1、1,第五章 图论与网络优化,2,5-1 引论,5-2 图论基本概念,5-3 树及其优化问题,5-4 最短路问题,5-5 最大流问题,5-6 中国邮递员问题,3,5-3 树及其优化问题,一、树及其性质,在各种各样的图中，有一类图是十分简单又非常具有应用价值的图，这就是树。,例5.3 已知有六个城市，它们之间要架设电话线，要求任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。,4,如果用六个点v1v6代表这六个城市，在任意两个城市之间架设电话线，即在相应的两个点之间连一条边。这样，六个城市的一个电话网就作成一个图。,5,表示任意两个城市之间均可以通话，这个图必须是连通图。并且，这个图必须是无圈的
2、。否则，从圈上任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市的一个电话网。下图是一个不含圈的连通图，代表了一个电话线网。,6,定义6： 一个无圈的连通图叫做树。,树一般记为T作为树定义还可以有以下几种表述：,(1) T 连通且无圈或回路；,(2) T 无圈且有n1条边（如果有n个结点）；,(3) T 连通有n1条边；,(4) T 无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰得一个圈；,(5) T 连通，但去掉T 的任意一条边，T 就不连通了；（亦即，在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图。）,(6) T 的任意两个结点之间恰有一条初等链,7,下面介绍树的一些重要性质： 【定理5】 p个顶点的树含p1
3、条边。定理5-1 设图G=（V，E）是一个树 p(G) 2，那么图G中至少有两个悬挂点。定理5-2 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G不含圈，并且有且仅有p1条边。定理5-3 图G=（V，E）是一个树的充要条件是G是连通图，并且有且仅有 p1 条边。定理5-4 图G是一个树的充分必要条件是任意两个顶点之间有且仅有一条链。,8,从以上定理，不难得出以下结论：,（1）从一个树中任意去掉一条边，那么剩下的图不是连通图，亦即，在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图。,（2）在树中不相邻的两个点之间加上一条边，那么恰好得到一个圈。,9,定义7 设图K=( V , E1 )是图G=(V , E )
4、的一个支撑子图(点相同并保持图的连通性)，如果图K=(V , E1) 是一个树,那么称K 是G 的一个支撑树。,例如 , 图5.10 b 是图5.10a 的一个支撑树,二、支撑树,显然,如果图K=(V,E1)是图G=(V,E)的一个支撑树,那么K 的边数是p(G)1，G中不属于支撑树K 的边数是q(G)p(G)+1。,10,【定理6】一个图G有支撑树的充要条件是G是连通图。证明：充分性: 设图G是连通的，若G不含圈，则按照定义，G是一个树，从而G是自身的一个支撑树。若G含圈，则任取G的一个圈，从该圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图G1。若G1不含圈，则G1是G的一个支撑树。若G1仍然含圈
5、，则任取G1的一个圈，再从圈中任意去掉一条边，得到图G的一支撑子图G2。依此类推，可以得到图G的一个支撑子图GK，且不含圈，从而GK是一个支撑树。,11,定理6充分性的证明，提供了一个寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。即：就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时为止，这样就得到一个支撑树。,例4 用破圈法求出下图的一个支撑树。,12,取一个圈(v1 ,v2 ,v3 ,v1 )，在一个圈中去掉边e3 。,在剩下的图中，再取一个圈（v1 ,v2 ,v4 ,v3 ,v1 ），去掉边e4 。,再从圈（v3 ,v4 ,v5 ,v3 ）中去掉边e6 。,再从圈(v1 ,
6、v2 ,v5 ,v4 ,v3 ,v1 ）中去掉边e7。,这样，剩下的图不含圈，于是得到一个支撑树，如图所示。,13,1最小支撑树,定义8：设图G=（V，E），E中任意一条边eij上都对应有一个数wij，称wij为eij的权重，权重的全体记作W，称为G上的权重集，简称权。图G称为赋权图。记作G=（V，E，W），G的总权重记作w（G），或者w（E）。 今后，我们讨论的都是连通的赋权图。,一个网络图可以有多个支撑树记G 的所有支撑树的集合为：,T Tk | k1，2，L ,三、最小支撑树及其算法,14,设Tk （V， Ek ，Wk）是图G（V，E，W）的一棵支撑树，则边集Ek中所有边的权数之和称为树
