1、1第 10讲 一次函数第 1课时 一次函数的图象与性质重难点 一次函数的图象与性质已知，函数 y(12m)x2 m1，试解决下列问题：(1)当 m2 时，直线所在的象限是第一、二、四象限；(2)若 y随 x的增大而增大，则 m的取值范围是多少？(3)证明直线 y(12m)x2m1 必过点(1，2)；(4)当函数 y(12m)x2m1 向上平移 3个单位长度时得到 y(12m)x2，m 的值为1；(5)若函数图象与 x轴的交点坐标为 A，与 y轴的交点为 B(0，3)，则A BO的面积为 ；92(6)若函数图象与直线 yx1 交于点(2，1)，则关于 x的不等式 x1(12m)x2m1 的解集是
2、多少？(7)当 m0 时，yx1，将正方形 A1B1C1O，A 2B2C2C1，A 3B3C3C2按如图所示方式放置，点 A1，A 2，A 3，和点C1，C 2，C 3，分别在直线 yx1 和 x轴上，则点 B10的坐标是(2 101，2 9)【自主解答】 解：(2)m2.一次函数的图象和性质都与解析式中 k，b 的取值有关，利用 k，b 的取值可以确定图象经过的象限、方 法 指 导可确定一次函数的增减性、也可确定与坐标轴的交点或两条直线的交点等；反之，也可结合函数图象确定 k，b 取值(或范围)来解决相关问题用待定系数法求一次函数的解析式可从特殊点(与 x轴、y 轴的交点)入手：一次函数图象
3、与 y轴交点的纵坐标的值即一次函数 ykxb 中 b的值，可直接代入考点 1 一次函数的概念1(2018玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是( B)A正比例函数 B一次函数 C反比例函数 D二次函数考点 2 一次函数的图象与性质2(2018常德)若一次函数 y(k2)x1 的函数值 y随 x的增大而增大，则( B)Ak2 Bk2 Ck0 Dk03(2018湘潭)若 b0，则一次函数 yxb 的图象大致是( C)2A B C D4(2018济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数 y2x1 的图象经过 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)两点若x1x 2，则 y1y 2.(填“” “
4、”或“”)5(2018巴中)直线 y2x6 与两坐标轴围成的三角形面积是 96如图，在平面直角坐标系中，正方形 ABCD的对称中心与原点重合，顶点 A的坐标为(1，1)，顶点 B在第一象限若点 B在直线 ykx3 上，则 k的值为2考点 3 一次函数解析式的确定7(2018枣庄)如图，直线 l是一次函数 ykxb 的图象，如果点 A(3，m)在直线 l上，则 m的值为( C)A5 B. C. D732 528如图，正方形 AOBC的两边分别在直线 l1和 l2上，且 AO4，AO 与 y轴之间的夹角为 60，则 l1的解析式为y x839(2017杭州)在平面直角坐标系中，一次函数 ykxb(
5、k，b 都是常数，且 k0)的图象经过点(1，0)和(0，2)(1)当2x3 时，求 y的取值范围；(2)已知点 P(m，n)在该函数的图象上，且 mn4，求点 P的坐标解：(1)已知一次函数解析式为 ykxb(k0)，将(1，0)和(0，2)两点代入，得解得0 k b，2 b. ) k 2，b 2. )y2x2.当20)个单位长度若平移后得到的直线与半径为 6的O 相交(点 O为坐标原点)，则 m的取值范围为 0m 13219(2018河北)如图，在平面直角坐标系 xOy中，一次函数 y x5 的图象 l1分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，12正比例函数的图象 l2与 l1交于点 C(m
6、，4)(1)求 m的值及 l2的解析式；(2)求 SAOC S BOC 的值；(3)一次函数 ykx1 的图象为 l3，且 l1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出 k的值解：(1)把 C(m，4)代入 y x5，得 m2.12设 l2的解析式为 ykx.把 C(2，4)代入 ykx，得 k2.l 2的解析式为 y2x.(2)把 x0 代入 y x5，得 y5，即 B(0，5)12把 y0 代入 y x5，得 x10，即 A(10，0)12S BOC 525，S AOC 10420.12 12S AOC S BOC 20515.(3)过点 C时，k .32与 l1平行时，k .12与 l2
