1、第五章 向量组与解空间 p.1001045 设 1, 2, 3 线性无关，1 = 31 2 + 3，2 = 21 + 32 3，3 = 51 + 62 + 23，证明: 1, 2, 3 也线性无关 .证 考虑齐次线性方程组 k11 + k22 + k33 = 0，即 k1(31 2 + 3) + k2(21 + 32 3) + k3(51 + 62 + 23) = 0也即 ( 3k1 + 2k2 + 5k3)1 + (k1 + 3k2 + 6k3)2 + ( k1 k2 + 2k3)3 = 0 (2)因为 1, 2, 3 线性无关，所以 (2)式中 3 个括号都必须为 0，即 3k1 + 2k
2、2 + 5k3 = 0k1 + 3k2 + 5k3 = 0k1 k2 + 2k3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = = 42 0, 21635所以，k 1, k2, k3 必全为 0，故 1, 2, 3 线性无关.证 2 记 A = ( 1 2 3 ), B = ( 1 2 3 ), C = 21635由题意 ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 )C，因为 | C | = 42 0, 所以 C 可逆，所以 ( 1 2 3 ) = ( 1 2 3 )C1即 1, 2, 3 可以由 1, 2, 3 线性表出，(所以两个向量组等价.)由 p.89 命题 5.3.2，rank(
3、1, 2, 3) rank(1, 2, 3)因为 1, 2, 3 线性无关，所以， rank(1, 2, 3) = 3, 所以 rank(1, 2, 3) 3, 而 1, 2, 3 只有 3 个向量，秩最大为 3，所以 rank(1, 2, 3) = 3，故 1, 2, 3 线性无关.6 假设 1, 2, 3 线性无关，问 为何值时，1 + 22，3 1 2， 1 + 2 + 3，也线性无关.解 考虑齐次线性方程组k1(1 + 22) + k2(31 2) + k3(1 + 2 + ) = 0，即 ( k1 + 3k2 + k3)1 + (2k1 k2 + k3)2 + (k3)3 = 0 (
4、2)因为 1, 2, 3 线性无关，所以 (2)式中 3 个括号都必须为 0，即 k1 + 3k2 + k3 = 02k1 k2 + k3 = 0k3 = 0此齐次线性方程组的系数行列式 | A | = = ( 6), 0123因为 1 + 22，3 1 2， 1 + 2 + 3 线性无关 | A | 0，所以， 0 且 6 时 1 + 22，3 1 2， 1 + 2 + 3 线性无关.7 已知向量组(I) 1 = , 2 = , 3= ;010(II) 1 = , 2 = , 3= ;证明：向量组(I)与(II)等价.证 1 易知 1 = (1 2 + 3)/2,2 = 1,3 = (1 +
5、 2 + 3)/2;且 1 = 2,2 = 1 + 3,3 = 1 2 + 3;即向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价.证 2 记 A = ( 1 2 3 ), B = ( 1 2 3 ),则 3 个线性方程组 x11 + x22 + x33 = k, k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | A | = = 2 0, 所以方程组都有(唯一)解，0即方程组(II)可以由 (I)线性表出;而 3 个线性方程组 x11 + x22 + x33 = k, k = 1, 2, 3,的系数行列式都是 | B | = = 1 0, 所以方程组也都有(唯一)解，0即方程
6、组(I)可以由(II)线性表出;综上，向量组(I)与(II)可以相互线性表出，所以向量组(I)与(II)等价.证 3 记 A = ( 1 2 3 ), B = ( 1 2 3 ),则 | A | = = 2 0, 且 | B | = = 1 0,00所以向量组(I)与(II)都是线性无关的;因为 dim(R3) = 3, 而向量组(I)与(II)中的向量都是 3 维向量， 所以向量组(I)与(II)都是的 R3 基，所以向量组(I)与(II) 等价.13 证明：向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出的充要条件是向量组 1, 2, , t 的秩与向量组 1, 2,
7、 , s, 1, 2, , t 的秩相等. 进而证明：向量组 1, 2, , s 与向量组 1, 2, , t 等价的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩相等.证 必要性: 向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出 = 向量组 1, 2, , t 的秩与向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩相等. 若向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出，则向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 也可以由向量组 1, 2, , t 线性表出由 p.89 命题 5.3.2，ra
8、nk( 1, 2, , s, 1, 2, , t) rank(1, 2, , t)而则向量组 1, 2, , t 是 1, 2, , s, 1, 2, , t 的部分组所以 rank(1, 2, , t) rank(1, 2, , s, 1, 2, , t)所以 rank(1, 2, , t) = rank(1, 2, , s, 1, 2, , t)充分性: 向量组 1, 2, , t 的秩与向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩相等 = 向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出设向量组 1, 2, , t 的秩为 r，前 r 个向量 1, 2,
