（全国通用版）2019年中考数学复习 第二单元 方程与不等式课件+练习（打包12套）.zip

1滚动小专题(三) 方程、不等式的实际应用1．(2018·广州)《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一， 金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金 9 枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银 11 枚(每枚白银重量相同)，称重两袋相等．两袋互相交换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了 13 两(袋子重量忽略不计)．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重 x 两，每枚白银重 y 两，根据题意得( D)A.{11x＝ 9y（ 10y＋ x） － （ 8x＋ y） ＝ 13)B.{10y＋ x＝ 8x＋ y9x＋ 13＝ 11y)C.{9x＝ 11y（ 8x＋ y） － （ 10y＋ x） ＝ 13)D.{9x＝ 11y（ 10y＋ x） － （ 8x＋ y） ＝ 13)2．(2018·白银)《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？请解答 上述问题．解：设合伙买鸡者有 x 人，根据题意，得9x－11＝6x＋16，解得 x＝9.则 9x－11＝70.答：合伙买鸡者有 9 人，鸡的价格为 70 文钱．3．(2018·山西)2018 年 1 月 20 日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比， “复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南－北京西”全程大约 500 千米， “复兴号” G92 次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶 40 千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 (两列车中途停留时间均除外)．经查询， “复兴45号” G92 次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留 10 分钟．求乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到北京西需要多长时间．解：设“复兴号” G92 次列车从太原南到北京西的行驶时间需要 x 小时，则“和谐号”列车的行驶时间需要x 小时，根据题意，得54＝ ＋40，解得 x＝ .500x 50054x 52经检验，x＝ 是原分式方程的解．52∴x＋ ＝ .16 83答：乘坐“复兴号” G92 次列车从太原南到北京西需要 小时．8324．(2018·泸州)某图书馆计划选购甲 、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的 2.5 倍，用 800 元单独购买甲图书比用 800 元单独购买乙图书要少 24 本．(1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元？(2)如果该图书馆计划购买乙图书的本数比购买甲图书本数的 2 倍多 8 本，且用于购买甲 、乙两种图书的总经费不超过 1 060 元，那么该图书馆最多可以购买多少本乙图书？解：(1)设乙图书每本价格为 x 元，则甲图书每本价格是 2.5x 元，根据题意，得－ ＝24 ，解得 x＝20.800x 8002.5x经检验，得 x＝20 是原方程的根．则 2.5x＝50.答：乙图书每本价格为 20 元，甲图书每本价格为 50 元．(2)设购买甲图书本数为 a，则购买乙图书的本数为 2a＋8，根据题意，得50a＋20(2a＋8)≤1 060，解得 a≤10.∴2a＋8≤28.答：该图书馆最多可以购买 28 本乙图书．5．(2018·烟台)为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行” ，某市计划在城区投放一批“共享单车”．这批单车分为 A，B 两种不同款型，其中 A 型车单价 400 元，B 型车单价 320 元．(1)今年年初， “共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放 A，B 两种款型的单车共 100 辆，总价值36 800 元．试问本次试点投放的 A 型车与 B 型车各多少辆？(2)试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B 两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于 184 万元．请问城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车与 B 型车各多少辆？解：(1)设本次试点投放的 A 型车 x 辆、B 型车 y 辆，根据题意，得解得{x＋ y＝ 100，400x＋ 320y＝ 36 800， ) {x＝ 60，y＝ 40.)答：本次试点投放的 A 型车 60 辆，B 型车 40 辆．(2)由(1)知 A，B 型车辆的数量比为 3∶2，设整个城区全面铺开时投放的 A 型车 3a 辆，B 型车 2a 辆，根据题意，得3a×400＋2a×320≥1 840 000，解得 a≥1 000.