7、平行时，k2. 5第 2课时 一次函数的应用重难点 一次函数的实际应用(2018黄石)某年 5月，我国南方某省 A，B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万人被迫转移，邻近县市 C，D获知 A，B 两市分别急需救灾物资 200吨和 300吨的消息后，决定调运物资支援灾区已知 C市有救灾物资 240吨，D市有救灾物资 260吨，现将这些救灾物资全部调往 A，B 两市已知从 C市运往 A，B 两市的费用分别为每吨 20元和 25元，从 D市运往 A，B 两市的费用分别为每吨 15元和 30元，设从 D市运往 B市的救灾物资为 x吨(1)请填写下表：A(吨) B(吨) 合计(吨)C x60 300x 2
8、40D 260x x 260总计(吨) 200 300 500(2)设 C，D 两市的总运费为 w元，求 w与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(3)经过抢修，从 D市到 B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 m元(m0)，其余路线运费不变若 C，D 两市的总运费的最小值不小于 10 320元，求 m的取值范围【思路点拨】 (1)根据表格的总分量关系填空即可；(2)根据：运费救灾物资的重量相应每吨的运费，求出 w与 x的函数关系式即可，并写出 x的取值范围；(3)根据题意，可列出含有参数 m的关于 x的函数关系式，由于 m对函数增减性的影响，注意分段讨论求其最值，
9、并分别求出 m的取值范围【自主解答】 解：(2)由题意可得，w20(x60)25(300x)15(260x)30x10x10 200，w10x10 200(60x260)(3)由题意可得，w10x10 200mx(10m)x10 200，当 0m10 时，x60 时，w 取得最小值，此时 w(10m)6010 20010 320，解得 0m8.当 m10 时，x260 时，w 取得最小值，此时，w(10m)26010 20010 320，解得 m .12413 10，m10 这种情况不符合题意12413由上可得，m 的取值范围是 0m8.1.利用数量关系求函数的解析式.2.利用分类讨论思想求参
10、数的取值例 题 剖 析一次函数与不等式结合考查时，常用方法如下：在涉及求最值、最大利润问题时，通常会利用一方 法 指 导次函数的增减性及构成函数的自变量的取值范围来求解；在遇到方案选取问题时，往往涉及两个一次函数或分段函数，常利用不等式进行比较，往往涉及分类讨论思想【变式训练 1】 (2018临沂)甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发，匀速相向而行甲的速度大于乙的速度，甲到达 B地后，乙继续前行设出发 x h后，两人相距 y km，图中折线表示从两人出发至乙到达 A地的过程中 y与 x之间的函数关系根据图中信息，求：(1)点 Q的坐标，并说明它的实际意义；(2)甲、乙两人的速度6解：(1)设
11、 PQ解析式为 ykxb.把已知点 P(0，10)，( ， )代入，得14 152解得152 14k b，b 10. ) k 10，b 10. )y10x10.当 y0 时，x1.点 Q的坐标为(1，0)点 Q的意义是：甲、乙两人分别从 A，B 两地同时出发后，经过 1个小时两人相遇(2)设甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h.由图知第 小时时，甲到 B地，则乙走 1小时的路程，甲仅需走( 1)小时，53 53 解得a b 10，b 23a. ) a 6，b 4.)甲、乙的速度分别为 6 km/h、4 km/h.首先，读懂图象中的横，纵坐标代表的量；拐点：图象上的拐点，既是前一段
12、函数变化的终点，方 法 指 导也是后一段函数的起点；水平线：函数值随自变量的变化而保持不变【变式训练 2】 (2018孝感 T2210分)“绿水青山就是金山银山” ，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理 A，B 两种型号的净水器，每台 A型净水器比每台 B型净水器进价多 200元，用 5万元购进 A型净水器与用 4.5万元购进 B型净水器的数量相等(1)求每台 A型、B 型净水器的进价各是多少元？(2)槐荫公司计划购进 A，B 两种型号的净水器共 50台进行试销，其中 A型净水器为 x台，购买资金不超过9.8万元试销时 A型净水器每台售价 2 500
