（淄博专版）2019届中考数学 第四章 几何初步与三角形要题检测+随堂演练（打包14套）.zip

1第四章 几何初步与三角形第一节 线段、角、相交线与平行线姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·武威中考)若一个角为 65°，则它的补角的度数为( )A．25° B．35° C．115° D．125°2．(2018·邵阳中考)如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，已知∠AOD＝160°，则∠BOC 的大小为( )A．20° B．60° C．70° D．160°3．如图所示，点 P 到直线 l 的距离是( )A．线段 PA 的长度 B．线段 PB 的长度C．线段 PC 的长度 D．线段 PD 的长度4．如图，直线 a∥b，直线 c 与直线 a，b 分别交于点 D，E，射线 DF⊥直线 c，则图中与∠1 互余的角有( )A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个5．(2018·眉山中考改编)下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．若 AM＝BM，则点 M 为线段 AB 的中点C．到角的两边的距离相等的点在角的平分线上D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行6．(2018·广州中考)如图，直线 AD，BE 被直线 BF 和 AC 所截，则∠1 的同位角和∠5 的内错角分别是( )2A．∠4，∠2 B．∠2，∠6C．∠5，∠4 D．∠2，∠47．(2018·北京中考)如图所示的网格是正方形网格，∠BAC______∠DAE.(填“＞”“＝”或“＜”)8．(2018·岳阳中考)如图，直线 a∥b，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3＝________．9．(2019·原创题)已知∠AOB＝45°，OC 是∠AOB 的一条三等分线，则∠AOC 的度数是__________________．10．(2018·重庆中考 A 卷)如图，直线 AB∥CD，BC 平分∠ABD，∠1＝54°，求∠2 的度数．11．(2018·泸州中考)如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a，b 于点 A，C，∠BAC 的平分线交直线 b 于点D，若∠1＝50°，则∠2 的度数是( )3A．50° B．70° C．80° D．110°12．(2018·黄冈中考)如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，且分别交 BC，AC 于点 D 和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD 为( )A．50° B．70° C．75° D．80°13．(2018·沂源二模)如图，∠EFB＝∠GHD＝53°，∠IGA＝127°，由这些条件，能找到________对平行线．14．(2019·原创题)如图，将一副含有 45°和 30°的两个三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC＋∠DOB 的度数为____________．15．如图 1，E 是直线 AB，CD 内部一点，AB∥CD，连接 EA，ED.(1)探究猜想：①若∠A＝30°，∠D＝40°，则∠AED 等于多少度？4②若∠A＝20°，∠D＝60°，则∠AED 等于多少度？③猜想图 1 中∠AED，∠EAB，∠EDC 的关系并证明你的结论．(2)拓展应用：如图 2，射线 FE 与矩形 ABCD 的边 AB 交于点 E，与边 CD 交于点 F，①②③④分别是被射线 FE 隔开的 4 个区域(不含边界)，其中区域③④位于直线 AB 上方，P 是位于以上 4 个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF 的关系(不要求证明)．16．阅读下面的材料【材料一】 异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做异面直线．(2)特点：既不相交，也不平行．(3)理解：①“不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性．②“不同在任……”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”．③不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线．5例如：在长方体 ABCD－A 1B1C1D1中，棱 A1D1所在直线与棱 AB 所在直线是异面直线，棱 A1D1所在直线与棱BC 所在直线就不是异面直线．【材料二】 我们知道“由平行公理，进一步可以得到如下结论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．”其实，这个结论不仅在平面内成立，在空间内仍然成立．利用材料中的信息，解答下列问题．(1)在长方体 ABCD－A 1B1C1D1中，与棱 A1A 所在直线成异面直线的是( )A．棱 A1D1所在直线B．棱 B1C1所在直线C．棱 C1C 所在直线D．棱 B1B 所在直线(2)在空间内，两条直线的位置关系有________、________、________．(重合除外)(3)如图，在长方体 ABCD－A 1B1C1D1中，已知 E，F 分别为 BC，AB 的中点．求证：EF∥A 1C1.参考答案【基础训练】1．C 2.D 3.B 4.A 5.A 6.B 7．＞ 8.80° 9.15°或 30° 10．解：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠1＝54°.6∵BC 平分∠ABD，∴∠CBD＝∠ABC＝54°.