7、Tk 的权数，记为：,则称 T * 为图G的一棵最小支撑树。,定义9：图G的支撑树T中，总权最小的树称为最小支撑树，简称最小树，记作T * ,15,最小树,比如，城市间交通线的建造等，可以归结为这一类问题。,再如前面例3，在已知的几个城市之间联结电话线网，要求总长度最短和总建设费用最少，这类问题的解决都可以归结为最小树问题。,16,【定理7】树T*是图G中最小树的充分必要条件是： 对T*外的每一条边eij，有下列不等式成立：,2最小树的求法,根据定理7，可以得出求T*的两种算法：（1）Kruskal算法（1956年，也称避圈法）： 每步取未选边中权最小的边且不构成圈，即：避圈留最小。（2）Ro
8、senstiehl算法（1967年，也称破圈法）： 每步弃所取圈中权重最大的边，即：破圈弃最大。,其中：ehk是T*中联通vi与vj的唯一链Cij上的任意一条边。,17,(1)避圈法： 从图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之与以选边不构成为圈，直到选够n-1条边为止。,例,最小树，权为13,从网络中任选一点,19,(2)破圈法： 在图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树； 去掉该圈中权数最大的边； 反复重复 两步，直到最小树。,最小树，权为13,22,v1,v2,v3,v4,v5,1,4,2,3,1,3,5,2,分别用两种方法求最小树,24,5-4 最短
9、路问题,最短路问题是最重要的网络优化问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际中的许多问题，如管道铺设、线路安排、厂区布局、设备更新等等，而且经常被作为一个基本工具，用于解决其它优化问题。许多优化问题往往可转化为求图上的最短路，这方面的研究工作已取得了十分丰富的成果，迄今为止，求解的算法已不下数十种。,25,如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1出发，经过这个交通网到达v6，要寻求总路程最短的线路。,26,从v1到v6的路线是很多的。比如: 从v1 v2 v4 v6;或者从v1 v2 v3 v5 v6等等。不同的路线，经过的总长度是不同的。例如，按
10、照第一个线路，总长度是3+6+3=12单位， 按照第二个路线，总长度是3+1+1+6=11单位。因此，如何选择路线，使得总长度最短，便是本部分要讨论的问题。,27,一、有向图,【定义10】 从点u到v的有向线段称为弧，记作：a=(u, v)，其中，u与v分别称为弧a的始点与终点，图中所有弧的集合则记作A。弧(vi, vj)也常记作aij 。,【定义11】 非空点集V及其相应的非空弧集A之二元组称为有向图，记作D=(V, A)。,28,显然，给定一个有向图D，若去除弧上的方向，则对应得到唯一的无向图G。此时的G 称为D的基础图； 反之，一个无向图G，由于可用不同的方式来标上方向，故可伴生多个有向
11、图。无向图中的许多概念与术语（如链与圈等）可沿用于有向图中，但仍有一些不同之处。将有向图与其基础图相对照，有下列对应关系：,29,在D = (V, A)中，点vi的邻点集N (vi) 可分解为两部分，即：,当D为简单图时，,N (vi)、N+(vi)、N-(vi) 常简记为Ni、Ni+、Ni-。,30,给定一个赋权有向图D ( V，A ) ,对每一条弧aijw (vi，vj)，相应地有权w (aij )= wij ，又有两点vs、vt V,设 r 是 D 中从vs 到vt 的一条路，路 r的权是r中所有弧的权之和,记为w(r)最短路问题就是求从vs 到vt 的路中一条权最小的路 r*:,二、最
12、短路问题,31,最短路问题按其不同的要求，可分成下列三种类型： 1、求两个定点之间的最短路； 2、求一个定点到其他各点的最短路； 3、求各点对之间的最短路。 不失一般性，总假定图中无环，以及多重弧只是由两条互为反向的弧组成的二重弧。,32,【例4】（渡河问题） 一人携带狼、羊、菜，须从一条小河的此岸渡往对岸。河边仅有一条小船，容量为2。当人不在场时，狼要吃羊、羊要吃菜。问：应怎样渡河，才能使大家安全到达对岸，且小船在河上的来回次数最少。 (船上必须要有人),33,【解】 记M代表人、W代表狼、S代表羊、V代表菜。 以河的此岸为考察基点，则开始状态为MWSV，结束状态为。 共有16种状态：MWS
13、V、MWS、MWV、MSV、WSV、MW、MS、MV、WS、WV、SV、M、W、S、V、。 其中，有6种不允许出现，即：WSV、MW、MV、WS、SV、M。 于是，可能的状态仅有10种。,34,以每个状态作为顶点，构造相应的图（如图5-8所示），其中，边的连接原则为： 若状态甲经一次渡河可变为乙，则连一条边。 从而，渡河问题就归结为求MWSV的最短路。 (船上必须要有人) （算法形式化方面的内容）,35,三、有向图最短路算法,1964年，Ford提出了可求解含负权的最短路问题的递推标号法。,设赋权有向图D = (V, A, W)，V中含p个点，现要求始点v1至终点vp的最短路Rp*及其路长rp