9、, r 是它的极大线性无关组。则向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩 = 向量组 1, 2, , t 的秩 = r，所以， 1, 2, , r 是 1, 2, , s, 1, 2, , t 的极大线性无关组， 所以， 1, 2, , s, 1, 2, , t 中的每个向量都可以由 1, 2, , r 线性表出，所以， 1, 2, , s, 1, 2, , t 中的每个向量也都可以由 1, 2, , t 线性表出，所以，向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出.类似可得：向量组 1, 2, , t 可以由向量组 1, 2, , s 线性表出的充要条
10、件是向量组 1, 2, , s 的秩与向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩相等所以，向量组 1, 2, , s 与向量组 1, 2, , t 等价(即可相互线性表出)的充要条件是这两个向量组的秩都与向量组 1, 2, , s, 1, 2, , t 的秩相等.14 设 1, 2, , s 与 1, 2, , t 是两个向量组，假设：(1) 1, 2, , s 可以由 1, 2, , t 线性表出; (2) s t.证明： 1, 2, , s 必线性相关.证 向量组 1, 2, , s 可以由向量组 1, 2, , t 线性表出 = rank(1, 2, , s) rank(1,
11、 2, , t)反证法：倘若 1, 2, , s 线性无关，则 rank(1, 2, , s) = s,则 rank(1, 2, , t) s t，即向量组 1, 2, , t 的秩大于它所含向量个数，这是不可能的。所以 1, 2, , s 线性相关.15 设 r 1， 1, 2, , r 线性无关，讨论1 + 2, 2 + 3, , r + 1 的线性相关性.解 矩阵 (1 + 2 2 + 3 r + 1) = (1 2 r)C，其中 C = , 按第 1 行展开计算 C 的行列式100 | C | = 1 + (1)1+r = .,20为n 为奇数时，C 可逆， 1, 2, , r 与 1
12、 + 2, 2 + 3, , r + 1 等价，所以两个向量组的秩相同， 1, 2, , r 线性无关，其秩为 r，所以 1 + 2, 2 + 3, , r + 1 的秩也是 r，所以 1 + 2, 2 + 3, , r + 1 线性无关. n 为偶数时，rank(C ) Ax = 0,由此可知，Ax = 0 与 ATAx = 0 同解，所以 rank( ATA ) = rank( A ).23 假设线性方程组x1 + x2 + x3 = 0,x1 + 2x2 + ax3 = 0,x1 + 4x2 + a2x3 = 0与方程 x1 + 2 x2 + x3 = a 1 有公共解，求 a 的值及所
13、有公共解 .解 两个方程组的公共解就是两个方程组联立的解.x1 + x2 + x3 = 0,x1 + 2x2 + ax3 = 0,x1 + 4x2 + a2x3 = 0,x1 + 2 x2 + x3 = a 1. ( A b ) = 1100)2(1013 12042 aaaaa = 1 时， ( A b ) ，有公共解 k . kR001a = 2 时， ( A b ) , 有公共解 .010101 10a 1 且 a 2 时， ( A b ) ，无公共解.10a24 假设下列两个线性方程组同解：x1 + 2x2 + 3x3 = 0,2x1 + 3x2 + 5x3 = 0,x1 + x2 +
14、 ax3 = 0x1 + bx2 + cx3 = 0,2x1 + b2x2 + (c+1)x3 = 0,求 a, b, c 的值 .解 第 1 个方程组的系数矩阵 A1 = 201 3102 523aaaa 2 时，rank( A1 ) = 3，而第 2 个方程组只有两个方程，系数矩阵的秩 2，所以，a = 2, 第 1 个方程组的通解为 k , kR1将第 1 个方程组的解 代入第 2 个方程组，得11 + b c = 0,2 + b2 (c+1) = 0,解得 b = b2, b = 0 或 1，c = 1 或 2.b = 0，c = 1 时，第 2 个方程组的系数矩阵 A2 = ，01
15、01其解包含 k ，但不等于 k ；11b = 1，c = 2 时，第 2 个方程组的系数矩阵 A2 = ，10 3其解为 k ，与第 1 个方程组的解完全相同.所以，两个方程组同解时 a = 2, b = 1, c = 2.25 证明：rank( A ) = 1 当且仅当存在非零向量 , 使得 A = T.证 充分性 存在非零向量 , 使得 A = T = rank( A ) = 1.若存在非零向量 , 使得 A = T, 则 rank( A ) rank( ) = 1，显然 T 为非零矩阵，所以 rank( A ) 1，所以 rank( A ) = 1.必要性 rank( A ) = 1
16、= 存在非零向量 , 使得 A = T.若 rank( A ) = 1, A 中任意两个列向量线性相关，即任意两个列向量成比例，记 为 A 的第 1 个非零列向量， 为 A 的其它列关于 的比例系数，则 A = T. 26 设 A 是 n 阶方阵，假设 A2 = E，E 为 n 阶单位矩阵, 证明:rank( A + E ) + rank( A E ) = n.证 因为 ( A + E ) ( A E ) = A2 E = 0，所以 rank( A + E ) + rank( A E ) n. (p.100 例 5.5.2)又 rank( A E ) = rank( E A )，可知rank(
17、 A + E ) + rank( A E ) = rank( A + E ) + rank( E A ) (p.90 例 5.3.2) rank( A + E + E A ) = rank( 2E ) = n.因此 rank( A + E ) + rank( A E ) = n.27 设 A 是 n 阶方阵，假设 A2 = A，E 为 n 阶单位矩阵, 证明:rank( A ) + rank( A E ) = n.证 因为 A ( A E ) = A2 A = 0，所以 rank( A ) + rank( A E ) n. (p.100 例 5.5.2)又 rank( A E ) = rank( E A )，可知 (p.90 例 5.3.2)rank( A ) + rank( A E ) = rank( A ) + rank( E A ) rank( A + E A ) = rank( E ) = n.因此 rank( A ) + rank( A E ) = n.