∵∠1＝54°，∴∠BDC＝180°－∠CBD－∠1＝72°.∵∠BDC＝∠2，∴∠2＝72°.【拔高训练】11．C 12.B 13．2 14.180°15．解：(1)①∠AED＝70°.②∠AED＝80°.③猜想：∠AED＝∠EAB＋∠EDC.证明：如图，延长 AE 交 DC 于点 F.∵AB∥DC，∴∠EAB＝∠EFD.∵∠AED 为△EDF 的外角，∴∠AED＝∠EFD＋∠EDF＝∠EAB＋∠EDC.(2)当点 P 在区域①时，∠EPF＝360°－(∠PEB＋∠PFC)；当点 P 在区域②时，∠EPF＝∠PEB＋∠PFC；当点 P 在区域③时，∠EPF＝∠PEB－∠PFC；当点 P 在区域④时，∠EPF＝∠PFC－∠PEB.【培优训练】16．解：(1)B.(2)相交 平行 异面(3)证明：如图，连接 AC.∵E，F 分别为 BC，AB 的中点，∴EF∥AC.∵A 1A∥C 1C，A 1A＝C 1C，7∴四边形 A1ACC1是平行四边形，∴A 1C1∥AC，∴EF∥A 1C1.1线段、角、相交线与平行线要题随堂演练1．(2018·滨州中考)若数轴上点 A，B 分别表示数 2，－2，则 A，B 两点之间的距离可表示为( )A．2＋(－2) B．2－(－2)C．(－2)＋2 D．(－2)－22．(2018·聊城中考)如图，直线 AB∥EF，点 C 是直线 AB 上一点，点 D 是直线 AB 外一点，若∠BCD＝95°，∠CDE＝25°，则∠DEF 的度数是( )A．110° B．115° C．120° D．125°3．(2018·济南中考)如图，AF 是∠BAC 的平分线，DF∥AC，若∠1＝35°，则∠BAF 的度数为( )A．17.5° B．35° C．55° D．70°4．(2018·金华中考)如图，∠B 的同位角可以是( )A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠45．(2018·绵阳中考)如图，有一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2＝44°，那么∠1 的度数是( )A．14° B．15° C．16° D．17°6．(2018·眉山中考)下列命题为真命题的是( )A．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例B．相似三角形面积之比等于相似比C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．顺次连接矩形各边的中点所得的四边形是正方形7．(2018·莱芜中考)如图，AB∥CD，∠BED＝61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则2∠DFB＝( )A．149° B．149.5° C．150° D．150.5°8．(2018·日照中考)一个角是 70°39′，则它的余角的度数是________________．9．(2018·河南中考)如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD＝50°，则∠BOC 的度数为____________．10．(2018·湘潭中考)如图，点 E 是 AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使 BC∥AD，则可添加的条件为________________________________________________________________．(任意添加一个符合题意的条件即可)参考答案1．B 2.C 3.B 4.D 5.C 6.A 7.B 8．19°21′ 9.140° 10.∠A＋∠ABC＝180°(答案不唯一)1第七节 相似三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2019·易错题)两三角形的相似比是 2∶3，则其面积之比是( )A. ∶ B．2∶32 3C．4∶9 D．8∶272．(2017·兰州中考)已知 2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是( )A. ＝ B. ＝xy 32 x3 2yC. ＝ D. ＝xy 23 x2 y33．(2018·重庆中考 A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5 cm，6 cm 和 9 cm，另一个三角形的最短边长为 2.5 cm，则它的最长边为( )A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm4．(2018·杭州中考)如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )5．(2018·永州中考)如图，在△ABC 中，点 D 是边 AB 上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC 的长为( )A．2 B．4 C．6 D．86．(2018·梧州中考)如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则 AE∶EC 的值是( )A．3∶2 B．4∶3 C．6∶5 D．8∶57．(2018·兰州中考)如图，边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，则△ADE 的面2积是( )A. B. C. D．2332 3 34 38．(2019·易错题)如图，△ABC 中，点 D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC，AD∶DB＝1∶2，则△ADE 与△ABC 的面积的比为____________．9．