1、随 机 信 号 Random Signal,北京化工大学 北方学院 信息学院,课程简介：,课程名称：随机信号 课程性质：专业基础课 学时:(32+8学时) 先修课程：概率论+信号与系统 考核方式：平时成绩+期中成绩+期末成绩 注：平时成绩=出勤+作业,课程简介,教材：随机信号分析赵淑清 郑薇 编著哈尔滨工业大学出版社,课程简介：,参考书： 随机信号分析李晓峰 李在铭 周宁 傅志中 编著电子工业出版社,课程简介,参考书： 信号分析彭启琮 邵怀宗 李明奇 编著电子工业出版社,课程要求：,课前预习 做好笔记 课后复习 完成作业 整理总结,1.1 随机变量要点回顾,随机现象 在一定条件下，对某种现象进
2、行实际观察，所得结果不能预先完全确定，而只能是多种可能结果中的一种，这种现象称为随机现象。,随机试验（Random Experiment） 对随机现象做出的观察与科学试验！,1.1 随机变量要点回顾,随机实验的样本点ei (i=1,2,) 一个随机实验所有可能的“基本结果”又称为样本点，记为ei (i=1,2,),随机实验的样本空间S（Sample Space） 随机实验所有的基本可能结果构成的集合称为样本空间，常表示为： S =随机实验的全部基本实验结果=ei ； ei为随机实验的基本实验结果,例题1.1,设随机试验的样本空间为Sei，如果对样本空间的每一个元素eiS，都有一实数Xei与之对
3、应，对所有的元素e S，就得到一个定义在空间S上的实单值函数Xe，称Xe为随机变量，简称X。,1.1 随机变量要点回顾,（a）离散随机变量 （b）连续随机变量,根据随机变量的取值是可列还是不可列的，把随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。,1.1 随机变量要点回顾,离散随机变量的样本空间是离散的点，因而取值也是离散的，如图（a）。连续随机变量的样本空间是连续区间，如图（b），所以取值是连续地占据某一区间。我们还把随机变量分为一维，二维和多维随机变量。,举例2,1.1.1 随机变量的分布律,一、 概率分布函数定义随机变量X取值不超过x的概率为概率分布函数或累积分布函数 F（x）=P（Xx）,性
4、质 1 F（x）是x的单调非减函数，对于x2x1有 F（ x2 ） F（ x1 ）,性质 2 F（x）非负，且取值满足0 F（x） 1,性质 3 随机变量在x1， x2 区间内的概率为 P（ x1 X x2 ）= F（ x2 ）- F（ x1 ）,离散随机变量的分布函数除满足以上性质外,还具有阶梯形式,性质 4 F（x）右连续，即,离散随机变量的分布函数除满足以上性质外,还具有阶梯形式,二、 概率密度函数,定义为概率分布函数F(x)对x的导数 或写成积分形式 如果概率分布函数是连续的,其导数一定存在,故概率密度存在.如果概率分布函数存在有限个间断点,则可引入 函数,因此概率密度总是存在的.,概
5、率密度函数性质,性质 1 概率密度函数非负.,性质 3 概率密度函数在( )区间积分,给出该区间的取值概率,性质 2 概率密度函数在整个取值区间积分为1,习题：,1.写出投骰子实验的概率分布函数和概率密度函数，并画出对应的图形。,2，已知随机实验X的分布律为,求X的概率密度和分布函数，并给出图形。,三 多维随机变量的分布律,二维随机变量的概率分布函数,概率密度,二维概率密度的性质,性质 1 二维概率密度函数非负,性质 3 二维概率密度函数在某个区域积分，给出该区域的取值概率,性质 2 二维概率密度函数在整个取值区域积分为1,性质 4 对二维概率密度函数在一个随机变量的所有取值区间上积分，将给出
6、另一个随机变量的概率密度函数,在Xx的条件下，随机变量Y的条件概率分布函数和条件概率密度函数,对于所有的x和y，则称X，Y是相互统计独立的两个随机变量,n维概率分布函数和概率密度函数满足：,n维概率密度的性质,高维概率密度可以通过积分降低维数,n维随机变量相互统计独立的充要条件为：,1.1.2 随机变量的数字特征,一 数学期望用EX或 表示，,如果把概率密度看成是具有一定密度的曲线，那么数学期望便是曲线的重心，描述随机变量的集中特性。,X连续随机变量,X离散随机变量,二、 方差,方差是用来度量随机变量偏离其数学期望的程度，或者说是随机变量在数学期望附近的离散程度。用DX或 表示,例 1.1.1
