1、1第 23讲 与圆相关的位置关系重难点 切线的性质与判定 (2018郴州 T23，8 分)已知 BC是 O的直径，点 D是 BC延长线 上一点， AB AD， AE是 O的弦， AEC30.(1)求证： 直线 AD是 O的切线；(2)若 AE BC，垂足为 M， O的半径为 4，求 AE的长【思路点拨】 (1)先求出 ABC30，进而求出 BAD120，再由 OA OB即可求出 OAB30，结论得证；(2)先求出 AOC60，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论解：(1) AEC30， ABC30. AB AD， D ABC30.根据三角形的内角和定理，得 BAD120.2 分连接
2、OA. OA OB. OAB ABC30. OAD BAD OAB90. OA AD.点 A在 O上，直线 AD是 O的切线.4 分(2) AEC30， AOC60. BC AE于点 M， AE2 AM， OMA90.6 分在 Rt AOM中， AM OAsin AOM4sin602 .3 AE2 AM4 .8分3(2018江西)如图，在ABC 中，O 为 AC上一点，以点 O为圆心，OC 为半径作圆，与 BC相切于点 C，过点 A作 ADBO 交 BO的延长线于点 D，且AODBAD.(1)求证：AB 为O 的切线；(2)若 BC6， tanABC ，求 AD的长43【思路点拨】 (1)作
3、OEAB，先由AODBAD 求得ABDOAD，再由BCOD90及BOCAOD 求得OBCOADABD，最后证BOCBOE 得 OEOC，依据切线的判定可得；(2)先求得EOAABC，在 RtABC 中求得 AC8，AB10，由切线长定理知 BEBC6，AE4，OE3，继而得BO3 ，再证ABDOBC 得 ，据此可得答案5OCAD OBAB2【自主解答】 解：(1)证明：过点 O作 OEAB 于点 E，ADBO 于点 D，D90.BADABD90，AODOAD90.AODBAD，ABDOAD.又BC 为O 的切线，ACBC.BCOD90.BOCAOD，OBCOADABD.在BOC 和BOE 中，
4、 OBC OBE， OCB OEB，BO BO， )BOCBOE( AAS)OE OC.OEAB，AB 是O 的切线(2)ABCBAC90，EOABAC90，EOAABC. tanABC ，BC6，43ACBC tanABC8.则 AB 10.BC2 AC2由(1)知，BEBC6，AE4. tanEOA tanABC ，43 .OEAE 34OE3，OB 3 .BE2 OE2 5ABDOBC，DACB90，ABDOBC. ，即 .OCAD OBAB 3AD 3510AD2 . 5证明圆的切线时，可以分以下两种情况：方 法 指 导(1)若直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需连接过这点的半
5、径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：“连半径，证垂直，得切线” “证垂直”时通常利用圆中的关系得到 90的角(如例 1(1)；(2)直线与圆没有已知的公共点时，通常过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：“作垂直，证半径，得切线” 证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到3角两边的距离相等(如例 2(1)考点 1 点与圆的位置关系1 已知 点 A在直径为 8 cm的O 内，则 OA的长可能是( D)A8 cm B6 cm C4 cm D2 cm2如图，在ABC 中，C90，AB4，以 C点为圆心，2 为半径作C，则 AB的中点 O与C
6、的位置关系是( B)A点 O在C 外 B点 O在C 上C点 O在C 内 D不能确定考点 2 直线与圆的位置关系3在平面直角坐标系中，以点(3，2)为圆心、3 为半径的圆，一定( C)A与 x轴相切，与 y轴相切B与 x轴相切，与 y轴相交C与 x轴相交，与 y轴相切D与 x轴相交，与 y轴相交4如图，在矩形 ABCD中，AB6，BC4，O 是以 AB为直径的圆，则直线 DC与O 的位置关系是相离考点 3 切线的性质与判定5(2018福建)如图，AB 是O 的直径，BC 与O 相切于点 B，AC 交O 于点 D.若ACB50，则BOD 等于( D)A40 B50 C60 D806(2017日照)
7、如图，AB 是O 的直径，PA 切O 于点 A，连接 PO并延长交O 于点 C，连接AC，AB10，P30，则 AC的长度是( A)A5 B5 C5 D.3 25247(2018重庆 A卷)如图，已知 AB是O 的直径，点 P在 BA的延长线上，PD 与O 相切于点 D，过点 B作 PD的垂线交 PD的延长线于点 C.若O 的半径为 4，BC6，则 PA的长为( A)A4 B2 C3 D2.538(2018无锡)如图，在矩形 ABCD中，G 是 BC中点，过 A，D，G 三点的O 与边 AB，CD 分别交于点 E，F，给出下列说法：AC 与 BD的交点是O 的圆心；AF 与 DE的交点是O 的