(2018·邵阳中考)如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点F，连接 BF.写出图中任意一对相似三角形：______________________．10．(2018·陕西中考改编)周末小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C，A 共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1 m，DE＝1.5 m，BD＝8.5 m．测量示意图如图所示，则河宽AB＝________ m.11．(2018·杭州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 为 BC 边上的中线，DE⊥AB 于点 E.(1)求证：△BDE∽△CAD.(2)若 AB＝13，BC＝10，求线段 DE 的长．312．(2018·重庆中考 B 卷)制作一块 3 m×2 m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是( )A．360 元 B．720 元C．1 080 元 D．2 160 元13．(2018·台湾中考)如图，△ABC，△FGH 中，D，E 两点分别在 AB，AC 上，F 点在 DE 上，G，H 两点在BC 上，且 DE∥BC，FG∥AB，FH∥AC，若 BG∶GH∶HC＝4∶6∶5，则△ADE 与△FGH 的面积比为何？( )A．2∶1 B．3∶2C．5∶2 D．9∶414．(2018·哈尔滨中考)如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( )A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ABAE AGAD DFCF DGAD FGAC EGBD AEBE CFDF15．(2018·扬州中考)如图，点 A 在线段 BD 上，在 BD 的同侧作等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△ADE，CD 与4BE，AE 分别交于点 P，M.对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP·MD＝MA·ME；③2CB 2＝CP·CM.其中正确的是( )A．①②③ B．①C．①② D．②③16．(2018·北京中考)如图，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB 的中点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，若AB＝4，AD＝3，则 CF 的长为________．17．(2018·吉林中考)如图是测量河宽的示意图，AE 与 BC 相交于点 D，∠B＝∠C＝90°，测得 BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽 AB＝__________ m.18．(2019·原创题)已知在△ABC 中，BC 边上的高 AD 与 AC 边上的高 BE 交于点 F，且∠BAC＝45°，BD＝12，CD＝8，求△ABC 的面积．519．如图，四边形 ABCD 中，AB＝AC＝AD，AC 平分∠BAD，点 P 是 AC 延长线上一点，且 PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若 AC 与 BD 相交于点 E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求 AE 的长．20．(2019·创新题)P 是△ABC 一边上的一点(P 不与 A，B，C 重合)，过点 P 的一条直线截△ABC，如果截得的三角形与△ABC 相似，我们称这条直线为过点 P 的△ABC 的“相似线”． Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，当点 P 为 AC 的中点时，过点 P 的△ABC 的“相似线”最多有几条？( )A．1 条 B．2 条C．3 条 D．4 条参考答案【基础训练】61．C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.D 7.A 8．1∶9 9.△ADF∽△ECF 10.17 11．(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD.(2)解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴在 Rt△ADB 中，AD＝ ＝ ＝12.AB2－ BD2 132－ 52∵ AD·BD＝ AB·DE，12 12∴DE＝ .6013【拔高训练】12．C 13.D 14.D 15.A 16. 17.100 10318．解：设 DF＝x.∵BD＝12，CD＝8，∴BC＝BD＋DC＝12＋8＝20.∵BE 是 AC 边上的高，∠BAC＝45°，∴AE＝BE.∵BE 是 AC 边上的高，AD 是 BC 边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，∠FAE＋∠C＝∠CBE＋∠C＝90°，∴∠FAE＝∠CBE.∵∠FAE＝∠CBE，∠AEF＝∠BEC，AE＝BE，∴△AFE≌△BCE，∴AF＝BC＝20.∵∠FAE＝∠CBE，∠ADC＝∠BDF，∴△ADC∽△BDF，∴ ＝ ，∴ ＝ ，ADDC BDDF 20＋ x8 12x解得 x＝4 或－24(舍弃)，7∴AD＝AF＋DF＝20＋4＝24，∴S △ABC ＝ ·BC·AD＝ ×20×24＝240.12 1219．(1)证明：∵AB＝AD，AC 平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90°.∵PD⊥AD，∴∠PDC＋∠ADC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC.(2)解：如图，过点 C 作 CM⊥PD 于点 M.∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM.∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴ ＝ .CMAD PCPA设 CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝ x.32∵AB＝AD＝AC＝1，∴ ＝ ，解得 x＝ ，x132x32x＋ 1 13∴AE＝1－ ＝ .13 23【培优训练】20．C1第七节 相似三角形要题随堂演练1．(2018·凉州区中考)已知 ＝ (a≠0，b≠0)，下列变形错误的是( )a2 b3A. ＝ B．2a＝3bab 23C. ＝ D．3a＝2bba 322．如图的两个四边形相似，则∠α 的度数是( )A．87° B．60° C．75° D．120°3．(2018·自贡中考)如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，若△ADE 的面积为 4，则△ABC的面积为( )A．8 B．12 C．14 D．164．如图，正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ACB 的角平分线分别交 AB，BD 于 M，N 两点．若AM＝2，则线段 ON 的长为( )A. B. C．1 D.22 32 625. (2018·云南中考)如图，已知 AB∥CD，若 ＝ ，则 ＝________．ABCD 14 OAOC26．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，AE，CD 相交于点 O，若 S△DOE ∶S △COA＝1∶16，则 S△BDE 与 S△CDE 的比是________．7．(2018·泰安中考)如图，在菱形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是 BD 上一点，EF∥AB，∠EAB＝∠EBA，过点 B 作 DA 的垂线，交 DA 的延长线于点 G.(1)∠DEF 和∠AEF 是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；(2)找出图中与△AGB 相似的三角形，并证明；(3)BF 的延长线交 CD 的延长线于点 H，交 AC 于点 M.求证：BM 2＝MF·MH.参考答案1．B 2.A 3.D 4.C 5. 6.1∶3147．解：(1)∠DEF＝∠AEF.理由如下：∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠EBA，∠AEF＝∠EAB.3又∵∠EAB＝∠EBA，∴∠DEF＝∠AEF.(2)△EOA∽△AGB，证明如下：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB＝AD，AC⊥BD，∴∠GAB＝∠ABE＋∠ADB＝2∠ABE.又∵∠AEO＝∠ABE＋∠BAE＝2∠ABE，∴∠GAB＝∠AEO.又∵∠AGB＝∠AOE＝90°，∴△EOA∽△AGB.(3)如图，连接 DM.∵四边形 ABCD 是菱形，由对称性可知BM＝DM，∠ADM＝∠ABM.∵AB∥CH，∴∠ABM＝∠H，∴∠ADM＝∠H.又∵∠DMH＝∠FMD，∴△MFD∽△MDH，∴ ＝ ，DMMH MFDM∴DM 2＝MF·MH，∴BM 2＝MF·MH.1第三节 全等三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·黔南州中考)下列各图中 a，b，c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是( )A．甲和乙 B．乙和丙C．甲和丙 D．只有丙2．(2019·易错题)如图，点 D，E 分别在线段 AB，AC 上，CD 与 BE相交于 O点，已知 AB＝AC，现添加以下哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )A．∠B＝∠C B．AD＝AEC．BD＝CE D．BE＝CD3．(2019·改编题)下列说法正确的是( )A．形状相同的两个三角形全等B．面积相等的两个三角形全等C．完全重合的两个三角形全等D．所有的等边三角形全等4．(2018·淄川一模)如图，在△ABC 和△BDE 中，点 C在 BD边上，AC 边交 BE边于点F.AC＝BD，AB＝ED，BC＝BE，则∠ACB 等于( )A．∠EDB B．∠BED2C. ∠AFB D．2∠ABF125．如图，EB 交 AC于点 M，交 FC于点 D，AB 交 FC于点 N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN.其中正确的结论有( )A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个6．如图， Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点 B，C 作过点 A的直线的垂线 BD，CE，垂足分别为 D，E，若 BD＝3，CE＝2，则 DE＝________．7．(2018·永州中考)现有 A，B 两个大型储油罐，它们相距 2 km，计划修建一条笔直的输油管道，使得A，B 两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为 0.5 km，输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有______种.8.(2018·河口模拟)如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点 E，F，DE＝CF，AE＝BF，求证：AC∥BD.9．