13、元，B 型净水器每台售价 2 180元，槐荫公司决定从销售 A型净水器的利润中按每台捐献 a(70a80)元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完 50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为 W，求 W的最大值解：(1)设 A型净水器每台的进价为 m元，则 B型净水器每台的进价为(m200)元，根据题意，得 . 2分50 000m 45 000m 200解得 m2 000.经检验，m2 000 是分式方程的解. 3 分m2001 800.答：A 型净水器每台的进价为 2 000元，B 型净水器每台的进价为 1 800元. 4 分(2)根据题意，得 2 000x1 800(50x)98 0
14、00，解得 x40. 6 分W(2 5002 000)x(2 1801 800)(50x)ax(120a)x19 000， 8 分7当 70a80 时，120a0，W 随 x增大而增大. 9分当 x40 时，W 取最大值，最大值为(120a)4019 00023 80040a.W 的最大值是(23 80040a)元. 10 分先确定函数解析式，然后确定自变量的取值范围，最后根据函数的增减性，结合自变量的取值范围方 法 指 导确定函数最值，从而达到优化方案的目的考点 1 图象型问题1若弹簧的总长度 y(cm)是所挂重物 x(千克)的一次函数图象如图所示，则不挂重物时，弹簧的长度是( B)A5 c
15、m B8 cm C9 cm D10 cm2(2018衢州)星期天，小明上午 8：00 从家里出发，骑车到图书馆借书，再骑车回到家，他离家的距离 y(千米)与时间 t(分)的关系如图所示，则上午 8：45 小明离家的距离是 1.5千米3(2018杭州改编)某日上午，甲，乙两车先后从 A地出发沿同一条公路匀速前往 B地，甲车 8点出发，如图是其行驶路程 s(千米)随行驶时间 t(小时)变化的图象乙车 9点出发，若要在 11点前(含 11点)追上甲车，则乙车的速度 v(单位：千米/小时)的范围是 v604(2018绍兴)一辆汽车行驶时的耗油量为 0.1升/千米，如图是油箱剩余油量 y(升)关于加满油
16、后已行驶的路程x(千米)的函数图象(1)根据图象，直接写出汽车行驶 400千米时，油箱内的剩余油量，并计算加满油时油箱的油量；(2)求 y关于 x的函数关系式，并计算该汽车在剩余油量 5升时，已行驶的路程8解：(1)汽车行驶 400千米时，剩余油量 30升；加满油时油箱的油量为 70升(2)设 ykxb(k0)，把点(0，70)，(400，30)坐标分别代入得 b70，k0.1，y0.1x70，当 y5 时，x650，即已行驶的路程为 650千米考点 2 文字型问题5(2017德州)公式 LL 0KP 表示当重力为 P的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 0代表弹簧的初始长度，用厘米( cm)表
17、示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米( cm)表示下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是( A)AL100.5P BL105PCL800.5P DL805P6(2018泰安)文美书店决定用不多于 20 000元购进甲、乙两种图书共 1 200本进行销售甲、乙两种图书的进价分别为每本 20元、14 元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本的售价的 1.4倍，若用 1 680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用 1 400元购买乙种图书的本数少 10本(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低 3元，乙种图书售价每本
18、降低 2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完)解：(1)设乙种图书售价每本 x元，则甲种图书售价为每本 1.4x元由题意，得 10.1 400x 1 6801.4x解得 x20.经检验，x20 是原方程的解甲种图书售价为每本 1.42028(元)答：甲种图书售价每本 28元，乙种图书售价每本 20元(2)设甲种图书进货 a本，总利润 W元，则W(28203)a(20142)(1 200a)a4 800.20a14(1 200a)20 000.解得 a .1 6003W 随 a的增大而增大，当 a最大时，W 最大当 a533 时，W 最大此时，乙种图书进货本数为 1