即整个城区全面铺开时投放的 A 型车至少 3 000 辆、B 型车至少 2 000 辆．则城区 10 万人口平均每 100 人至少享有 A 型车 3 000× ＝3 辆、至少享有 B 型车 2 000× ＝2100100 000 100100 000辆．答：平均每 100 人至少享有 3 辆 A 型车，2 辆 B 型车．6．(2018·咸宁)为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展 研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车 乙种客车载客量(人/辆) 30 42租金(元/辆) 300 400学校计划此次研 学旅行活动的租车总费用不超过 3 100 元，为了安全，每辆客车上至少要 有 2 名老师．(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为 8 辆；3(3)你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．解：(1)设老师有 x 名，学生有 y 名．依题意，列方程组为解得{17x＝ y－ 12，18x＝ y＋ 4， ) {x＝ 16，y＝ 284.)答：老师有 16 名，学生 有 284 名．(3)设租用 a 辆乙种客车，则租用甲种客车( 8－a)辆，∵租车总费用不超过 3 100 元，∴400a＋300(8－a)≤3 100，解得 a≤7.为使 300 名师生都有座，∴42a＋30( 8－a)≥300，解得 a≥5.∴5≤a≤7(a 为整数)．∴共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2 900 元；方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3 000 元；方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3 100 元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆．7．(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市” ，针对境内长江段两种 主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每 家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求 n 的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加一个相同的数值 a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降低的 Q 值及 a 的值．解：(1)由题意，得 40n＝12，解得 n＝0.3.(2)由题意可，得 40＋40(1＋m)＋40(1＋m) 2＝190，解得 m1＝ ＝50%，m 2＝－ (舍去)．12 72∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为 40(1＋m)＝40(1＋50%)＝60(家)．(3)设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x.第二年 Q 值因乙方案治理降低了 100n＝100×0.3＝30.解法一：(30－a)＋2a＝39.5，解得 a＝9.5.x＝20.5.解法二： 解得{x＋ a＝ 30，x＋ 2a＝ 39.5， ) {x＝ 20.5，a＝ 9.5.)1滚动小专题(二) 方程、不等式的解法类 型 1 方程(组)的解法1．解方程(组)：(1)4x－3＝2(x－1)；解：去括号，得 4x－3＝2x－2 .移项，得 4x－2x＝－2＋3.合并同类项，得 2x＝1.系数化为 1，得 x＝ .12(2) ＝ ；2x 3x＋ 1解：方程两边同乘 x(x＋1)，得 2(x＋1)＝3x.去括号，得 2x＋2＝3x.移项 ，得 2x－3x＝－2.合并同类项，得－x＝－2.系数化为 1，得 x＝2.检验 ，当 x＝2 时，x(x＋1)≠0.∴x＝2 是原分式方程的根．(3){2x＋ y＝ 4， ①x－ y＝ － 1； ② )解：①＋②，得 2x＋y＋x－y＝4－1.解得 x＝1.把 x＝1 代入①，得 2＋y＝4.解得 y＝2.∴原方程组的解是 {x＝ 1，y＝ 2.)(4)2x2－4x－1＝0；解：x 2－2x－ ＝0.12(x－1) 2＝ .32x＝1± .62∴x 1＝1＋ ，x 2＝1－ .62 62(5) ＋2＝ .1x－ 2 1－ x2－ x解：方程两 边同乘 x－2，得 1＋2(x－2)＝x－1.解得 x＝2.检验：当 x＝2 时，x－2＝0.所以 x＝ 2 不是原方程的解．∴原方程无解．2类型 2 不等式(组)的解法2．解不等式(组)：(1)4x＋5≤2(x＋1)；解：去括号，得 4x＋5≤2x＋2.移项、合并同类项，得 2x≤－3.解得 x≤－ .32(2){3x－ 1≥ x＋ 1， ①x＋ 43（ x＋ 1） ， )解：解不等式 2x≥－9－x，得 x≥－3.解不等式 5x－1＞3(x＋1)，得 x＞2.则不等式组的解集为 x＞2.将解集表示在数轴上如下：5．x 取哪些整数值时，不等式 5x＋2＞3(x－1)与 x≤ 2－ x 都成立？