(2019·改编题)如图，在△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，点 C的坐标为(－1，0)，点 A的坐标3为(－4，3)，求点 B的坐标．10. 如图，在正方形 ABCD中，连接 BD，点 O是 BD的中点，若 M，N 是边 AD上的两点，连接 MO，NO，并延长交边 BC于 M′，N′两点，则图中的全等三角形共有( )A．2 对 B．3 对 C．4 对 D．5 对11．(2018·黑龙江中考)如图，四边形 ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形 ABCD的面积为( )A．15 B．12.5 C．14.5 D．1712．(2019·易错题)如图，在平面直角坐标系中，A(3，0)，B(0，4)，连接 AB，在平面直角坐标系中找一点 C，使△AOC 与△AOB 全等，则 C点的坐标为____________．413．(2019·改编题)如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD和 AD延长线上的点，且 DE＝DF，连接BF，CE.下列说法：①CE＝BF；②∠BAD＝∠CAD；③△ABD 和△ACD 的面积相等；④BF∥CE；⑤△BDF≌△CDE.其中正确的是____________．14. 已知△ABN 和△ACM 的位置如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2.(1)求证：BD＝CE；(2)求证：∠M＝∠N.15．(2018·黄冈中考)如图，在▱ABCD 中，分别以边 BC，CD 作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接 AF，AE.(1)求证：△ABF≌△EDA；(2)延长 AB与 CF相交于 G.若 AF⊥AE，求证：BF⊥BC.516．(2019·原创题)如图，点 B，F，C，E 在同一直线上，∠A＝∠D，BF＝CE，AB∥DE.求证：AC∥DF.6参考答案【基础训练】1．B 2.D 3.C 4.C 5.B 6．5 7.4 8．证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEB＝∠CFA＝90°.∵AE＝BF，∴AF＝BE.在△DEB 和△CFA 中，{DE＝ CF，∠ DEB＝ ∠ CFA，AF＝ BE， )∴△DEB≌△CFA(SAS)，∴∠A＝∠B，∴AC∥DB.9．解：如图，过点 A，B 分别作 AD⊥x 轴于点 D，BE⊥x 轴于点 E，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∴∠ACD＋∠CAD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∴∠CAD＝∠BCE.在△ADC 和△CEB 中，{∠ ADC＝ ∠ CEB，∠ CAD＝ ∠ BCE，AC＝ CB， )∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴CD＝BE，AD＝CE.∵点 C的坐标为(－1，0)，点 A的坐标为(－4，3)，∴OC＝1，CE＝AD＝3，OD＝4，∴CD＝OD－OC＝3，OE＝CE－OC＝3－1＝2，∴BE＝3，∴点 B的坐标是(2，3)．7【拔高训练】10．C 11.B 12．(3，4)或(3，－4)或(0，－4) 13.①③④⑤ 14．证明：(1)在△ABD 和△ACE 中，{AB＝ AC，∠ 1＝ ∠ 2，AD＝ AE， )∴△ABD≌△ACE，∴BD＝CE.(2)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE，∴∠BAN＝∠CAM.∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C.在△ACM 和△ABN 中，{∠ C＝ ∠ B，AC＝ AB，∠ CAM＝ ∠ BAN， )∴△ACM≌△ABN，∴∠M＝∠N.15．证明：(1)∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC.∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝DE.∵∠ADE＋∠ADC＋∠EDC＝360°，∠ABF＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠EDC＝∠CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△EDA.(2)如图，延长 FB交 AD于点 H.∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.8∵∠EAD＋∠FAH＝90°，∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即 BF⊥AD.∵AD∥BC，∴BF⊥BC.【培优训练】16．证明：∵BF＝CE，∴BF＋FC＝FC＋CE，∴BC＝EF.∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF.在△ABC 和△DEF 中，{∠ A＝ ∠ D，∠ ABC＝ ∠ DEF，BC＝ EF， )∴△ABC≌△DEF(AAS)，∴∠ACB＝∠DFE，∴AC∥DF.1第三节 全等三角形要题随堂演练1．(2018·成都中考)如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB 的是( )A．∠A＝∠D B．∠ACB＝∠DBCC．AC＝DB D．AB＝DC2．(2018·南京中考)如图，AB⊥CD，且 AB＝CD.E，F 是 AD 上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则 AD 的长为( )A．