1、1第 26 讲 图形的平移、对称、旋转与位似第 1 课时 图形的对称重难点 1 轴对称(折叠)的有关计算与证明一张矩形纸片 ABCD，现将它的一个角B 折叠(1)若 AB6，BC10.如图 1，若沿 AF 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 E 处，则线段 FC 的长为 4；如图 2，若沿 EC 折叠，使点 B 落在 AD 边上的点 F 处，则线段 AE 的长为 ；83如图 3，若沿 AC 折叠，使点 B 落在矩形 ABCD 外的点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则线段 DF 的长为 165图 1 图 2 图 3(2)若 AB6，BC8.如图 4，若沿 AE 折叠，使点 B 落在对角线
2、AC 上的点 F 处，则线段 BE 的长为 3；图 4 图 5 图 6如图 5，若沿 AE 折叠，使点 B 落在矩形 ABCD 内的点 F 处，且点 E 恰为 BC 的中点，则线段 CF 的长为 ；161313如图 6，若沿 EF 折叠，使点 B 落在矩形 ABCD 的顶点 D 处，点 A 落在矩形 ABCD 外的点 G 处，则折痕 EF 的长为 152方 法 指 导1图形的轴对称(折叠)变换属于全等变换，在解题时应充分运用其性质解题2折叠中求线段长一般需要构造(找寻)直角三角形，利用勾股定理计算未知线段长【变式训练 1】 (2017宁夏)如图，将ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 A 落在
3、点 A处若1250，则A为 105【变式训练 2】 (2017黔西南)如图，将边长为 6 cm 的正方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边中点 E 处，点C 落在点 Q 处，折痕为 FH，则线段 AF 的长是 cm.942【变式训练 3】 (2017南宁)如图，菱形 ABCD 的对角线相交于点 O，AC2，BD2 ，将菱形按如图方式折叠，3使点 B 与点 O 重合，折痕为 EF，则五边形 AEFCD 的周长为 7重难点 2 利用轴对称求最短路径问题(2018滨州)如图，AOB60，点 P 是AOB 内的定点，且 OP ，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上3异于点 O 的动点，
4、则PMN 周长的最小值是( D)A. B. C6 D3362 332【思路点拨】 作点 P 分别关于 OA，OB 的对称点 C，D，连接 CD 分别交 OA，OB 于 M，N，如图，利用轴对称的性质，得 MPMC，NPND，OPODOC ，BOPBOD，AOPAOC，所以COD2AOB120，利3用两点之间线段最短判断此时PMN 周长最小，为 CD 的长作 OHCD 于点 H，则 CHDH，然后利用含 30角的直角三角形三边的关系计算 CD 即可在几何图形中求两(三)条线段之和的最小值，通常根据轴对称的性质和两点之间线段最短，将两(三)条方 法 指 导线段的长转化为一条线段的长，然后计算这条线
5、段的长，即两(三)条线段之和的最小值【变式训练 4】 (2018天津)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 分别为 AD，BC 的中点，P 为对角线 BD 上的一个动点，则下列线段的长等于 APEP 最小值的是( D)AAB B. DE C. BD DAF 【变式训练 5】 如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB8 cm， ，M 是 AB 上一动点，CMDM 的最小AC CD BD 值为 8_cm3考点 1 轴对称图形与中心对称图形1(2018淄博)下列图形中，不是轴对称图形的是( C),A) ,B) ,C) ,D)2(2018长沙)下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( A)
6、A B C D3(2018黄石)下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是( C)A B C D4(2018广州 )如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有( C)A1 条 B3 条 C5 条 D无数条5(2017河北)图 1 和图 2 中所有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( C)A B C D考点 2 与对称有关的作图6(2018枣庄)如图，在 44 的方格中，ABC 的三个顶点都在格点上(1)在图 1 中，画出一个与ABC 成中心对称的格点三角形；(2)在图 2 中，画出一个与ABC 成轴