12 323解：联立不等式组 {5x＋ 23（ x－ 1） ， ①12x≤ 2－ 32x， ② )解不等式①，得 x－ .52解不等式②，得 x≤1.∴－ 0.∴不论 m 取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．7．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k 2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求 k 的取值范围；(2)设方程①的两个实数根分别为 x1，x 2，当 k＝1 时，求 x ＋x 的值．21 2解：(1)∵x 2＋(2k ＋1)x＋k 2＝0①有两个不相等的实数根，∴Δ＝(2k＋1) 2－4k 20.∴k－ .14(2)当 k＝1 时，原方程为 x2＋3x＋1＝0.∵x 1，x 2是该方程的两个实数根，∴由根与系数的关系可知 x1＋x 2＝－3，x 1x2＝1.∴x ＋x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x2＝(－3) 2－2×1＝7.21 28．已知关于 x 的方程(x－3)(x－2)－p 2＝0.(1)求证：无论 p 取何值时，方程总有两个不相等 的实数根；(2)设方程两实数根分别为 x1，x 2，且满足 x ＋x ＝3x 1x2，求实数 p 的值．21 2解：(1)证明：∵(x－3)(x－2)－p 2＝0，∴x 2－5x＋6－p 2＝0.∴Δ＝(－5) 2－4×1×(6－p 2)＝25－24＋4p 2＝1＋4p 2.∵无论 p 取何值时，总有 4p2≥0，∴1＋4p 2＞0.∴无论 p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．(2)由(1)，得 x1＋x 2＝5，x 1x2＝6－p 2，∵x ＋x ＝3x 1x2，21 2∴(x 1＋x 2)2－2x 1x2＝3x 1x2.∴5 2＝5(6－p 2)．4∴p＝±1.9．已知关于 x 的一元二次方程 x2－6x＋m＋4＝0 有两个实数根 x1，x 2.(1)求 m 的取值范围；(2)若 x1，x 2满足 3x1＝|x 2|＋2，求 m 的值．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(－6) 2－4(m＋4)＝36－4m－16＝－4m＋20≥0.∴m≤5.(2)∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝6.①x1x2＝m＋4.②又 3x1＝|x 2|＋2，若 x2≥0，则 3x1＝x 2＋2.③联立①③解得 x1＝2，x 2＝4.∴8 ＝m＋4，m＝4.若 x20，则 3x1＝－x 2＋2，④联立①④解得 x1＝－2，x 2＝8(不合题意，舍去)．∴符合条件的 m 的值为 4.1第 5 讲 一次方程(组)重难点 一次方程(组)的应用在元旦期间，某商场计划购进甲、乙两种商品．(1)已知甲、乙两种商品的进价分别为 30 元，70 元，该商 场购进甲、乙两种商品共 50 件需要 2 300 元，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？(2)该商场共投入 9 500 元资金购进这两种商品若干件，这两种商品的进价和售价如下表所示：甲 乙进价(元/件) 30 70售价(元/件) 50 100若全部销售完后可获利 5 000 元(利润＝(售价－进价)×销量)，则该商场购进甲、乙两种商品各多少件？【思路点拨】 (1)首先找出题目中的等量关系：①甲商品数量＋乙商品数量＝50；②购进甲商品费用＋购进乙商品费用＝2 300.根据题中等量关系，有列一元一次方程和列二元一次方程组两种不同的解法；(2)首先根据题中等量关系：①商场购进甲商品费用＋商场购进乙商品费用＝9 500；②商场销售甲商品利润＋商场销售乙商品利润＝5 000.然后设该商场购进甲商品 a 件、乙商品 b 件，根据题目中等量关系列方程组解答即可．【自主解答】 解：(1)解法一：(列一元一次方程求解)设该商场购进甲商品 x 件，则购进 乙商品(50－x)件．根据题意，得30x＋70(50－x)＝2 300.解得 x＝30.则 50－x＝50－30＝20.答：该商场购进甲商品 30 件，乙 商品 20 件．解法二：(列二元一次方程组求解)设该商场购进甲商品 x 件，乙商品 y 件．根据题意，得解得{x＋ y＝ 50，30x＋ 70y＝ 2 300， ) {x＝ 30，y＝ 20.)答：该商场购进甲商品 30 件，乙商品 20 件．(2)设该商场购进甲商品 a 件，乙商品 b 件．根据题意，得解得{30a＋ 70b＝ 9 500，（ 50－ 30） a＋ （ 100－ 70） b＝ 5 000， ) {a＝ 130，b＝ 80.)答：该商场购进甲商品 130 件，乙商品 80 件．方 法 指 导1．列方程(组)的关键是寻找等量关系，寻找等量关系常用的方法有：(1)抓住不变量；(2)找关键词；(3)运用常用数量关系和数学公式；(4)根据题目所述情境找；(5)画线段图列表格．2．在选择是列一元一次方程还是方程组解题时，若题中两个未知量有比较简单的关系，比如倍数关系、差一定或和一定时，可以很方便地用一个变量表示出另一个变量，那我们既可以设一个未知数列一元一次方程 求解，也可以设两个未知数列方程组求解．相反，若两个未知量比较独立，关系较复杂，难以简洁地用一个变量表示出另一个变量时，那就设两个未知数列方程组求解．