1、第五章 时域分析法,ST,5-0 引言 5-1 一阶系统的过渡过程 5-2 二阶系统的过渡过程 5-3 系统稳定性及劳斯判据,5-0 引言,ST,时域分析法是根据系统的微分方程，以拉氏变换作为工具，直接解出控制系统的时间响应。然后，根据响应的表达式以及过程曲线来分析系统的性能，如稳定性、快速性和准确性等。,时域分析法一般局限于分析一、二阶系统。,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。,其微分方程为：,其中，y(t)为输出量，r(t)为输入量，T为时间常数,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,其传递函数为：,其中，T 为时间常数,其方框图为：,1/Ts,R(s),
2、Y(s),5-1 一阶系统的过渡过程,ST,1. 一阶系统的单位阶跃响应：,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,一阶系统的单位阶跃响应曲线：,1T,2T,3T,4T,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,2. 一阶系统的单位斜坡响应：,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,一阶系统的单位斜坡响应曲线：,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,3. 一阶系统的单位脉冲响应：,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,一阶系统的单位脉冲响应曲线：,Impulse Response,5-1 一阶系统的过渡过程,ST,阶跃响应,脉冲响应,斜坡响应,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,二阶系统的微分方程：,由二阶微分方程描述的系
3、统，称为二阶系统。,y(t)输出 r(t)输入 T 时间常数 阻尼系数 n无阻尼振 荡频率,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,二阶系统的特征根：,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,二阶系统的单位阶跃响应：,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,1. 01（欠阻尼）,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,2. = 0 （无阻尼）,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,3. = 1 （临界阻尼）,5-2 二阶系统的过渡过程,ST,4. 1 （过阻尼）,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,本教材定义：当输入量去除之后，经过足够长的时间， 系统的输出量仍能恢复到原始平衡态的能力。,1.稳定性的概念,见图5-16,在自
4、控理论中，通常采用两种方法定义系统的稳定性： （1）BIBO稳定性；（2）李亚普诺夫稳定性。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,2.稳定的条件：系统传递函数的极点全部位于复平面的左侧。,设系统的微分方程为：,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,当去除输入量后，x(t)及各阶导数均为0，于是：,其特征方程为：,若特征方程的根为1,2 ,3 ,n，则 微分方程的解为：,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,设特征方程有 k 个实数根 （i =1,2,k)，r 个复数根 （i =1,2,r) ，则：,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,若是一个稳定的系统，则,只有当时 时 ，才有,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,3
5、. 劳斯判据,虽然通过求出系统传递函数的极点，并根据极点在复平面上的分布情况可以判断系统的稳定性，但一般并不这样做。原因有二： （1）只需要极点的分布情况，并不需要知道极点的具体位置； （2）对于高阶代数方程，求解困难。 因此，通常采用前人总结的判据方法进行判断。劳斯判据就是其中的一种方法。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,（1）必要条件：闭环传递函数特征方程的所有系数全部为正（不允许为0或负数）。 （2）充分必要条件：劳斯计算表（劳斯阵列）中第一列元素全部为正。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,劳斯计算表：,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,5-3 稳定性与劳斯
6、判据,ST,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,如果劳斯计算表中第一列元素均为正值，则特征方程的根全部为左根，系统稳定。反之，若出现负值，则必有右根，且右根的个数等于符号变化的次数。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,例5-4 设系统的特征方程为,试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根的个数。,解：劳斯计算表为：,由于存在负值，所以不稳定，符号变化4次，因此有4个右根。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,例5-5 设系统的特征方程为,试确定系统的稳定性，如不稳定，则确定右根的个数。,解：劳斯计算表为：,由于存在负值，所以不稳定，符号变化2次，因此有2个右根。,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,例5-11 设系统的特征方程为,试确定使系统稳定K值。,解：先求系统的闭环特征方程,R(s),Y(s),A,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,系统的闭环传递函数为,因此，闭环特征方程为,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,劳斯计算表为：,40K 0,0 K 14,5-3 稳定性与劳斯判据,ST,对于二阶系统,只需各系数均大于0即可。,