7、对称且与ABC 有公共边的格点三角形；(3)在图 3 中，画出ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90后的三角形4图 1 图 2 图 3考点 3 图形的折叠7(2018天津)如图，将一个三角形纸 ABC 沿过点 B 的直线折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 E 处折痕为 BD，则下列结论一定正确的是( D)AADBD BAEACCEDEBDB DAECBAB8(2018内江)如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 E 处，BE 交 AD 于点 F，已知BDC62，则DFE 的度数为( D)A31 B28 C62 D569(2018仙桃)如图，正方形 ABCD 中，AB
8、6，G 是 BC 的中点将ABG 沿 AG 对折至AFG，延长 GF 交 DC 于点E，则 DE 的长是( C)A1 B1.5 C2 D2.510(2018威海)如图，将矩形 ABCD(纸片)折叠，使点 B 与 AD 边上的点 K 重合，EG 为折痕；点 C 与 AD 边上的点K 重合，FH 为折痕，已知167.5，275，EF 1.求 BC 的长3解：由题意，得3180214 5，41802230，BEEK，KFFC.过点 K 作 KMEF，垂足为 M.设 KMx，则 EMx，MF x，35x x 1，解得 x1.3 3EK ，KF2.2BCBEEFFCEKEFKF3 ，2 3即 BC 的长
9、为 3 .2 3考点 4 利用轴对称求最短路径11(2018新疆)如图，点 P 是边长为 1 的菱形 ABCD 对角线 AC 上的一个动点，点 M，N 分别是 AB，BC 边上的中点，则 MPPN 的最小值是( B)A. B1 C. D212 212(2018泸州)如图，等腰ABC 的底边 BC20，面积为 120，点 F 在边 BC 上，且 BF3FC，EG 是腰 AC 的垂直平分线若点 D 在 EG 上运动，则CDF 周长的最小值为 1813(2017菏泽)如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4，5)，D 是 OB 的中点，E 是 OC 上的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的
10、坐标是( B)A(0， ) B(0， ) C(0，2) D(0， )43 53 10314(2018遵义)如图，在菱形 ABCD 中，ABC120，将菱形折叠，使点 A 恰好落在对角线 BD 上的点 G 处(不与 B，D 重合)，折痕为 EF.DG2，BG6，则 BE 的长为 2.815(2017潍坊)如图，将一张矩形纸片 ABCD 的边 BC 斜着向 AD 边对折，使点 B 落在 AD 上，记为 B，折痕为6CE；再将 CD 边斜向下对折，使点 D 落在 BC 上，记为 D，折痕为 CG，BD2，BE BC.则矩形纸片 ABCD13的面积为 1516(2017眉山)在如图的正方形网格中，每一
11、个小正方形的边长为 1.格点三角形 ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A，C 的坐标分别是(4，6)，(1，4)(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；(2)请画出ABC 关于 x 轴对称的A 1B1C1；(3)请在 y 轴上求作一点 P，使PB 1C 的周长最小，并写出点 P 的坐标解：(1)(2)如图(3)作点 B1关于 y 轴的对称点 B2，连接 B2C 交 y 轴于点 P，点 P 即为所求点 P 的坐标为(0，2)7第 2 课时 图形的平移、位似与旋转重难点 1 平移的相关计算(2018株洲)如图，点 O 为坐标原点，OAB 是等腰直角三角形，OAB90，点 B 的坐标为
12、(0，2 )，2将该三角形沿 x 轴向右平移得到 RtOAB，此时点 B的坐标为(2 ，2 )，则线段 OA 在平移过程中扫过2 2部分的图形面积为 4【思路点拨】 如图，由点 B 的坐标为(0，2 )，且平移后点 B的坐标为(2 ，2 )，可知沿 x 轴平移的2 2 2距离为 2 ，且线段 OA 与平移后的线段 OA的关系是平行且相等，所以线段 OA 在平移过程中扫过的部分是平2行四边形 OOA A，故可由等腰直角三角形中边的关系，求得平行四边形的高，进而求得面积解决平移相关的问题，关键要紧扣平移的性质特征：方 法 指 导对应线段平行(或共线)且相等；对应点的连线平行且相等；平移前后的图形全
13、等【变式训练 1】 如图，将边长为 2 个单位长度的等边ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位长度得到DEF，则四边形 ABFD 的周长为 8 个单位长度重难点 2 旋转的计算与证明(2018烟台节选)在数学课上，老师提出了这样一个问题：如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，PA1，PB2，PC3.你能求出APB 的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，连接 PP，求出APB 的度数；思路二：将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB ，连接 PP，求出APB 的度数请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程【
