1、专题提升（十一） 以平行四边形为背景的计算与证明,已知：如图1，E，F是ABCD的对角线AC上的点若BEAC，DFAC，求证：BEDF.(浙教版八下P105作业题第2题),一 以平行四边形为背景的计算与证明,图1,证明：四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，BAEDCF.又BEAC，DFAC，AEBCFD.ABCD，RtAEBRtCFD，BEDF.【思想方法】 平行四边形是一种特殊的四边形，它具有对边平行且相等，对角线互相平分等性质根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明，平行四边形的判定有四种方法：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分,12
2、012铜仁如图2，E，F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AECF，AECF，BEDF.求证：ADECBF.,图2,证明：AECF，AEDCFB.DFBE，DFEFBEEF，即DEBF.,22013郴州如图3，已知BEDF，ADFCBE，AFCE.求证：四边形DEBF是平行四边形,图3,证明：因为BEDF，所以AFDCEB.又因为ADFCBE，AFCE，所以ADFCBE，所以DFBE.又因为BEDF，所以四边形DEBF是平行四边形,如图4，四边形ABCD中，ADBC，AEAD交BD于点E，CFBC交BD于点F，且AECF.求证：四边形ABCD是平行四边形,图4,证明：ADBC，ADBCBD
3、.AEAD，CFBC，EADFCB90.AECF，EADFCB(AAS)，ADCB.ADBC，四边形ABCD是平行四边形,如图5，在菱形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，且AEBC，AFCD.求菱形各个内角的度数(浙教版八下P141作业题第4题),二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明,图5,解：连结AC.因为四边形ABCD是菱形，AEBC，AFCD，且点E，F分别为BC，CD的中点，所以ACABADBCCD，所以三角形ABC，三角形ACD均为等边三角形，所以ABCACBBACACDADCCAD60，所以菱形ABCD的各个内角的度数分别为ABCADC60，BADBCD120.,【思想
4、方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，采用类比的学习法，比较它们的区别和联系对于矩形的性质，重点从“四对”入手，即从对边、对角、对角线及对称轴入手；判定菱形可以从一般四边形入手，也可以从平行四边形入手；正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质,1如图6，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H，连结OH，求证：DHODCO.,图6,证明：四边形ABCD是菱形，ODOB，COD90.DHAB于H，DHB90，OHOBOD，OHBOBH.又ABCD，OBHODC，OHBODC.在RtCOD中，ODCOCD90，在RtDHB中，DHOOHB90，DHODCO.,220
5、13临沂如图7，在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连结CF.(1)求证：AFDC；(2)若ABAC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论,图7,证明：(1)E是AD的中点，AEED.AFBC，AFEDBE，FAEBDE，AFEDBE，AFDB.AD是BC边上的中线，DBDC，AFDC.(2)四边形ADCF是菱形理由：由(1)知，AFDC.AFCD，四边形ADCF是平行四边形又ABAC，ABC是直角三角形平行四边形ADCF是菱形,32013黔东南如图8，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作MECD交BC于点E，作M
6、FBC交CD于点F.求证：AMEF.,图8,证明：连结MC.四边形ABCD是正方形，ADCD，ADMCDM，又DMDM，ADMCDM，AMCM.MECD，MFBC，四边形CEMF是平行四边形ECF90，CEMF是矩形，EFMC，又AMCM，AMEF.,42013重庆如图9，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，AECF，连结EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BEBF，BEF2BAC.(1)求证：OEOF；,图9,解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，CDAB，FCOEAO.FCOEAO(AAS)，OFOE.,(2)如图，连结OB. 第4题答图BEF2BAC，又BEFBACAOE
7、，BACAOE，AEOE.FCOEAO，CFAEOEOF.BEBF，OEOF，BOEF，OBEOBF，BOFBCF90.又BFBF，,RtBCFRtBOF(HL)，CBFOBFOBE30.,52013泰安如图10，在四边形ABCD中，ABAD，CBCD，E是CD上一点，BE交AC于F，连结DF.(1)证明：BACDAC，AFDCFE；(2)若ABCD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使EFDBCD，并说明理由,图10,解：(1)ABAD，CBCD，ACAC，ABCADC，BACDAC.ABAD，BAFDAF，AFAF，ABFADF，AFBAFD.又CFEA
8、FB，AFDCFE.(2)ABCD，BACACD.又BACDAC，DACACD，ADCD.,ABAD，CBCD，ABCBCDAD，四边形ABCD是菱形(3)当BECD时，EFDBCD.理由：四边形ABCD为菱形，BCCD，BCFDCF.又CF为公共边，BCFDCF，CBFCDF.BECD，BECDEF90，EFDBCD.,62012自贡如图11所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，AEF为正三角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且E，F不与B，C，D重合,图11,(1)证明：不论E，F在BC，CD上如何滑动，总有BECF；(2)当点E，F在BC，CD上滑动时，分别探讨四边形A
9、ECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值,解：(1)连结AC.在菱形ABCD中，BAD120，BAC60，B60，ABC是正三角形，ABAC.又AEF为正三角形，EAF60，AEAF，BACEACEAFEAC，即BAECAF，ABEACF，BECF.,(2)当E，F在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积不发生变化，其值为4.由(1)知SABESACF，,如图12，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且ABDE，AD，AFDC.,(1)求证：四边形BCEF是平行四边形；(2)若ABC90，AB4，BC3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？,图12,解：(1)证明：AFDC，AFFCDCFC，即ACDF.又AD，ABDE，ABCDEF.BCEF，ACBDFE.BCEF.四边形BCEF是平行四边形(2)若四边形BCEF是菱形，连结BE，交CF于点G，,中考预测答图BECF，FGCG.ABC90，AB4，BC3，,