【变式训练 1】 (2018·十堰)我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，则剩余3 钱：如果每人出 7 钱，则差 4 钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程(组)为( A)A. B. C. ＝ D. ＝{8x－ 3＝ y7x＋ 4＝ y) {8x＋ 3＝ y7x－ 4＝ y) x＋ 38 x－ 47 y－ 38 y＋ 47【变式训练 2】 (2018·青岛改编)5 月份，甲、乙两个工厂用水量共为 200 吨．进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6 月份，甲工厂用水量比 5 月份减少了 15%，乙工厂用水量比 5 月份减少了210%，两个工厂 6 月份用水量共为 174 吨，求两个工厂 5 月份的用水量各是多少？解：解法一：设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨，乙工厂 5 月份用水量为 y 吨，根据题意，得解得{x＋ y＝ 200，（ 1－ 15%） x＋ （ 1－ 10%） y＝ 174， ) {x＝ 120，y＝ 80.)解法二：设甲工厂 5 月份用水量为 x 吨，则(1－15%)x＋(1－10%)(200－x)＝174，解得 x＝120.则 200－x＝80.答：甲工厂 5 月份用水量为 120 吨，乙工厂 5 月份用水量为 80 吨．考点 1 等式的性质1．(2017·杭州)设 x，y，c 是实数，下列说法正确的是( B)A．若 x＝y，则 x＋c＝y－cB．若 x＝y，则 xc＝ycC．若 x＝y，则 ＝xc ycD．若 ＝ ，则 2x＝3yx2c y3c考点 2 一元一次方程及其解法2．(2017·南充)如果 a＋3＝0，那么 a 的值是( B)A．3 B．－3 C. D．－13 133．若方 程 3(2x－2)＝2－3x 的解与关于 x 的方程 6－2k＝2(x＋3)的解相同，则 k 的值为( B)A. B．－ C. D．－59 89 53 534．(2018·攀枝花)解方程： － ＝1.x－ 32 2x＋ 13解：去分母，得 3(x－3)－2(2x＋1)＝6.去括号，得 3x－9－4x－2＝6.移项，得－x＝17.系数化为 1，得 x＝－17.考点 3 二元一次方程(组)及其解法5．(2018·北京)方程组 的解为( D){x－ y＝ 3，3x－ 8y＝ 14)A. B. C. D.{x＝ － 1y＝ 2) {x＝ 1y＝ － 2) {x＝ － 2y＝ 1) {x＝ 2y＝ － 1)6．已知关于 x，y 的方程 x2m－n－2 ＋4y m＋n＋1 ＝6 是二元一次方程，则 m，n 的值为( A)A．m＝1，n＝－1 B．m＝－1，n＝1C．m＝ ，n＝－ D．m＝－ ，n＝13 43 13 437．(2018·乐山)方程组 ＝ ＝x＋y－4 的解是( D)x3 y2A. B. C. D.{x＝ － 3y＝ － 2) {x＝ 6y＝ 4) {x＝ 2y＝ 3) {x＝ 3y＝ 2)8．(2018·桂林)若|3x－2y－1|＋ ＝0，则 x，y 的值为( D)x＋ y－ 23A. B. C. D.{x＝ 1y＝ 4) {x＝ 2y＝ 0) {x＝ 0y＝ 2) {x＝ 1y＝ 1)9．(2018·淮安)若关于 x，y 的二元一次方程 3x－ay＝1 有一个解是 则 a＝4．{x＝ 3，y＝ 2， )10．(2018·随州)已知 是关于 x，y 的二元一次方程组 的一组解，则 a＋b＝5．{x＝ 2，y＝ 1) {ax＋ by＝ 7，ax－ by＝ 1)11．(2018·包头)若 a－3b＝2，3a－b＝6，则 b－a 的值为－2．12．(2018·武汉)解方程组： {x＋ y＝ 10， ①2x＋ y＝ 16.② )解：②－①，得 x＝6 .把 x＝6 代入①，得 y＝4.则方程组的解为 {x＝ 6，y＝ 4.)13．(2018·嘉兴) 用消元法解方程组 时，两位同学的解法如下：{x－ 3y＝ 5， ①4x－ 3y＝ 2② )解法一：由①－②，得 3x＝3.解法二：由②得，3x＋(x－3y)＝2.③把①代入③，得 3x＋5＝2.(1)反思：上述两个解题过程中有无计算错误？若有误，请在错误处打“×” ；(2)请选择一种你喜欢的方法，完成解答．解：(1)解法一中的解题过程有错误，由①－②，得 3x＝3“×” ，应为由①－②，得－3x＝3.(2)由①－②，得－3x＝3，解得 x＝－1.把 x＝－1 代入①，得－1－3y＝5，解得 y＝－2.故原方程组的解是 {x＝ － 1，y＝ － 2.)考点 4 一次方程(组)的应用14．(2018·杭州)某次知识竞赛共有 20 道题，规定：每答对一道题得＋5 分，每答错一道题得－2 分，不答的题得 0 分，已知圆圆这次竞赛得了 60 分，设圆圆答对了 x 道题，答错了 y 道题，则( C)A．x－y＝20 B．x＋y＝20 C．5x－2y＝60 D．5x＋2y＝6015．(2018·泰安)夏季来临，某超市试销 A，B 两种型号的风扇，两周内共销售 30 台，销售收入 5 300 元，A 型风扇每台 200 元，B 型风扇每台 150 元，问 A，B 两种型号的风扇分别销售了多少台？若设 A 型风扇销售了 x 台，B型风扇销售了 y 台，则根据题意列出方程组为( C)A. B.{x＋ y＝ 5 300200x＋ 150y＝ 30) { x＋ y＝ 5 300150x＋ 200y＝ 30)C. D.{x＋ y＝ 30200x＋ 150y＝ 5 300) { x＋ y＝ 30150x＋ 200y＝ 5 300)16．