1、,数 据 结 构,（数据结构及其算法）,冯耀霖,Chap 7 图,图的基本概念 图的实现图的遍历最短路径问题最小生成树,1 图的基本概念,图的定义 图的相关术语 图的基本操作,图（graph）是一种复杂的数据结构，它能够为解决许多具体问题提供非常理想的非数值数学模型。当今，图结构已广泛应用于计算机科学、系统工程、管理工程、通信与网络理论、自动控制、运筹学以至社会科学等诸多学科。图形结构所研究的图并非生活中所说的图画或地图，而是用一些点和线来表示事物之间关系的某种抽象模型，本质上是数据集合与其上关系的图形表示。,1.1 图的定义,图G由两个非空集合V和E组成。V是顶点（Vertex）的有限集，在
2、图中数据元素称为顶点或结点。E是边（Edge）的有限集，边是顶点的无序对或有序对，描述了顶点之间的逻辑关系，每一条边连接V中两个不同的顶点。图的形式化定义为G=(V, E)V=vi | viElemTypeE=(vi , vj) | vi , vjV或 E= | vi , vjV其中，(vi , vj) 为无序对，表示一条无向边，简称边；为有序对，表示一条有向边，简称弧。,1.2 图的相关术语,1. 无向图在一个图中，如果连接任意2个顶点的是一条无向边(vi ,vj)，即顶点之间的连线是无方向的，则称该图为无向图。如图7.1。G1=(V1, E1)V1=A,B,C,D,EE1=(A,B), (
3、A,D), (B,C), (B,E), (C,D), (C,E),A,B,C,D,E,A,B,C,D,图7.1 无向图G1,图7.2 有向图G2,2. 有向图在一个图中，如果连接任意2个顶点的是一条弧，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。对于弧，vi 被称为起点（弧尾），vj 被称为终点（弧头）。如图7.2。G1=(V1, E1)V1=A,B,C,DE1=, , , , 3. 混合图混合图是既含有边又含有弧的图。,4. 无向完全图在一个无向图中，如果任意2个顶点之间都有一条边连接，则称该图为无向完全图。在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。5. 有向完全图在一个有
4、向图中，如果任意2个顶点之间都有方向互为相反的2条弧相连接，则称该图为有向完全图。在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条弧。,6. 顶点的度顶点的度是指依附于某顶点v 的边数，记作deg(v)。在有向图中，顶点的度有入度和出度之分。对于任意顶点v，以v为起点的弧的数目称为v的出度，记为OD(v)；而以v为终点的弧的数目称为v的入度，记为ID(v)。各个顶点的度都相等的无向图也称为正则图，并记作k -正则图，其中k 是各顶点的度。图7.3是个3-正则图，也被称为“彼得森图”。7. 权（weight）与图的边或弧相关的数值，用于表示从一个顶点到另一个顶点的距离、所需的时间或花费的代价等
5、。,图7.3 彼得森图,8. 网络网络也称带权图，即图中的边（弧）都是带权的边（弧）。实际上，所有的图都可以看成作网络的一种特殊情况，即一个图可以被看作是一个所有边（弧）具有相同权的网络。带权图的结构与现实生活紧密联系，因此它通常具有更加广泛的应用。图7.4给出了一个无向带权图的例子，它表示一张区域地图，图中的顶点为城市，边代表两个城市之间的连通关系，边上的权代表公路造价。现在要求用公路把所有城市联系起来，如何设计可使得工程的总造价最低？这是典型的无向图最小生成树问题。,10,8,21,18,5,6,7,25,19,33,图7.4 城市连接图,9. 路径（path）顶点vi 与vj 之间的通路
6、称为从vi 到vj 的路径。路径中边（弧）的数目称为路径长度。路径可以简便地用顶点序列表示，如(a,b,c,d)或abcd。路径中有连接边（弧）的两个顶点称为邻接顶点。如果路径中没有重复边（弧），那么该路径叫做简单路径。如果路径中没有重复顶点，则该路径叫做基本路径。显然，基本路径一定是简单路径。如果始点与终点相同，那么该路径称为回路。没有重复边（弧）的回路称为简单回路，而除始点与终点外，没有其他重复顶点的回路称为基本回路。,例如：abcd 是一条基本路径abcdbe 是一条简单路径abca 是一条基本回路,10. 子图如果图G=(V,E)和图G=(V,E)，满足VV和EE，则称G为G的子图。如
7、果G为G的子图，且GG，则称G是G的真子图。当VV，EE时，则称G是G的生成子图。,A,B,E,C,D,(a) G1的2个子图,A,B,C,E,D,(b) G1的生成子图,图7.5 子图,11. 连通与连通图如果从顶点v到顶点w有一条路径，则说v和w是连通的。如果无向图中任意两个顶点都是连通的，则称该图是连通图。对于一个非连通图的无向图，其中的每一个连通部分称作一个连通分量，即连通分量是无向图中的极大连通子图。图7.6(a)是一个非连通的无向图，它有2个连通分量，如图7.6(b)。对于有向图来说，如果任意一对顶点vi 和vj（ij）都存在从vi 到vj 的一条路径，也存在从vj 到vi 的一条