8、圆心；BC 与O 相切，其中正确的说法的个数是( C)A0 B1 C2 D39(2018黄冈)如图，AD 是O 的直径，AB 为O 的弦，OPAD，OP 与 AB的延长线交于点 P，过点 B的切线交OP于点 C.(1)求证：CBPADB；(2)若 OA2，AB1，求线段 BP的长解：(1)证明：连接 OB，则 OBBC，OBDDBC90.又 AD为 直径，DBPDBCCBP90.OBDCBP.又 ODOB，OBDODB，ODBCBP，即ADBCBP.(2)ABDAOP，DABPAO，ADBAPO. .ABAO ADAPAB1，AO2，AD4，5AP8，BP7.10(2018金华)如图，在 Rt
9、ABC 中，点 O在斜边 AB上，以 O为圆心，OB 为半径作圆，分别与 BC，AB 相交于点 D，E，连接 AD.已知CADB.(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若 BC8， tanB ，求O 的半径12解：(1)证明：连接 OD.OBOD，ODBB.BCAD，ODBCAD.在 RtACD 中，CADADC90，ODBADC90.ADO180(ADCODB)90.ODAD.又OD 是O 的半径，AD 是O 的切线(2)设O 的半径为 r.在 RtABC 中，ACBC tanB8 4.12AB 4 .AC2 BC2 42 82 5OA4 r.5在 RtACD 中， tanCAD tanB
10、.12CDAC tanCAD4 2.12AD 2AC 2CD 24 22 220.在 RtADO 中，OA 2OD 2AD 2.(4 r) 2r 220.5解得 r .325考点 4 切线长定理11(2018深圳)如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出 AB3 cm，则此光盘的直径是( D)A3 cm B3 cm C6 cm D6 cm 3 3612如图，ABC 是一张三角形的纸片，O 是它的内切圆，点 D是其中的一个切点，已知 AD10 cm，小明准备用剪刀沿着与O 相切的任意一条直线 MN剪下一块三角形(AMN)，则剪下
11、的AMN 的周长为 20_cm13(2018娄底)如图，已知半圆 O与四边形 ABCD的边 AD，AB，BC 都相切，切点分别为 D，E，C，半径 OC1，则 AEBE1考点 5 三角形与圆14(2018黄石)在 RtABC 中，C90，CA8，CB6，则ABC 内切圆的周长为 4 15如图，在ABC 中，BC3 cm，BAC60，那么ABC 能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖316(2018泸州)在平面直角坐标系内，以原点 O为圆心，1 为半径作圆，点 P在直线 y x2 上运动，过点3 3P作该圆的一条切线，切点为 A，则 PA的最小值为( D)A3 B2 C. D.3 217(20 1
12、8宁波)如图，正方形 ABCD的边长为 8，M 是 AB的中点，P 是 BC边上的动点，连接 PM，以点 P为圆心，PM长为半径作P.当P 与正方形 ABCD的边相切时，BP 的长为 3或 4 3718(2018内江)已知ABC 的三边 a，b，c，满足 ab 2|c6|284 10b，则ABC 的外接圆半径a 125819(2018内江)如图，以 RtABC 的直角边 AB为直径作O 交斜边 AC于点 D，过圆心 O作 OEAC，交 BC于点E，连接 DE.(1)判断 DE与O 的位置关系并说明理由；(2)求证：2DE 2CDOE；(3)若 tanC ，DE ，求 AD的长43 52解：(1
13、)DE 是O 的切线理由：连接 OD，BD.AB 是O 的直径，ADBBDC90.OEAC，OAOB，BECE.DEBECE.DBEBDE.OBOD，OBDODB.ODEOBE90.点 D在O 上，DE 是O 的切线(2)证明：BDCABC90，CC，BCDACB. .BCAC CDCBBC 2CDAC.由(1)知，DE BECE BC.124DE 2CDAC.由(1)知，OE 是ABC 的中位线，AC2OE.4DE 2CD2OE.2DE 2CDOE.(3)DE ，52BC5.在 RtBCD 中， tanC ，43 BDCD设 CD3x，BD4x，根据勾股定理，得(3x)2(4x) 225.x1(舍)或 x1.BD4，CD3.8由(2)知，BC 2CDAC，AC .BC2CD 253AD ACCD 3 .253 163