a＋c B．b＋cC．a－b＋c D．a＋b－c3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形 ABCD 是一个筝形，其中 AD＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝ AC；12③△ABD≌△CBD.其中正确的结论有( )A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个4．(2018·济宁中考)在△ABC 中，点 E，F 分别是边 AB，AC 的中点，点 D 在 BC边上，连接 DE，DF，EF，请你添加一个条件__________，使△BED 与△FDE 全等．5．如图，在△ABC 中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，则 CE＝________．6．(2018·泸州中考)如图，EF＝BC，DF＝AC，DA＝EB.求证：∠F＝∠C.27．(2018·温州中考)如图，在四边形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，AD∥EC，∠AED＝∠B.(1)求证：△AED≌△EBC.(2)当 AB＝6 时，求 CD 的长．参考答案1．C 2.D 3.D 4．BD＝EF(答案不唯一) 5.3 6．证明：∵DA＝BE，∴DE＝AB.在△ABC 和△DEF 中， {AB＝ DE，AC＝ DF，BC＝ EF， )∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠F＝∠C.7．(1)证明：∵AD∥EC，∴∠A＝∠BEC.∵E 是 AB 中点，∴AE＝EB.∵∠AED＝∠B，∴△AED≌△EBC.(2)解：∵△AED≌△EBC，∴AD＝EC.∵AD∥EC，∴四边形 AECD 是平行四边形，∴CD＝AE.3∵AB＝6，∴CD＝ AB＝3.121第二节 三角形的有关概念及性质姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·福建中考)下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是( )A．1，1，2 B．1，2，4C．2，3，4 D．2，3，52．(2018·河北中考)下列图形具有稳定性的是( )3．(2017·衢州中考)如图，直线 AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E 等于( )A．30° B．40° C．60° D．70°4．(2018·贵阳中考)如图，在△ABC 中有四条线段 DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC 的中线，则该线段是( )A．线段 DE B．线段 BEC．线段 EF D．线段 FG5．(2017·成都中考)在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A 的度数为__________．6．(2017·福建中考)如图，△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，连线 DE.若 DE＝3，则线段 BC的长等于______．27．(2019·易错题)三角形的两边长分别为 3和 6，第三边的长是方程 x2－6x＋8＝0 的解，则此三角形的周长是________．8．如图，在△ABC 中，AD 是 BC边上的高，BE 平分∠ABC 交 AC边于点 E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°.求∠DAC 的度数．9．(2018·河北中考)已知：如图，点 P在线段 AB外，且 PA＝PB，求证：点 P在线段 AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是( )A．作∠APB 的平分线 PC交 AB于点 CB．过点 P作 PC⊥AB 于点 C且 AC＝BCC．取 AB中点 C，连接 PCD．过点 P作 PC⊥AB，垂足为 C10．(2018·黄石中考)如图，△ABC 中，AD 是 BC边上的高，AE，BF 分别是∠BAC，∠ABC 的平分线，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，则∠EAD＋∠ACD＝( )3A．75° B．80° C．85° D．90°11．(2018·临淄模拟)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BC＝4 cm，AC＝3 cm，则点 D到直线 AB的距离为________．12．(2019·原创题)如图，在△ABC 中，E 是底边 BC上一点，且满足 EC＝2BE，BD 是 AC边上的中线，若S△ABC ＝15，则 S△ADF －S △BEF ＝________．13．(2018·宜昌中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC 的外角∠CBD 的平分线 BE交 AC的延长线于点 E.(1)求∠CBE 的度数；(2)过点 D作 DF∥BE，交 AC的延长线于点 F，求∠F 的度数．414．(2019·创新题)联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．举例：如图 1，若 PA＝PB，则点 P为△ABC 的准外心．应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC的高，准外心 P在高 CD上，且 PD＝ AB，求∠APB 的度数．12探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC＝5，AB＝3，准外心 P在 AC边上，试探究 PA的长．