19、200533667(本)答：甲种图书进货 533本，乙种图书进货 667本时利润最大7(2018铜仁)学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买 1张办公桌必须买 2把椅子，椅子每把100元，若学校购进 20张甲种办公桌和 15张乙种办公桌共花费 24 000元；购买 10张甲种办公桌比购买 5张乙种办公桌多花费 2 000元(1)求甲、乙两种办公桌每张各多少元？(2)若学校购买甲、乙两种办公桌共 40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的 3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用解：(1)设甲种办公桌每张 x元，乙种办公桌每张 y元，根据题意，得 20x 15y 7
20、000 24 000，10x 5y 1 000 2 000， )解得 x 400，y 600.)答：甲种办公桌每张 400元，乙种办公桌每张 600元9(2)设甲种办公桌购买 a张，则购买乙种办公桌(40a)张，购买的总费用为 y，则 y400a600(40a)240100200a32 000，a3(40a)，a30.2000，y 随 a的增大而减小当 a30 时，y 取得最小值，最小值为 26 000元考点 3 表格型问题8(2018云南)某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富经过调查研究，他们决定利用当地生产的甲、乙两种原料开发 A，B 两种商品，为科学决策，他们试生产 A，B 两
21、种商品 100千克进行深入研究，已知现有甲种原料 293千克，乙种原料 314千克，生产 1千克 A商品，1 千克 B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如下表所示甲种原料(单位：千克)乙种原料(单位：千克)生产成本(单位：元)A商品 3 2 120B商品 2.5 3.5 200设生产 A种商品 x千克，生产 A，B 两种商品共 100千克的总成本为 y元，根据上述信息，解答下列问题：(1)求 y与 x的函数解析式(也称关系式)，并直接 写出 x的取值范围；(2)x取何值时，总成本 y最小？解：(1)由题意，得y120x200(100x)80x20 000.由题意，得 3x 2.5（ 100
22、x） 293，2x 3.5（ 100 x） 314， )解得 24x86.(2)y80 x20 000，y 随 x的增大而减小x86 时，y 最小则 y808620 00013 120(元)9(2018南充)某销售商准备在南充采购一批丝绸，经调查，用 10 000元采购 A型丝绸的件数与用 8 000元采购 B型丝绸的件数相等，一件 A型丝绸进价比一件 B型丝绸进 价多 100元(1)求一件 A型、B 型丝绸的进价分别为多少元？(2)若销售商购进 A型、B 型丝绸共 50件，其中 A型的件数不大于 B型的件数，且不少于 16件，设购进 A型丝绸 m件求 m的取值范围；已知 A型的售价是 800
23、元/件，销售成本为 2n元/件；B 型的售价为 600元/件，销售成本为 n元/件如果50n150，求销售这批丝绸的最大利润 w(元)与 n(元)的函数关系式(每件销售利润售价进价销售成本)解：(1)设一件 B型丝绸的进价为 x元，则一件 A型丝绸的进价为(x100)元根据题意，得 .10 000x 100 80 000x解得 x400.经检验，x400 为原方程的解x100500.答：一件 A型、B 型丝绸的进价分别为 500元，400 元10(2)根据题意，得 m 50 m，m 16， )m 的取值范围为 16m25.设销售这批丝绸的利润为 y，根据题意，得y(8005002n)m(600400n)(50m)(100n)m10 00050n.50n150，()当 50n100 时，100n0.m25 时，销售这批丝绸的最大利润 w75n12 500.()当 n100 时，100n0，销售这批丝绸的最大利润 w5 000，()当 100n150 时，100n0，当 m16 时，销售这批丝绸的最大利润 w66n11 600.