(2018·呼和浩特)文具店销售某种 笔袋，每个 18 元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱 比现在便宜 36 元” ，小华说：“那就多买一个吧，谢谢” ，根据两人的对话可知，小华结账时实际付款 486 元．17．(2018·海南)“绿水青山就是金山银山” ，海南省委省政府 高度重视环境生态保护，截至 2017 年底，全省建立国家级、省级和市县级自然保护区共 49 个，其中国家级 10 个，省 级比市县级多 5 个．问省级和市县级自然保护区各有多少个？4解：设市县级自然保护区有 x 个，则省级自然保护区有(x＋5)个，根据题意，得10＋x＋5＋x＝49，解得 x＝17.∴x＋5＝22.答：省级自然保护区有 22 个，市县级自然保护区有 17 个．18．(2018·永州)在永州市青少年禁毒教育活动中，某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观，以下是小明和妈妈的对话，请根据对话内容，求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数．解：设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 x 人，女生人数为 y 人，依题意，得解得{x＋ y＝ 55，x＝ 1.5y＋ 5， ) {x＝ 35，y＝ 20.)答：小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为 35 人，女生人数为 20 人．19．(2018·张家界)列方程解应用题．《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出 5 元，则差 45 元；每人出 7 元，则差 3元．求人数和羊价各是多少？解：设买羊人数为 x 人，则羊价为(5x＋45)元，由题意，得5x＋45＝7x＋3，解得 x＝21.则 5x＋45＝150.答：买羊人数为 21 人，羊价为 150 元．20．(2018·长沙)随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买 6 盒甲品牌粽子和 3 盒乙品牌粽子需 600 元；打折后，买 50 盒甲品牌粽子和 40 盒乙品牌粽子需 5 200 元．(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子 80 盒，乙品牌粽子 100 盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？解：(1)设打折前甲品牌粽子每盒 x 元，乙品牌粽子每盒 y 元，根据题意，得解得{6x＋ 3y＝ 600，50×0.8x＋ 40×0.75y＝ 5 200， ) {x＝ 40，y＝ 120.)答：打折前甲品牌粽子每盒 40 元，乙品牌粽子每盒 120 元．(2)80×40＋100×120－80×0.8×40－100×0.75×120＝3 640(元)．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了 3 640 元．521．(2018·台州)甲、乙两运动员在长为 100 m 的直道 AB(A，B 为直道两端点)上进行匀速往返跑训练，两人同时从 A 点起跑，到达 B 点后，立即转身跑向 A 点，到达 A 点后，又立即转身跑向 B 点，….若甲跑步的速度为 5 m/s，乙跑步的速度为 4 m/s，则起跑后 100 s 内，两人相遇的次数为( B)A．5 B．4 C．3 D．222．(2018·德州)对于实数 a，b，定义运算“◆”：a◆b＝ 例如 4◆3，因为 4＞3.所以 4◆{a2＋ b2， a≥ b，ab， a＜ b， )3＝ ＝5.若 x，y 满足方程组 则 x◆y ＝60．42＋ 32 {4x－ y＝ 8，x＋ 2y＝ 29， )23．(2018·威海)用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4 个矩形纸片围成如图 1 所示的正方形，其阴影部分的面积为 12；8 个矩形纸片围成如图 2 所示的正方形，其阴影部分的面积为 8；12 个矩形纸片围成如图 3 所示的正方形，其阴影部分的面积为 44－16 ．6图 1 图 2 图 324．(2018·荆州)《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛，2 只羊，值金 10 两；2 头牛，5 只羊，值金 8 两．问每头 牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金 x 两，y 两，则可列方程组为( A)A. B. C. D.{5x＋ 2y＝ 102x＋ 5y＝ 8) {5x－ 2y＝ 102x－ 5y＝ 8) {5x＋ 2y＝ 102x－ 5y＝ 8) {5x＋ 2y＝ 82x＋ 5y＝ 8)25．(2018·邵阳)程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他 60 岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有 100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚 1 人分 3 个，小和尚 3 人分 1 个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是( A)A．