14、思路点拨】 两种思路的出发点相 同，都是通过旋转得到全等三角形，从而构建直角三角形使问题得以解决【自主解答】 8图 1解：选择思路一，如图 1.将BPC 绕点 B 逆时针旋转 90，得到BPA，BPBP2，PBP90，APPC3.PP 2 ，PPB45.BP2 BP 2 2AP 2PP 21(2 )29AP 2.2APP90.APBAPPPPB 135.图 2选择思路二，如图 2.将APB 绕点 B 顺时针旋转 90，得到CPB，BPBP2，PCPA1，APBBPC，PBP90.PP 2 ，PPB45.BP2 BP 2 2PC 2PP 21 2(2 )29PC 2.2PPC90.APBBPC
15、PPBPPC 135.图形的旋转变换为全等变换，在解题时应充分运用其性质，抓住以下几点： 找准旋转中的“变”方 法 指 导与“不变” ； 找准旋转前后的“对应关系” ；充分挖掘旋转过程中线段之间的位置和数量关系如：旋转前、后的两个三角形全等，利用全等的性质就可以求出线段的长或角的度数，旋转角为 60的旋转考虑有没有等边三角形，旋转角为 45的旋转考虑有没有等腰直角三角形【变式训练 2】 如图，在ABC 中，ACB90，B50，将此三角形绕点 C 沿顺时针方向旋转后得到ABC.若点 B恰好落在线段 AB 上，AC，AB相交于点 O，则COA的度数是( B)A50 B60 C70 D80【变式训练
16、 3】 如图，在 RtABC 中，ACB90，ABC30，AC2，ABC 绕点 C 顺时针旋转得A1B1C，当 A1落在 AB 边上时，连接 B1B，取 BB1的中点 D，连接 A1D，则 A1D 的长度是( A)A. B2 C3 D27 2 39重难点 3 网格作图如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(3，5)，B(2，1)，C(1，3)(1)若ABC 经过平移后得到A 1B1C1，已知点 C1的坐标为(4，0)，写出顶点 A1，B 1的坐标；(2)若ABC 和A 2B2C2关于原点 O 成中 心对称，写出A 2B2C2的各顶点的坐标；(3)若ABC 和A 3B3
17、C3关于 x 轴对称，画出A 3B3C3，并写出A 3B3C3各顶点的坐标；(4)若ABC 和A 4B4C4关于点(1，1)位似，位似比为 12，画出A 4B4C4，并写出A 4B4C4各顶点的坐标；(5)将ABC 绕着点 O 按顺时针方向旋转 90得到A 5B5C5，写出A 5B5C5的各顶点的坐标，并求出点 C 旋转的路径长【自主解答】 解：(1)如图，A 1B1C1为所作点 C(1，3)平移后的对应点 C1的坐标为(4，0)，ABC 先向右平移 5 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度得到A 1B1C1.点 A1的坐标为(2，2)，点 B1的坐标为(3，2)(2)ABC 和A 2B2C
18、2关于原点 O 成中心对称，A 2(3，5)，B 2(2，1)，C 2(1，3)(3)如图，A 3B3C3为所作，A 3(3，5)，B 3(2，1)，C 3(1，3)(4)如图，A 4B4C4为所作，A 4(3，7)，B 4(1，1)，C 4(1，3)(5)如图，A 5B5C5为所作，A 5(5，3)，B 5(1，2)，C 5(3，1)OC ，32 12 10点 C 旋转的路径长为 .90 10180 102方 法 指 导1平移、对称、旋转与位似作图的一般步骤：(1)确定原图形中的关键点；(2)按要求作出原图形中各关键点的对应点；(3)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.2.点的坐标变化规
19、律：(1)点的坐标对称规律：点 A(x，y) 点 A(x，y)； 关 于 x轴 对 称 点 A(x，y) 点 A(x，y)； 关 于 y轴 对 称 10点 A(x，y) 点 A(x ，y)； 关 于 原 点 对 称 点 A(x，y) 点 A(kx，ky)或(kx，ky) 关 于 原 点 位 似 位 似 比 为 k(2)点的坐标平移规律(上加下减，右加左减 )：(3)点的坐标旋转规律(以原点 O 为旋转中心，旋转角为特殊角)：点 A(x，y) 点 A(y，x)； 绕 原 点 O 顺 时 针 旋 转 90点 A(x，y) 点 A(y，x)； 绕 原 点 O 逆 时 针 旋 转 90点 A(x，y)