8、路径，则称该有向图是强连通图。对于一个非强连通图的有向图，其中的每一个强连通部分称作一个强连通分量，即强连通分量是有向图中的极大强连通子图。如图7.7是图7.2的强连通分量。,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,E,F,图7.6 无向图及连通分量,(a) 非连通的无向图,(b) 2个连通分量,12. 生成树生成树是无向连通图的极小连通子图。它包含了图的所有n个顶点，但只包含图的n-1条边。这n-1条边使这n个顶点互相连通。在生成树中添加任意一条属于原图中的边必定会产生回路。而减少生成树中的任意一条边，则必然成为非连通的。,13. 稀疏图和稠密图稀疏图和稠密图是两个相对的定义。通常认为边（弧
9、）较少的图就是一个稀疏图；相对地，接近完全图的图就是稠密图。注意这里给出的定义仅仅是一个形式化的描述，没有一个十分完备的标准来界定到底多少才算稀疏。之所以提出稀疏图和稠密图的概念，是因为稀疏图可以使用稀疏矩阵来表示，进而节省存储空间。,1.3 图的基本操作,1. 非带权图的基本操作GetElem功能：求顶点的元素值SetElem功能：设置顶点的元素值GetVexNum功能：返回顶点个数GetEdgeNum功能：返回边的个数GetArcNum功能：返回弧的个数,FirstAdjVex功能：返回指定顶点的第一个邻接顶点NextAdjVex功能：返回下一个邻接顶点InsertEdge功能：插入一条边
10、DeleteEdge功能：删除一条边InsertArc功能：插入一条弧DeleteArc功能：删除一条弧EdgeExist功能：判断指定顶点之间是否存在边,ArcExist功能：判断指定顶点之间是否存在弧DFTraverse功能：深度优先遍历BFTraverse功能：广度优先遍历,2. 带权图（网）的基本操作,除上述操作外，还应提供如下基本操作：SetWeight功能：设置指定边（弧）的权值GetWeight功能：返回指定边（弧）的权值InsrtWeiEdge功能：插入一条带权边InsrtWeiArc功能：插入一条带权弧,2 图的实现,邻接矩阵 邻接矩阵图的实现 邻接表 邻接表图的实现,2.1
11、 邻接矩阵,图可以有多种存储表示方法，但最常用的只有两种：邻接矩阵和邻接表。,1. 邻接矩阵的定义,邻接矩阵存储结构的基本思想是：用一维数组存储图中顶点的信息，而用矩阵表示各顶点之间的邻接关系。显然，该方法的关键是顶点之间的邻接关系的存储表示。,假设图G=(V,E)有n个确定的顶点，即V=v0 ,v1 ,vn ，则可用一个nn的矩阵来表示G中各顶点之间的邻接关系，故称邻接矩阵（Adjacency Matrix）。对于非网图，矩阵元素的定义如下：1 存在(vi ,vj )或AMi j = 0 不存在(vi ,vj )或对于网图，矩阵元素的定义如下：wij 存在(vi ,vj )或AMi j =
12、不存在(vi ,vj )或其中，是比任何权值更大的一个数值。,图7.7 一个无向图的邻接矩阵表示,AM=,0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0,V0,V3,V1,V2,图7.8 一个网图的邻接矩阵表示,AM=, 9 6 4 9 4 5 6 4 7 3 5 8 7 8 ,V0,V3,V1,V2,V4,9,6,3,4,5,7,8,邻接矩阵存储方法的特点：,无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵。因此，在具体存放邻接矩阵时只需存放上下三角矩阵的元素即可。对于无向图，邻接矩阵的第i行列非0元素（或非元素）的个数正好是第i个顶点的度。对于有向图，邻接矩阵的第i行非0元素（或非元素）
13、的个数正好是第i个顶点的出度OD(vi)，而第i列非0元素（或非元素）的个数正好是第i个顶点的入度ID(vi)。用邻接矩阵方法存储图，很容易确定图中任意2个顶点之间是否有边（弧）相连；但要确定图中有多少条边（弧），则必须按行、按列对每个元素进行检测，所花费的时间代价很大。这是使用邻接矩阵存储方法的局限性。,2. 图的抽象类,图的抽象类规定了图的最基本的操作。,template class Graph protected:int verNum, edgeNum; /顶点数和边数 public:/插入添加一个新顶点virtual void InsertVer(TypeOfVer e)=0; /删除