大和尚 25 人，小和尚 75 人 B．大和尚 75 人，小和尚 25 人C．大和尚 50 人，小和尚 50 人 D．大、小和尚各 100 人26．(2018·安徽)《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？大意为：今有 100 头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每 3 家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？请解答上述问题．解：设城中有 x 户人家，依题意，得x＋ ＝100，解得 x＝75.x36答：城中有 75 户人家．1第 6 讲 一元二次方程重难点 1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(2018·随州)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋3)x＋k 2＝0 有两个不相等的实数根 x1，x 2.(1)求 k 的取值范围；(2)若 ＋ ＝－1，求 k 的值．1x1 1x2【思路点拨】 (1)根据方程的系数结合根的判别式 Δ ＞0，即可得出关于 k 的一元二次不等式，解之即可得出 k 的取值范围；(2)根据根与系数的关系可得出 x1＋x 2＝－2k－3，x 1x2＝k 2，结合 ＋ ＝－1 即可得出关于 k 的分式方程，1x1 1x2解之经检验即可得出结论．【自主解答】 解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2＋(2k＋3)x＋k 2＝0 有两个不相等的实数根，∴ Δ ＝(2k＋3) 2－4k 2＞0.解得 k＞－ .34(2)∵x 1，x 2是方程 x2＋(2k＋3)x＋k 2＝0 的实数根，∴x 1＋x 2＝－2k－3，x 1x2＝k 2.∴ ＋ ＝ ＝－ ＝－1.1x1 1x2 x1＋ x2x1x2 － （ 2k＋ 3）k2解得 k1＝3，k 2＝－1.经检验，k 1＝3，k 2＝－1 都是原分式方程的根．又∵k＞－ ，34∴k＝3.方 法 指 导1．判断一元二次方程根的情况，要明确 a，b，c 的值，然后比较 b2－4ac 与 0 的大小．2．利用根与系数的关系解决有关代数式的问题，一般是通过变形将代数式转化为含有 x1＋x 2与 x1x2的式子．解答关于二次项系数中含有未知数的一元二次方程时，容易忽视一元二次方程的前提条件是：二次易 错 提 示项系数 a≠0.因此，在解答过程中，要首先列出前提条件，即：在满足二次项系数 a≠0 的条件下求解．【变式训练 1】 (易错易混)若关于 x 的一元二次方程(k－1)x 2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值范围是 k≤5 且k≠1．【变式训练 2】 (2018·南充)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2m－2)x＋(m 2－2m)＝0.(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实数根为 x1，x 2，且 x ＋x ＝10，求 m 的值．21 2解：(1)由题意可知， Δ ＝[－(2m－2)] 2－4(m 2－2m)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵x 1＋x 2＝2m－2，x 1x2＝m 2－2m，∴x ＋x ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x2＝10.21 2∴(2m－2) 2－2(m 2－2m)＝10.∴m 2－2m－3＝0.∴m＝－1 或 m＝3.(山西中考，7 分)解方程：2(x－3) 2＝x 2－9.2解：2(x－3) 2＝(x＋3)(x－3). 1 分2(x－3) 2－(x＋3)(x－3)＝0. 2 分(x－3)(2x－6－x－3)＝0. 3 分(x－3)(x－9)＝0. 4 分∴x－3＝0 或 x－9＝0. 5 分∴x 1＝3，x 2＝9. 7 分重难点 2 一元二次方程的应用某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2016 年单价为 200 元，2018 年单价为 162 元．(1)求 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：试问去哪个商场购买足球更优惠？【思路点拨】 (1)设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据 2016 年及 2018 年该品牌足球的单价，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其小于 1 的值即可得出结论；(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【自主解答】 解：(1)设 2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据题意，得200×(1－x) 2＝162.解得 x＝0.1＝10%或 x＝1.9(舍去)．答：2016 年到 2018 年该品牌足球单价平均每年降低的 百分率为 10%.