计， 统计数据用茎叶图表示，
22、 （如图所 示），设甲乙两组数据 的平均数分别为 ，中位数分别为 ，则,例31 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分 类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；,() 试估计厨余垃圾投放正确的概率； () 试估计生活垃圾投放错误的概率； () 假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a0，a+b+c=600. 当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时 s2的值.,
23、例32 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售。如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理. ()若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式. ()花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： () 假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花，求这100天的日利润（单位：元）的平均数； () 若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率.,() () ()这 100天的日利润，有10天为55元，20天 为65元，16天为
24、75元，54天为85元，故日平均利润为 () 当且仅当日需求量不少于16枝，日利润不 低于75元，故当天的利润不少于75元的概率P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7,6. 应用意识,例33 如图建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面 上，y轴垂直于地平面，单位长度 为1千米某炮位于坐标原点已 知炮弹发射后的轨迹在方程表示的 曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 （）求炮的最大射程； （）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由,例34 某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超
25、过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产 量、成本和售价如下表： 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为 A. 50，0 B. 30，0 C. 20，30 D. 0，50,例35 如图，A，B是海面上位于东西方向相 距 海里的两个观测点， 现位于A点北偏东45 ，B点北 偏西60 的D点有一艘轮船发出 求救信号，位于B点南偏西60 且与B点相距 海里的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船达到D点需要多长时间？,例36 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50.预计以后每年自己呢年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. （）用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式； （）若公司希望经过m（m3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）.,谢 谢,
