1、1 高等数学建模案例,1.1 一元函数微积分在数学建模中的应用,案例一 反复学习及效率 案例二 最短路径问题,1.2 多元函数微积分在数学建模中的应用,案例一 竞争性产品生产中的利润最大化,1.3 微分方程在数学建模中的应用,案例一 “饮酒驾车”问题,案例1 反复学习及效率,问题背景,心理学研究指出，任何一种新技能的获得和提高都 要通过一定时间的学习。在学习中，常常会碰到这 样的现象，这个学生学得快，掌握得深，而哪个学 生学得差，掌握得浅。,以学习电脑为例，假设每学习电脑一次，能掌握一 定的新内容，其程度为常数A(0A1),试用数学知识 来描述经过多少次学习，就能基本掌握电脑知识。,问题,问题
2、分析,基本能掌握电脑知识，其掌握的程度应该 是接近于1的时候。那么，关键是如何确定经过n次后，掌握电脑知识程度的函数表达式，从而确定n。,模型假设,模型建立,模型求解,由上式模型得,可以看出，当学习次数n增大时， 随之增大，且越 来越接近于1（100%），但不会达到100%。这就说 明了一个道理：,熟能生巧，学无止境！,模型解释及应用,不妨假设在学习过程中，掌握95%以上的学习 内容就算基本掌握。根据以上模型来计算至少需 要学习多少次？,一般情况下， =0,即开始学习时，对电脑一无所知， 如果每次学习掌握程度为30%,逐个代入数据，如表 2-1所示。,表2-1 学习次数与掌握程度关系表,随着学
3、习的进行，掌握速度越来越慢，这也是学 习的道理，入门容易，深入钻研难！,案例2 最短路径问题,设某一物体在平面上运动，当它由上平面A(x1,y1) 运动到下平面B(x2,y2)(y10,y20)时，问此物体应 沿什么路径运动，才能使其花费的时间最短？,问题,y,o,A(x1,y1),p,B(x2,y2),x,问题分析：显然该物体在上 平面和下平面都做直线运动，并 且上下平面的两条运动直线在同 一条直线上时，花费时间最短。,简 单 情 形,模型假设,假设1 把这一物体视为质点； 假设2 考虑最简单的情形，假设该质点在上下两个 平面都沿直线运动，并且运动速度恒定。,模型建立,当AP，BP在一条直线
4、上时，模型的值最小。因 此，直线段APB就是最节省时间的路径。,模型求解,光的折射定理模型,假设1 把这一物体视为质点； 假设2 假设该质点在上平面运动速度为v1 ,在下平面为v2。假设3 该质点在上下平面都沿直线运动。,模型假设,o,M,N,模型建立,现在问题转化为假定物体沿 折线ApB运动其所用时间最 省，求p点的坐标。,模型求解,确定x满足什么条件时，上式模型取得最小值。,入射角正弦与折射角正弦之比等于光在两种介质中的速度之比！,1.2 多元函数微积分在数学建模中的应用,案例一 竞争性产品生产中的利润最大化,一家制造计算机的公司计划生产两种产品：一种使用27英寸显示 器的计算机，而另一种
5、使用31英寸显示器的计算机。除了400000 美元的固定费用外，每台27英寸显示器的计算机成本为1950美 元，而31英寸的计算机成本为2250美元。制造商建议每台27英寸 显示器的零售价格为3390美元，而31英寸的零售价格为3990美元。 营销人员估计，在销售这些计算机的竞争市场上，一种类型的计 算机每多卖出一台，它的价格就下降0.1美元。此外，一种类型的 计算机的销售也会影响另一种类型计算机的销售：每销售一台31 英寸显示器的计算机估计27英寸显示器的零售价格下降0.03美 元；每销售一台27英寸显示器的计算机，估计31英寸显示器的计 算机零售价格下降0.04美元。那么该公司应该生产每种
6、计算机多 少台，才能使利润最大？,问题分析,利润=销售收入-成本-固定费用,27寸销 售收入,31寸销 售收入,31寸生 产成本,27寸生 产成本,27寸 销售 数量 与市 场价 格,31寸生 产数量,27寸生 产数量,31寸 销售 数量 与市 场价 格,关键：确定两种产品 的生产数量、销售数 量以及市场价格。,模型假设,假设制造的所有计算 机都可以售出。,符号说明,模型建立,27英寸显示器计算机的零售价：,31英寸显示器计算机的零售价：,计算机的零售收入与制造成本分别为：,计算机的零售利润函数为：,模型求解,解方程得,则L(4736,7043)=9136410.25美元,公司应制造27英寸与
7、31英寸的计 算机数分别为4763台与7043台，才能使得利润最大9136419,。25美元。,据报载，2003年我国全国道路交通事故死亡人数104372 人，其中因饮酒驾车造成事故的占有相当的比例。针对 这种情况，国家质量检验检疫局2004年5月31日发布了新 的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国 家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量 大于或等于20mg/100mL小于80mg/100mL为饮酒驾车， 血液中酒精的含量大于或等于80mg/100mL为醉酒驾车。,1.3 微分方程在数学建模中的应用,案例一 “饮酒驾车”问题,现有一起交通事故，在事故发生3小时后，测得司机血
8、液中酒精含量是56mg/100mL,又过两个小时后，测得其 酒精含量降为40mg/100mL,据此，交警能判断事故发生 时，司机属于饮酒还是醉酒驾车而酿成交通事故？,问题分析,通过酒精浓度的改变速率来推算出初始时刻司机的 酒精含量。,模型假设,模型的建立及求解,由于初始时刻司机的血液中酒精浓度约为93.25mg/mL 80mg/mL，故发生事故时，司机血液中的酒精浓度已超 出醉酒驾车规定，属于醉酒驾车，应给予严肃处理。,模型应用,模型评注,应当说，对于“饮酒驾车”建立上述模型是有一些粗糙的， 饮酒视为口服药物在人体的分布与排除更为合理，但这样 处理的话，需要确定更多的数据，增加了问题的难度。,