参考答案5【基础训练】1．C 2.A 3.A 4.B 5．40° 6.6 7.13 8．解：∵BE 平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE＝2×25°＝50°.∵AD 是 BC边上的高，∴∠BAD＝90°－∠ABC＝90°－50°＝40°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝60°－40°＝20°.【拔高训练】9．B 10.A 11．1.5 cm 12. 5213．解：(1)∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，∴∠CBD＝130°.∵BE 是∠CBD 的平分线，∴∠CBE＝ ∠CBD＝65°.12(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°－65°＝25°.∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°.【培优训练】14．解：应用：①若 PB＝PC，连接 PB，则∠PCB＝∠PBC.∵CD 为等边三角形的高，∴AD＝BD，∠PCB＝30°，∴∠PBD＝∠PBC＝30°，∴PD＝ DB＝ AB，33 36与已知 PD＝ AB矛盾，∴PB≠PC.12②若 PA＝PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC.③若 PA＝PB，由 PD＝ AB，得 PD＝AD，12∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°.探究：∵BC＝5，AB＝3，6∴AC＝ ＝ ＝4.BC2－ AB2 52－ 32①若 PB＝PC，设 PA＝x，则 x2＋3 2＝(4－x) 2，解得 x＝ ，即 PA＝ .78 78②若 PA＝PC，则 PA＝2.③若 PA＝PB，由图知，在 Rt△PAB 中，PA 为直角边，PB 为斜边，∴PA≠PB.综上所述，PA＝2 或 .781第二节 三角形的有关概念及性质要题随堂演练1．(2018·泰安中考)如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为( )A．14° B．16° C．90°－α D．α－44°2．(2018·南宁中考)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，CE 平分∠ACD，若∠A＝60°，∠B＝40°，则∠ECD等于( )A．40° B．45° C．50° D．55°3．(2018·日照中考)如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1＝( )A．30° B．25° C．20° D．15°4．(2018·常德中考)如图，已知 BD 是△ABC 的角平分线，ED 是 BC 的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则 CE 的长为( )A．6 B．5 C．4 D．3 35．(2018·聊城中考)如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A′处，折痕为DE.如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是( )A．γ＝2α＋β B．γ＝α＋2βC．γ＝α＋β D．γ＝180°－α－β6．(2018·滨州中考)在△ABC 中，若∠A＝30°，∠B＝50°，则∠C＝____________．27．(2018·泰州中考)已知三角形两边的长分别为 1，5，第三边长为整数，则第三边的长为________．8．(2018·永州中考)一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边 AB，CE 相交于点 D，则∠BDC＝________．9．如图，BG∥EF，△ABC 的顶点 C 在 EF 上，AD＝BD，∠A＝23°，∠BCE＝44°，求∠ACB 的度数．参考答案1．A 2.C 3.D 4.D 5.A 6．100° 7.5 8.75° 9．解：∵AD＝BD，∠A＝23°，∴∠ABD＝∠A＝23°.∵BG∥EF，∠BCE＝44°，∴∠DBC＝∠BCE＝44°，∴∠ABC＝44°＋23°＝67°，∴∠ACB＝180°－67°－23°＝90°.1第五节 直角三角形姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．下列四组线段中，能组成直角三角形的是( )A．a＝1，b＝2，c＝3 B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝52．(2018·宜宾中考)在▱ABCD 中，若∠BAD 与∠CDA 的角平分线交于点 E，则△AED 的形状是( )A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不能确定3．如图，长为 8 cm 的橡皮筋放置在 x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C 向上拉升 3 cm 至 D 点，则橡皮筋被拉长了( )A．2 cm B．3 cmC．4 cm D．5 cm4．如图，一只蚂蚁从长、宽都是 3，高是 8 的长方体纸箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点，那么它所爬行的最短路线的长是( )A．(3 ＋8) cm B．10 cm2C．14 cm D．无法确定5．(2018·贺州中考)如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为 D，E 是边 BC 的中点，AD＝ED＝3，则 BC 的长为( )A．