1、一、数学抽象、直观想象素养 1 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程.例 1 (1)如图表示的是一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距 80km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：骑自行车者比骑摩托车者早出发 3h，晚到 1h；骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；骑摩托车者在出发 1.5h 后追上了骑自行车者；骑摩托车者在出发 1.5h 后与骑自行车者速度一样其中，正确信息的序号是_答案 解析 看时间轴易知正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车
2、者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此正确；两条曲线的交点的横坐标对应着 4.5，故正确，错误(2)某楼梯共有 11 级，每步可走一级或二级，走完这 11 级楼梯共有多少种不同的走法？解 楼梯共有 11 级，数值比较大，可以先考虑简单情形楼梯共有：1 级、2 级、3 级、4 级、5 级、，从特殊的情境里发现规律.楼梯级数 1 2 3 4 5 11走法种数 1 2 3 5 8 ？从上面的走法种数 1,2,3,5,8，可以发现：前两个走法种数之和是下一个走法种数于是，容易推算出：走完这 11 级楼梯，共有 144 种不同的走法1加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称
3、为“可食用率” 在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat 2btc(a，b，c 是常数) ，如图记录了三次实验的数据根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A3.50 分钟 B3.75 分钟C4.00 分钟 D4.25 分钟答案 B解析 根据图表，把(t，p)的三组数据 (3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得Error!消去 c 化简得Error!解得Error!所以 p0.2t 21.5t2 2 2 ，15(t2 152t 22516) 4516 15(t 154) 1316所以当 t 3.75 时，
4、154p 取得最大值，即最佳加工时间为 3.75 分钟2甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位 /kg)甲 3 5乙 4 2分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素 A，B 的含量分别不低于 100,120 个单位，则混合物重量的最小值为_kg.答案 30解析 设甲食物重 xkg，乙食物重 ykg，A，B 的含量分别不低于 100,120 个单位，Error!由Error! 得Error!A(20,10) ，混合物重 zxy，平移直线 zxy ，由图知，当直线过 A(20,10)时，z 取最小值为 201030.素养 2 直观想象是指借助几何直观形象
5、和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程.例 2 (1)如图，点列A n，B n分别在某锐角的两边上，且|AnAn1 | An 1An2 |，A nA n2 ，nN *，| BnBn1 | Bn1 Bn2 |，B nB n2 ，nN *(PQ 表示点 P 与点 Q 不重合)若 dn| AnBn|，S n为A nBnBn1 的面积，则( )A Sn是等差数列 B S 是等差数列2nCd n是等差数列 D d 是等差数列2n答案 A解析 作 A1C1，A 2C2，A 3C3，A nCn垂直于直线 B1Bn，垂足分别为C1，C 2，C 3，C n，则 A1C1A 2C2A
6、 nCn.|A nAn1 | An1 An2 |，|C nCn1 |C n1 Cn2 |.设|A 1C1|a，|A 2C2|b，| B1B2|c，则|A 3C3|2ba，|AnCn| (n1) b(n2)a(n3)，n1 和 n2 时也符合S n c(n1)b(n2) a12 c(ba)n(2ab)，12S n1 S n c(ba)( n1)(2ab)( ba)n(2 ab)12 c(b a)，12数列S n是等差数列(2)在棱长为 1 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M，N 分别是 AC1，A 1B1 的中点点 P 在该正方体的表面上运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所
7、构成的轨迹的周长等于( )A. 1 B. 25 5C2 1 D2 25 5答案 B解析 如图，取 BB1 的中点 E，CC 1 的中点 F，连接 AE，EF，FD，则 BN平面 AEFD.设 M 在平面 ABB1A1 中的射影为 O，过 MO 与平面 AEFD 平行的平面为 ，能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形 AEFD 的周长相等，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，矩形 AEFD 的周长为 2.53 “牟合方盖”(如图 1)是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆
8、柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖) 其直观图如图 2 所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正(主) 视图和侧(左)视图完全相同时，它的正(主)视图和俯视图分别可能是( )Aa，bBa，cCc，bDb，d答案 A解析 当正(主)视图和侧( 左) 视图完全相同时， “牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正(主)视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选 A.4(2018北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A1B2C 3D4答案 C解析 由三视图得到空间几何体，如图所示，则 PA平面
9、ABCD，平面 ABCD 为直角梯形，PA ABAD 2，BC 1，所以 PAAD ，PAAB，PABC .又 BCAB，ABPAA，AB，PA平面 PAB，所以 BC平面 PAB.又 PB平面 PAB，所以 BCPB.在PCD 中，PD2 ，PC 3，CD ，2 5所以PCD 为锐角三角形所以侧面中的直角三角形为PAB，PAD，PBC，共 3 个故选 C.二、逻辑推理、数学运算素养 3 逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程.例 3 (1)(2018北京)设 a，b 均为单位向量，则“|a3b| |3ab|”是“ab”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充
10、要条件D既不充分也不必要条件答案 C解析 由|a3 b|3ab|，得 (a3b) 2(3 ab) 2，即 a29b 26ab9a 2b 2 6ab.又 a，b 均为单位向量，所以 a2b 21，所以 ab0，能推出 ab.由 ab 得|a 3b| ，|3ab| ，10 10能推出|a3b| |3ab|.所以“|a3b| |3ab|”是“ ab”的充要条件故选 C.(2)记 I 为虚数集，设 a，b R，x，yI，则下列类比所得的结论正确的是_( 填序号)由 abR，类比得 xyI ；由 a20，类比得 x20；由(ab) 2a 22abb 2，类比得(xy) 2x 22xyy 2；由 ab0，
11、a b，类比得 xy0，xy.答案 解析 由 abR，不能类比得 xyI，如 xyi ，则 xy1I，故不正确；由 a20，不能类比得 x20.如 xi ，则 x2P2，所以大一学生是“手机迷”的概率大(2)由频率分布直方图可知，从大一学生抽取的 100 人中， “手机迷”有(0.010 0.0025)2010025(人)，非手机迷有 1002575(人)22 列联表如下：非手机迷 手机迷 总计男 30 15 45女 45 10 55总计 75 25 100假设“手机迷”与性别无关，随机变量 K2 的观测值k 3.030，1003010 4515275254555 10033因为 3.0302
12、.706，所以有 90%的把握认为“手机迷 ”与性别有关9某市一水电站的年发电量 y(单位：亿千瓦时) 与该市的年降雨量 x(单位：毫米)有如下统计数据：2013 年 2014 年 2015 年 2016 年 2017 年降雨量 x(毫米) 1500 1400 1900 1600 2100发电量 y(亿千瓦时) 7.4 7.0 9.2 7.9 10.0(1)若从统计的 5 年中任取 2 年，求这 2 年的发电量都高于 7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为 0.004x ，该水电站计划 2019 年的发电量不低于y a 8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉 2019 年的降雨
13、量约为 1800 毫米，请你预测 2019 年能否完成发电任务？解 (1)从统计的 5 年发电量中任取 2 年，基本事件为7.4,7.0，7.4,9.2，7.4,7.9，7.4,10.0，7.0,9.2 ，7.0,7.9 ，7.0,10.0，9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共 10 个；其中这 2 年的发电量都高于 7.5 亿千瓦时的基本事件为9.2,7.9，9.2,10.0 ，7.9,10.0，共 3 个所以这 2 年发电量都高于 7.5 亿千瓦时的概率为 P .310(2)因为 x1 500 1 400 1 900 1 600 2 1005 1 700，8 5005y7.4 7.0 9.2 7.9 10.05 8.3.41.55又直线 0.004x 过点( ， )，y a x y所以 8.30.0041 700 ，a 解得 1.5，a 所以 0.004x1.5.y 当 x1 800 时， 0.0041 8001.58.78.6，y 所以预测该水电站 2019 年能完成发电任务