14、*。假定D中无负回路（其上总权为负数的回路），将原弧集A增广为新弧集，以使V中任意两点间均有互为反向的两条弧，同时权集W增广为新权集。于是，原图D增广为新图 。,36,其中，当i = j时，若设 ，则与实际背景不符，若 0，则出现负回路，故须定义为0。由Bellman最优化原理易知：从v1到vj的最短路长rj*必满足 ,反之亦然。,显见，若某两相邻点之间有多于一条的同向弧，则可弃大留小，简化为一条弧，从而是一个完全的二重赋权有向图，其中，增广的权集，定义为：,例：最短路径引例,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,求从1到8的最短路径,2
15、,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1, w1=0,min c12,c14,c16=min0+2,0+1,0+3=min2,1,3=1其他为X=1,4, w4=1,w1=0,w1=0,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,4,min c12,c16,c42,c47=min 0+2,0+3,1+10,1+2=min 2,3,11,3=2X=1,2,4, w2=2,w1=0,w4=1,w2=2,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,
16、6,8,2,X=1,2,4,min c16,c23,c25,c47=min 0+3,2+6,2+5,1+2=min 3,8,7,3=3X=1,2,4,6, w6=3,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,6,min c23,c25,c47,c67=min 2+6,2+5,1+2,3+4=min 8,7,3,7=3X=1,2,4,6,7, w7=3,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,w7=3,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8
17、,2,X=1,2,4,6,7,min c23,c25,c75,c78=min 2+6,2+5,3+3,3+8=min 8,7,6,11=6X=1,2,4,5,6,7, w5=6,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,w7=3,w5=6,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,4,6,7,min c23,c53,c58,c78=min 2+6,6+9,6+4,3+8=min 8,15,10,11=8X=1,2,3,4,5,6,7, w3=8,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,w7=3,w5=6,w3=8,2,3,7,1,8
18、,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,3,4,6,7,min c38,c58,c78=min 8+6,6+4,3+7=min 14,10,11=10X=1,2,3,4,5,6,7,8, w8=10,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,w7=3,w5=6,w3=8,w8=10,2,3,7,1,8,4,5,6,6,1,3,4,10,5,2,7,5,9,3,4,6,8,2,X=1,2,3,4,6,7,8,1到10的最短路径为1，4，7，5，8，长度为10。,w2=2,w4=1,w1=0,w6=3,w7=3,w5=6,w3=8,w8=10,46,基
19、本思路 ： 首先设任一点vi到任一点vj都有一条弧，如果在图G中，(vi ,vj)A，则添加弧(vi ,vj) ，并令wij=+。 显然，从v1到vj的最短路是从v1出发，沿着这条路到某个点vi ，再沿弧(vi ,vj)到vj 。则v1到vi的这条路必然也是v1到vi的最短路。否则，从v1到vj的这条路将不是最短的。于是，设rj表示从v1到vj的最短路长，ri表示从v1到vi的最短路长，则有下列方程：,47,利用如下的递推公式：,开始时，令,即用v1到vj的直接距离做初始解。,从第二步起，使用递推公式：,求,当进行到第t 步，若出现 ：,则停止计算。,即为v1到各点的最短路长。,48,计算步骤
20、：,Step 1. 初始标号,Step 2. 第k+1次标号,Step 3. 当成立,时，即得,从vp出发，反向追踪，确定最短路Rp*。 若Rp*中vj已确定，按式 确定前一点vi；,否则，k: = k + 1，转Step 2。最后得到的标号就是v1到各点vi（i = 1, 2, , p）的最短路长。,49,因已知图中顶点为p个，故算法至多经(p 2) + 1 = p 1 次迭代必收敛。若一旦出现 ： 则说明D中必含负回路。在负回路上每循环一次，路长减少一个定值，永无休止，最终导致：,【例5】 求图5-9中从v1到v8的最短路。,50,解：利用上面的递推公式，将计算结果列出，如下表所示(空格为