20、 点 A(x，y) 绕 原 点 O 顺 （ 逆 ） 时 针 旋 转 180考点 1 图形的平移1(2018温州)如图，已知一个直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点 A，B 的坐标分别为(1，0)，(0， )现将该三角板向右平移使点 A 与点 O 重合，得到OCB，则点 B 的对应点 B的坐标是( C)3A(1，0) B( ， ) C(1， ) D(1， )3 3 3 32如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10” ，则顶点 C 平移的距离CC5考点 2 图形的旋转3如图，在平面 直角坐标系中，点 B，C，E 在 y 轴上， RtABC 经过变换得到 RtOD
21、E.若点 C 的坐标为(0，1)，AC2，则这种变换可以是( A)AABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 3 个单位长度BABC 绕点 C 顺时针旋转 90，再向下平移 1 个单位长度CABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 1 个单位长度DABC 绕点 C 逆时针旋转 90，再向下平移 3 个单位长度114(2018海南)如图，在ABC 中，AB8，AC6，BAC30，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 60得到AB1C1，连接 BC1，则 BC1的长为( C)A6 B8 C10 D125(2018衡阳)如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上若COD 是由AOB 绕点
22、 O 按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为 906(2018张家界)如图，将ABC 绕点 A 逆时针旋转 150，得到ADE，这时点 B，C，D 恰好在同一直线上，则B 的度数为 157(2017北京)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，AOB 可以看作是OCD 经过若干次图形的变换(平移、轴对称、旋转)得到的，写出一种由OCD 得到AOB 的过程：先向左平移 2 个单位长度，再绕原点 O 顺时针旋转 908已知：如图， 在正方形 ABCD 中，G 是 CD 上一点，延长 BC 到 E，使 CECG，连接 BG 并延长交 DE 于 F.(1)求证：BCGDCE；(2)将DCE 绕点 D 顺
23、时针旋转 90得到DAE，判断四边形 EBGD 是什么特殊四边形，并说明理由12解：(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，BCDC，BCG90.BCGDCE180，BCGDCE90.在BCG 和DCE 中，BC DC， BCG DCE，CG CE， )BCGDCE( SAS)(2)四边形 EBGD 是平行四边形理由：DCE 绕点 D 顺时针旋转 90得到DAE，CEAE.CGCE，CGAE.四边形 ABCD 是正方形，BEDG，ABCD.ABAECDCG，即 BEDG.四边形 EBGD 是平行四边形考点 3 图形的位似9(2018潍坊)在平面直角坐标系中，点 P(m，n)是线段 AB 上一点
24、，以原点 O 为位似中心把AOB 放大到原来的两倍，则点 P 的对应点的坐标为( B)A(2m，2n)B(2m，2n)或(2m， 2n)C( m， n)12 12D( m， n)或( m， n)12 12 12 1210(2017兰州)如图，四边形 ABCD 与四边形 EFGH 位似，位似中心是点 O， ，则 OEOA 35 FGBC 35考点 4 网格作图11(2018广西六市)如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(1，1)，B(4，1)，C(3，3)(1)将ABC 向下平移 5 个单位长度后得到A 1B1C1，请画出 A1B1C1；(2)将ABC 绕原点 O 逆时
25、针旋转 90后得到A 2B2C2，请画出A 2B2C2；(3)判断以 O，A 1，B 为顶点的三角形的形状(无须说明理由)13解：(1)如图所示，A 1B1C1即为所求(2)如图所示，A 2B2C2即为所求(3)三角形的形状为等腰直角三角形12(2018山西)如图，在 RtABC 中，ACB90，A60，AC6，将ABC 绕点 C 逆时针方向旋转得到ABC，此时点 A恰好在 AB 边上，则点 B与点 B 之间的距离为( D)A12 B6 C6 D62 313(2018荆门)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I 是ABC 的内心，将ABC 绕原点逆时针旋转 90后，I 的对应点 I的坐标为( A)A(2，3) B(3，2) C(3，2) D(2，3)14(例 2 变式)(2018淄博)如图，P 为等边三角形 ABC 内的一点，且 P 到是三个顶点 A，B，C 的距离分别为3，4，5，则ABC 的面积为( A)A9 B9 C1825 D182534 2532 3 2532