(2)在 A 商城需要的费用为 162×[90＋(100－99)]＝14 742(元)，在 B 商城需要的费用为 162×100× ＝14 580(元)．91014 74214 580.答：去 B 商场购买足球更优惠．【变式训练 3】 (2017·兰州)王叔叔从市场上买一块长 80 cm，宽 70 cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长 x cm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为 3 000cm2的无盖长方形工具箱，根据 题意列方程为( C)A．(80－x)(70－x)＝3 000B．80×70－4x 2＝3 000C．(80－2x)(70－2x)＝3 000D．80×70－4x 2－(70＋80)x＝3 000【变式训练 4】 某商品的进价为每件 40 元．当售价为每件 60 元时，每星期可卖出 300 件，现需降价处理，为占有市场份额，且经市场调查：每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．现在要使利润为 6 120 元，每件商品应降价( A)A．3 元 B．2.5 元 C．2 元 D．5 元【变式训练 5】 (2018·通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)．现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛，3根据题意，可列方程为 x(x－1)＝21．12列一元二次方程解应用题的常见关系：方 法 指 导(1)平均变化率问题：若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a(1±x)2＝b；(2)利润问题：利润＝售价－成本；利润率＝ ×100%；利 润成 本(3)矩形面积问题①镶边矩形：如图，镶边矩形 ABCD 中空白区域的面积为 S＝(a－2x)(b－2x)；②内嵌十字架型矩形：如图，图 1 中阴影区域可以通过平移的方法变成图 2 中的样子，此时易得图 1 矩形 ABCD 中空白区域的面积为S＝(a－x)·(b－x)．要检验方程的解是否符合实际意义．易 错 提 示考点 1 一元二次方程及其解法1．(2018·临沂)一元二次方程 y2－y－ ＝0 配方后可化为( B)34A．(y＋ )2＝1 B．(y－ )2＝1 C．(y＋ )2＝ D．(y－ )2＝12 12 12 34 12 342．(2018·宁夏)若 2－ 是方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，则 c 的值是( A)3A．1 B．3－ C．1＋ D．2＋3 3 33．(2018·铜仁)一元二次方程 x2－4x＋3＝0 的解为( C)A．x 1＝－1，x 2＝3 B．x 1＝1，x 2＝－3C．x 1＝1，x 2＝3 D．x 1＝－1，x 2＝－34．(2018·柳州)一元二次方程 x2－9＝0 的解是 x1＝3，x 2＝－3．5．(2018·淮安)一元二次方程 x2－x＝0 的根是 x1＝0，x 2＝1．6．(整体思想)(2018·扬州)若 m 是方程 2x2－3x－1＝0 的一个根，则 6m2－9m＋2 015 的值为 2__018．7．(2018·荆门)已知 x＝2 是关于 x 的一元二次方程 kx2＋(k 2－2)x＋2k＋4＝0 的一个根，则 k 的值为－3．8．(2018·黄冈)一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程 x2－10x＋21＝0 的根，则三角形的周长为16．9．选择适当的方法解下列方程：4(1)x2－5x＋1＝0；解：x 2－5x＝－1.x2－5x＋( )2＝－1＋( )2.52 52(x－ )2＝ .52 214x－ ＝± .52 212所以 x1＝ ，x 2＝ .5＋ 212 5－ 212(2)(x－3)(x－1)＝3；解：方程化为 x2－4x＝0.x(x－4)＝0.所以 x1＝0，x 2＝4.(3)2x2－2 x－5＝0；2解：Δ＝(－2 )2－4×2×(－5)＝48.2x＝ ＝ ＝ .22±482×2 22±434 2±232所以 x1＝ ，x 2＝ .2＋ 232 2－ 232(4)(y＋2) 2＝(3y－1) 2.解：(y＋2) 2－(3y－1) 2＝ 0.(y＋2＋3y－1)(y＋2－3y＋1)＝0.(4y＋1)(－2y＋3)＝0.4y＋1＝0 或－2y＋3＝0.所以 y1＝－ ，y 2＝ .14 32考点 2 一元二次方程根的判别式10．(2018·上海)下列对一元二次方程 x2＋x－3＝0 根的情况的判断，正确的是( A)A．有两个不相等实数根 B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根 D．没有实数根11．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是( C)A．x 2－2x＝0 B．x 2＋4x－1＝0 C.2x2－4x＋3＝0 D．3x 2＝5x－212．(2018· 吉林)若关于 x 的一元二次方程 x2＋2x－m＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为－1．考点 3 一元二次方程根与系数的关 系13．(2018·眉山)若 α，β 是一元二次方程 3x2＋2x－9＝0 的两根 ，则 ＋ 的值是( C)βα αβA. B．－ C．