21、+ ) ：,0,-1,-2,3,0,-5,-2,-7,1,-1,5,0,-5,-2,-7,-3,-1,-5,-2,0,-5,-2,-7,-3,-1,-5,-10,0,-5,-2,-7,-3,-1,-5,-10,51,可以看出，当t =4时，有：,因此，表中的最后一列，就是从v1到v2 ，.，v8的最短路权。,从v8出发，反向追踪，确定最短路R8*。,上述计算过程，不仅求得了两个定点之间的最短路，而且同时得到一个定点至其他各点的最短路。至于求各点对之间的最短路，则可重复应用上述计算法来解决。,完整的计算表如下所示(表中没有数字的空格表示+)。,于是得一条最短路R8* = v1, v3, v4,
22、v7, v8，路长为r8* = -10。,52,四、无向图最短路算法,设非负赋权简单图G = (V, E, W)，V中含p个点，求始点v1至终点vp的最短路及其路长。,这里，介绍一种固定标号法（Dijkstra法）。 其要点是对点vi (i1)用两种标号： 先用临时标号ti (是v1到vi最短路长的某个上界)， 再用固定标号ri (是v1到vi的最短路长)。 作一次迭代，就将至少一个ti点变为ri点（又称“将未着色点着色”）。 至多经p 1次迭代，vp变为rp*点，于是得到v1至vp的最短路长， 再反向追踪，定出最短路。 计算过程中，以Vt表示ti点集，Vt中元素将由多变少，直至成为空集。,5
23、3,Dijkstra算法的计算步骤如下：,Step 1. 始点v1作固定标号r1* = 0，其余点vj作临时标号tj = ，Vt = v2, v3, , vp。,Step 2. 设当前已得到一个或多个vi的固定标号ri*，对vjN(vi)Vt，修改vj的临时标号为：,其中，右端的tj是原值，左端的tj是修改值。,Step 3. 对vjVt，取：,为对应点vj*的固定标号，Vt: = Vt -vj*。,Step 4. 当Vt =时，得rp*，再从vp出发，反向追踪，确定最短路Rp*。若Rp*中vj已确定，按 式，确定前一点vi；否则，转Step 2。,54,Dijkstra算法示例：求v1到v6
24、的最短路,+,+,+,+,+,（1）首先给v1以r标号，r(v1)0，给其余所有点T标号，T(vj)（ j = 2，3， 6),(0),r标号以（ ）形式标在结点旁边，T标号以不带（）的数字标在结点旁边 .,实际上，所有点最后得到的固定标号正是v1到各点的最短路路长。 用于有向图时，只要取vjN+(vi)Vt即可。,55,r(v2 )= 3,（3）,5,r(v3 )= 4,（4）,9,（2）考察 v1: T(v2)=min T(v2)，r(v1) +a12min ，03 = 3T(v3)=min T(v3)，r (v1) +a13min ，05 = 5所以，r (v2 )= 3,（3）考察 v
25、2:T(v3)=min T(v3)，r( v2) +a23min 5，31 = 4T(v4)=min T(v4)，r(v2) +a24min ，36 = 9所以，r(v3)=4,T(v3 )= 5,T(v4)= 9,56,r(v5)= 5,（5）,T(v4)= 8,（4）考察 v3: T(v5)=min T(v5)，r(v3) +a35min ，41 = 5T(v4)=min T(v4)，r(v3) +a34min 9，44 = 8所以，r(v5)= 5,（5）考察 v5:T(v6)=min T(v6)，r(v5) +a56min ，56 = 11T(v4)=min T(v4)，r(v5) +
26、a54min 8，52 = 7所以，r(v4)= 7,8,T(v6)= 11,11,（7）,r(v4)= 7,57,（6）考察 v4:T(v6)=min T(v6)，r(v4) +a46min 11，73 = 10所以，r(v6)= 10所有点都标上r标号,r(v6)= 10,(10),58,(7) 标出最短路 v1到v6的最短路可从v1开始，根据永久性标号数值回溯得到 最短路径是：v1v2v3v5v4v6 ，路长10 同时得到至其余各点的最短路，即各点的永久性标号r（vi）,注意： 双标号法只适用于所有wij 0的情形，当赋权有向图中存在负权时，则算法失效,(10),59,由以上计算过程可知
27、，每迭代一次，固定标号个数就会增加。作第k + 1次迭代时，在第k次迭代时才取得固定标号的点之各邻点的临时标号重又查视一遍，有的得以保留，而有的可能改进。 最后，在当前所有临时标号中取出最小值，其对应的点就作为新增加的固定标号点。当然，一个最小值可对应多个点，从而，一次迭代有可能同时得到多个固定标号点，总迭代次数不超过p -1。,60,【例7】 求图5-11所示图中从v1至v8的最短路及路长。,61,【解】 计算表如下：,表中空格对应的值为+，固定标号加方括弧，短横线格是同一行固定标号重复书写的简化，于是，得一条最短路R8*： v1, v3, v5, v2, v6, v8， 路长为 r8* = 11。,0,-,8,2,1, ,-,8,-,10,2, ,-,-,-,8,3, ,10, ,-,-,-,-,7,6,12,10, ,7,-,-,-,-,-,10,12, ,-,-,-,-,-,-,9,12, ,-,-,-,-,-,-,-,11,*,*,*,*,*,*,
