1、5 频率响应法,5.1 频率特性的基本概念5.2 对数频率特性（Bode图）5.3 幅相频率特性（Nyquist图）5.4 用频率法辨识系统的数学模型5.5 频域稳定判据（奈奎斯特） 5.6 相对稳定性分析5.7 频率性能指标与时域性能指标的关系,5.5 频域稳定判据,系统稳定的充要条件 全部闭环极点均具有负的实部,由闭环特征多项式系数（不解根）判定系统稳定性,不能用于研究如何调整系统结构参数来改善系统稳定性及性能的问题,由开环频率特性直接判定闭环系统的稳定性,可研究如何调整系统结构参数改善系统稳定性及性能问题,频域稳定判据 ,Nyquist 判据 对数稳定判据,5.5 辐角原理(1),S1代
2、入F(S) 得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿s连续变化一周（不穿过F(S)的极点），则F(S)沿封闭曲线F连续变化一周。,F(s2),F(s1),5.5 辐角原理(2),不包围F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)不积累角度；,s包围一个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi)的相角 积累-2,或者说，F顺时针绕F平面零点一周；,s包围 Z个F(s)的零点，当S1沿s顺时针连续变化一周，(S-Zi) 的相角积累Z*(-2)，或者说，F顺时针绕F平面零点Z圈,5.5 辐角原理(3),p184,曲线s包围一个F(s)的极点，当S1沿s顺时针连续
3、变化一周，因为Pi映射到F(s)上是在无穷远，因此F逆时针绕F平面零点一周，(S-Pi)的相角积累是2角度。,幅角原理：设F(s)除平面上的有限个奇点外，为单值解析函数，若S平面上任选一条封闭曲线Cs以顺时针方向包围F(s)的Z个零点和P个极点，且使它不通过F(s)的奇点，则其在F(s)平面上的映射曲线CF将围绕着坐标原点旋转N周，其中N=Z-P。当N0，表示曲线CF以顺时针方向围绕；当N0，表示曲线CF以逆时针方向围绕。,5.5 奈奎斯特稳定判据(1),p184,可见F(s)的零点就是闭环极点，F(s)的极点就是开环极点。,5.5 奈奎斯特稳定判据(2),奈奎斯特稳定性判据思路:,根据系统闭
4、环特征根的位置可以判定系统的稳定性：如果根平面的右半面有闭环根，则系统闭环不稳定(Z0)；如果根平面的右半面没有闭环根，则系统闭环稳定(Z=0)。,F(s)的极点 (开环极点),F(s)的零点 (闭环极点),由辐角 原理确定,5.5 奈奎斯特稳定判据(3),包围整个右半平面的曲线映射在F(s)平面上形状如何？,顺时针包围整个右半面曲线，S从0j j（正虚轴），然后顺时针绕过 到 -j（负虚轴）-j0。,S从0jj变化时，F(s)|s=j=F(j)=1+G(j),将奈氏曲线偏移一个单位；,S从-j-j0变化时，F(s)|s=-j=F(j)=1+G(-j)，它与F(j)共轭；,S从j-j变化时，G
5、(j)=G(-j)=0，在F(j)=1点上。,5.5 奈奎斯特稳定判据(4),例1：,画出奈氏曲线如右图,由于F(s)=1+G(s),所以映射在F(s)平面上的曲线只要将水平坐标左移一个单位，如图,所以，该封闭曲线就是包围S右半平面的封闭曲线在F(s)平面上的映射，,另外，该封闭曲线“包围F(s)的原点”=“包围G(j)平面的（-1，j0）点”。,幅角原理修改为：奈氏曲线当从-0变化，按顺时针方向包围（-1，j0）点的圈数等于F(s)的零点数目Z与极点数目P之差，即N=Z-P。,在G(j)图中，曲线没有包围（-1，j0）点，N=0，可知F(s)的零、极点在右半面上的个数相等。,5.5 奈奎斯特
6、稳定判据(5),若P=0（即系统开环稳定）时，上述条件简化为当从- 到+变化时，系统的开环频率特性G(j)H(j)不包围（-1，j0）点。,比如：上例中，若已知系统开环稳定（P=0）而频率特性不包围（-1,j0）点（N=0），由N=P-Z得Z=0，所以该系统闭环稳定,如果：提高系统增益，曲线就可能包围(-1, j0)点(N0)，由N=P-Z得Z0，系统闭环变成不稳定,5.5 奈氏判据的应用(1),例2：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,解：依题有,(不稳定),(稳定),P185,5.5 奈氏判据的应用(2),例3：系统的开环传递函数如下,P185,试用奈氏判据判别闭环系统的稳定性