3 B．3 C．6 D．62 3 26．(2018·哈尔滨中考)在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点 D 在 BC 边上，连接 AD，若△ABD 为直角2三角形，则∠ADC 的度数为____________________．7．(2018·福建中考)把两个同样大小的含 45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点 A，且另三个锐角顶点 B，C，D 在同一直线上．若 AB＝ ，则2CD＝________．8．如图，正方形网格的边长为 1，点 A，B，C 在网格的格点上，点 P 为 BC 的中点，则 AP＝________．9．(2018·深圳中考)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AD 平分∠CAB，BE 平分∠ABC，AD，BE 相交于点 F，且AF＝4，EF＝ ，则 AC＝________．210．在直角△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB 于点 D，CE 是△ABC 的角平分线．(1)求∠DCE 的度数．(2)若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC.311．(2018·临淄模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD 平分∠CAB 交 BC 于 D 点，E，F 分别是 AD，AC 上的动点，则 CE＋EF 的最小值为( )A. B．6 C. D.403 245 15412．(2018·枣庄中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，AF 平分∠CAB，交 CD 于点 E，交 CB 于点 F.若 AC＝3，AB＝5，则 CE 的长为( )A. B. C. D.32 43 53 8513．(2018·泰州中考)如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F 分别为 AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF 的度数为__________________(用含 α 的式子表示)．14．(2019·原创题)如图，四边形 ABCD 中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠C＝120°，AB＝3，CD＝1，则边BC＝__________．15．(2018·盐城中考)如图，在直角△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q 分别为边 BC，AB 上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ 是直角三角形，则 AQ＝________．416．(2019·易错题)如图，∠MAN＝90°，点 C 在边 AM 上，AC＝4，点 B 为边 AN 上一动点，连接 BC，△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E.当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为__________．17．已知，在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 上一点，且∠ACD＝∠B.(1)如图 1，求证：CD⊥AB；(2)将△ADC 沿 CD 所在直线翻折，A 点落在 BD 边所在直线上，记为 A′点．①如图 2，若∠B＝34°，求∠A′CB 的度数；②若∠B＝n°，请直接写出∠A′CB 的度数(用含 n 的代数式表示)．18．(2019·改编题)如图，点 M，N 把线段 AB 分割成 AM，MN 和 BN，若以 AM，MN，BN 为边的三角形是一5个直角三角形，则称点 M，N 是线段 AB 的勾股分割点．若 AM＝3，MN＝5，求 BN 的长为________．参考答案【基础训练】1．D 2.B 3.A 4.B 5.D 6．130°或 90° 7. －1 8. 9. 35 22 8 10510．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB 于 D，∴∠DCB＝90°－∠B＝60°.∵CE 平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ECB＝ ∠ACB＝45°，12∴∠DCE＝∠DCB－∠ECB＝60°－45°＝15°.(2)证明：∵∠CEF＝135°，∠ECB＝ ∠ACB＝45°，12∴∠CEF＋∠ECB＝180°，∴EF∥BC.【拔高训练】11．C 12.A 13．270°－3α 14.3 －2 15. 或 16.4 或 4 3154 307 317．(1)证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠B＋∠BCD＝90°，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB.(2)解：①当∠B＝34°时，∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝34°.由(1)知，∠BCD＋∠B＝90°，6∴∠BCD＝56°.由折叠知∠A′CD＝∠ACD＝34°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝56°－34°＝22°.②当∠B＝n°时，同①的方法得∠A′CD＝n°，∠BCD＝90°－n°，∴∠A′CB＝∠BCD－∠A′CD＝90°－n°－n°＝90°－2n°.【培优训练】18．4 或 34