7、 已知高斯随机变量的概率密度，求数学期望和方差,三 矩函数,随机变量的n阶原点矩定义为,对于离散和连续随机变量，则分别有,随机变量的n阶中心矩定义为,二维连续随机变量X和Y的n+k阶联合原点矩为,n+k阶联合中心矩为,当n=1，k=0和n=0，k=1时，一阶原点矩分别是X和Y的数学期望,当n=2，k=0和n=0，k=2时，二阶中心矩分别是X和Y的方差,当n=1，k=1时，二阶联合原点矩和二阶联合中心矩分别是X和Y的相关矩和协方差,除去两个随机变量离散程度对相关程度的影响,可将协方差对两个随机变量的均方差进行归一化,四、统计独立与不相关,1 随机变量X与Y统计独立的充要条件是,2 随机变量X与Y
8、不相关的充要条件是,例 1.1.2 随机变量Y=aX+b,其中X为随机变量,a b为常数，且a0，求X与Y的相关系数.,同样方法,当X与Y呈线性关系Y=aX+b,且a0,二者的相关函数,即X与Y是完全相关的.,例 1.1.3 X与Y为互相独立的随机变量，求二者的相关系数,3、两个随机变量互相独立肯定不相关,例 1.1.4 二维随机变量(X,Y)满足 X=cos Y=sin 式中, 是在0,2 上均匀分布的随机变量,讨论X,Y 的独立性和相关性.,不互相独立,X与Y不相关 .,4、两个随机变量不相关，不一定互相独立,5 若随机变量X,Y的相关矩为零,则称X,Y互相正交.,对于相互正交的随机变量,
9、如果其中一个随机变量的数学期望也为零,则二者一定不相关,D不是线性算子,E是线性算子,如果XY不相关,1.1.3 随机变量的函数变换,一 、一维变换 设随机变量X,Y满足下列函数关系如果随机变量X,Y之间的关系是单调的，并且存在 反函数,如果h(Y)是单调增加的,那么Y的分布函数为,将上式对y求导,得到随机变量Y的概率密度,同理,可得到当h(Y)是单调下降时随机变量Y的概率密度,方法二：设X的所有可能值都在区间(a,b)内,对于Y,所有可能的值都在区间(c,d)内由于X,Y单调关系,随机变量X取值落在子区间 (x,x+dx)和Y的取值落在子区间(y,y+dy)的概率应该相等,则概率密度非负,无
10、论对单调增或单调减函数有,例 1.1.5 随机变量X,Y满足线性关系Y=aX+b, a,b为常数,求Y的概率密度,解:设X的数学期望和方差分别为 和 ,X的概率密度,Y,X是严格单调函数关系,其反函数,高斯变量X经过线性变换后的随机变量Y仍然是高斯分布，其数学期望和方差分别为,利用概率密度变换公式,可直接求随机变量函数的数字特征,随机变量函数Y的数学期望,随机变量函数Y的方差,对于非单调函数,二、 二维变换,已知二维随机变量 的联合概率密度 , 以及随机变量的函数关系它们的反函数存在,二维随机变量的概率是概率密度(曲面)下的体积,在用二重积分求体积时,若积分区域由 变为 , 其变换关系即为雅可
11、比行列式,二维函数变换的最后表达式,例 1.1.6 设X,Y是相互独立的高斯变量,数学期望为零,方差相等 , A和为随机变量,且X=AcosY=Asin A0,02 求 .,解:由于X,Y互相独立,它们的联合概率密度,X=Acos Y=Asin,A, 的联合概率密度为,再利用性质求A的概率密度,例 1.1.7 已知二维随机变量 的联合概率密 度 ,求 之和 的概率密度,雅可比行列式,得到二维随机变量 的联合概率密度,如果X1 X2 互相独立,例1.1.8,任选两个标有阻值20k的电阻R1和R2串联，两个电阻的误差都在5%之内，并且在误差之内它们是均匀分布的，求R1和R2串联后误差不超过2.5%的概率有多大？,扩展练习,假设电阻库中的电阻精度均为1%，误差服从均匀分布，某电路中需要20k的电阻，问： （1）取一个标称20k的电阻，其实际值在20k 100 以内的概率是多少？ （2）取两个标称10k的电阻，其实际值在20k 100 以内的概率是多少？,当误差均匀分布的时候，两个电阻的串联能获得更高精度的阻值。,