7、。,解：依题有,(稳定),这表示对于K、T1和T2的任意正值，该闭环系统总是稳定的。,5.5 奈氏判据的应用(3),例4：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,解 依题有,(稳定),(不稳定),虚轴上有开环极点时，S平面上做封闭曲线时通过了极点，因此应作修正：,虚轴上有开环极点时，S平面上做一个小半圆绕过原点。,5.5 虚轴上有开环极点时的奈氏判据(1),这个小半圆映射为无穷大的半圆。,5.5 虚轴上有开环极点时的奈氏判据(2),C2部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆。,C2部分在GH平面上的映射曲线是一个半径为无穷大的圆。,5.5 奈氏判据的应用(4),图5-47,
8、例4：一反馈系统的开环传递函数为,p188,解：依题有,(稳定),5.5 奈氏判据的应用(5),例5：已知一系统的开环传递函数为,解：依题有,(不稳定),5.5 奈氏判据的应用(6),例6：已知一系统的开环传递函数为,解：依题有,5.5 奈氏判据的应用(7),5.5 奈氏判据的应用(8),例7：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,解：依题有,(稳定),(不稳定),5.5 奈氏判据的应用(9) 扩展,例8：已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,解：依题有,(稳定),(不稳定),5.5 奈氏判据与对数稳定判据(1),1)GH平面上单位圆的圆周与对数坐标图上的0dB线相对应，单
9、位圆的外部对应于 dB，单位圆的内部对应于dB；,由于开环对数频率特性的绘制较其奈氏图的绘制更为简单、方便，因而人们自然地会想到开环对数频率特性是否也适用奈氏稳定判据? 回答是肯定的。,不难看出，开环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有着下列的对应关系：,2)平面上的负实轴与对数坐标图上的 线相对应。,5.5 奈氏判据与对数稳定判据(2),如果 曲线以逆时针方向包围(-1,j0)点一周，则此曲线必然由上向下穿越负实轴的 线段一次。由于这种穿越使相角增大，故称为正穿越。反之，若 曲线按顺时针方向包围(-1,j0)点一周，则此曲线将由下向上穿越负实轴的 线段一次。由于这种穿越使相角减小，故称为负穿
10、越。,图5-52所示为正负穿越数各一次的图形。显然对应于图5-52上的正负穿越在伯德图上表现为在 的频域内，当 增加时，相频曲线由下而上(负穿越)和由上而下(正穿越)穿过 线各一次。,5.5 奈氏判据与对数稳定判据(3),应用上式可以根据开环对数频率特性曲线判别相应闭环系统的稳定性。,不难看出，当 由 变化时，奈氏曲线 对于(-1,j0)点围绕的周数N与其相频特性曲线 在对数坐标图上的负、正穿越数之差相等， 即有,式中， 为在 dB频率范围内的负穿越数； 为在 dB频率范围内的正穿越数。这样上式便可改写为,5.5 奈氏判据与对数稳定判据(4),Bode图,L()=0,c,增益为零时的频率称穿越
11、（剪切）频率,20lgK,g,-1800,相角=-180时的频率称相角穿越频率,g,c,K,对应点,5.5 奈氏判据与对数稳定判据(5),例1：采用对数频率特性判别例5-6所示系统的稳定性。,解： 系统的开环传递函数为,据此作出的开环对数频率特性如右图所示。,p190,由于开环系统是稳定的,即P=0，因而闭环系统稳定的充要条件是：在 的频域内，相频特性 不穿越 线，或正、负穿越数之差为零。由图可见，在 的频域内， 总大于故闭环系统是稳定的。,5.5.3 对数稳定判据 (6),例1 采用对数频率特性判别例5-6所示系统的稳定性。,解 系统的开环传递函数为,5.5.3 对数稳定判据(6),例2 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,(稳定),(不稳定),对数稳定判据,小结,注意问题,闭环系统不稳定,闭环系统稳定,有误！,2. N 的正负,当s平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；G平面对应要补充大圆弧,3.,闭环系统超稳定？,5.5.3 对数稳定判据 (2),例6 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,5.5.3 对数稳定判据 (3),例7 已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。,(不稳定),(稳定),(不稳定),5.4.3 对数稳定判据 (4),5.4.3 对数稳定判据 (5),例3,