－ D.427 427 5827 582714．(2018·长沙)已知关于 x 的方程 x2－3x＋a＝0 有一个根为 1，则方程的另一 个根为 2．15．(2018·德州)若 x1，x 2是一元二次方程 x2＋x－2＝0 的两个实数根，则 x1＋x 2＋x 1x2＝－3．考点 4 一元二次方程的应用16．(2018·大连)如图，有一张矩形纸片，长 10 cm，宽 6 cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折5叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是 32 cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是 x cm，根据题意可列方程为( B)A．10×6－4×6x＝32 B．(10－2x)(6－2x)＝32C．(10－x)(6－x)＝32 D．10×6－4x 2＝3217．(2018·绵阳)在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次，则参加酒会的人数为( C)A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人18．(2018·沈阳)某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是 361 万元．假设该公司 2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测 4 月份该 公司的生产成本．解：(1)设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意，得400(1－x) 2＝361，解得 x1＝0.05＝5%，x 2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为 5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．19．(2018·盐城)一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．(1)若降价 3 元，则平均每天销售数量为 26 件；(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为 1 200 元？解：设每件商品降价 x 元时，该商店每天销售利润为 1 200 元．根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200.整理，得 x2－30x＋200＝0.解得 x1＝10，x 2＝20.∵要求每件盈利不少于 25 元，∴x 2＝20 应舍去，∴x＝10.答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天销售利润为 1 200 元．20．(2018·咸宁)已知一元二次方程 2x2＋2x－1＝0 的两个根为 x1，x 2，且 x1＜x 2，下列结论正确的是( D)A．x 1＋x 2＝1 B．x 1·x2＝－1 C．|x 1|＜|x 2| D．x ＋x 1＝211221．(2018·潍坊)已知关于 x 的一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋ ＝0 有两个不相等的实数根 x1，x 2.若 ＋ ＝4m，m4 1x1 1x2则 m 的值是( A)A．2 B．－1 C．2 或－1 D．不存在22．(2018·泰州)已知 x1，x 2是关于 x 的方程 x2－ax－2＝0 的两根，下列结论一定正确的是( A)A．x 1≠x 2 B．x 1＋x 2＞0 C．x 1·x2＞0 D．x 1＜0，x 2＜023．(2018·包头)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋m－2＝0 有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为( B)6A．6 B．5 C．4 D．324．(2018·孝感)已知关于 x 的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．(1)试证明：无论 p 取何值，此方程总有两个实数根；(2)若原方程的两根 x1，x 2，满足 x ＋x －x 1x2＝3p 2＋1，求 p 的值．21 2解：(1)证明：原方程可变形为 x2－5x＋6－p 2－p＝0.∵ Δ ＝(－5) 2－4(6－p 2－p)＝25－24＋4p 2＋4p＝4p 2＋4p＋1＝(2p＋1) 2≥0，∴无论 p 取何值，此方程总有两个实数根．(2)∵原方程的两根为 x1，x 2，∴x 1＋x 2＝5，x 1x2＝6－p 2－p.又∵x ＋x －x 1x2＝3p 2＋1，21 2∴(x 1＋x 2)2－3x 1x2＝3p 2＋1.∴5 2－3(6－p 2－p)＝3p 2＋1.∴25－18＋3p 2＋3p＝3p 2＋1.∴3p＝－6.∴p＝－2.25．(2018·嘉兴)欧几里得的《原本》记载，形如 x2＋ax＝b 2的方程的图解法是：画 Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝ ，AC＝b，再在斜边 AB 上截取 BD＝ .则该方程的一个正根是( B)a2 a2A．AC 的长 B．AD 的长 C．BC 的长 D．CD 的长