14、顶点v及其所有相关的边virtual bool DeleteVer(TypeOfVer v)=0; virtual bool InsertEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v)=0; virtual bool DeleteEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v)=0;virtual bool EdgeExsit(TypeOfVer u, TypeOfVer v)=0;virtual int GetVerNum() return verNum; virtual int GetEdgeNum() return edgeNum; ;,3. 邻接矩阵图的实现,
15、template class AdjMatrixGraph: public Graph protect:TypeOfVer *verList; /顶点元素表TypeOfWeight *edge ; /存放边的邻接矩阵int GetVerPos(TypeOfVer v)；/获取顶点在图中的位置,public:AdjMatrixGraph(int n; TypeOfVer v); AdjMatrixGraph();int GetVerPos(TypeOfVer v)；/获取顶点在图中的位置void InsertVer(TypeOfVer e);void DeleteVer(TypeOfVer v)
16、; bool InsertEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v);bool DeleteEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v);bool EdgeExsit(TypeOfVer u, TypeOfVer v);bool Empty();bool SetElem(int v, TypeOfVer e);bool GetElem(int v, TypeOfVer ,算法7.1 AdjMatrixGraph 功能：（构造函数）图的初始化,AdjMatrixGraph（int n, TypeOfVer elem） int i, j;verNum=n; edg
17、eNum=0;verList=new TypeOfVern; /初始化顶点元素表for(i=1; i=n; i+)verListi=elemi;edge=new TypeOfEdge *n; /初始化邻接矩阵for(i=1; i=n; i+) edgei=new TypeOfEdgen;for(j=1; j=n; j+)edgeij=0;,算法7.2 AdjMatrixGraph 功能：（析构函数）销毁图, AdjMatrixGraph() int j;delete verList;for(j=1; j=verNum; j+)delete edgej; /释放邻接矩阵的行指针delete ed
18、ge; /释放邻接矩阵 ,算法7.3 GetVerPos 功能：获取顶点在图中的位置,int GetVerPos(TypeOfVer v) int j;for( j=1; j=verNum; j+)if(verListj=v)return j;return 0; ,算法7.4 InsertEdge 功能：插入一条边,bool InsertEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v) int e1,e2;e1=GetVerPos(u);e2=GetVerPos(v);if(e1=0|e2=0)return FALSE;if(edgee1e2!=0)return FALSE;edg
19、ee1e2=1;edgeNum+;return TRUE; ,4. 邻接矩阵网图的实现,template class AdjMatrixNetwork: publicAdjMatrixGraph private:TypeOfEdge noEdge; /的表示 public:AdjMatrixNetwork(int n; TypeOfVer v); AdjMatrixNetwork();bool InsertEdge(TypeOfVer u, TypeOfVer v, TypeOfEdge w); ;,算法7.5 InsertEdge 功能：插入一条带权边,bool InsertEdge(Typ
20、eOfVer u, TypeOfVer v, TypeOfEdge w) int e1,e2;e1=GetVerPos(u);e2=GetVerPos(v);if(e1=0|e2=0)return FALSE;if(edgee1e2!=noEdge)return FALSE;edgee1e2=w;edgeNum+;return TRUE; ,算法7.6 FirstAdjVer 功能：返回顶点v的第一个邻接点的位置,int FirstAdjVer(int v) if(v0 ,算法7.7 NextAdjVer 功能：返回v的邻接点w的下一个邻接点,int NextAdjVer(int v) if(v0 ,2.2 邻接表,邻接表是图的一种顺序存储与链式存储相结合的存储方法。,Its Over,
