1、1第四篇 无穷级数第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数.第 1 节 常数项级数的概念与性质1.1 常数项级数的概念一般的，给定一个数列 ,321nu则由这数列构成的表达式 nu321叫做（常数项）无穷级数 简称（常数项）级数 记为 即1nu 321nu其中第 项 叫做级数的一般项nu作级数 的前 项和1n nni uus 321称为级数 的部分和 当
2、n 依次取 1,2,3时，它们构成一个新的数列1nu， ， ，1su2123123su，.nn根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。定义 如果级数 的部分和数列 有极限 即 则称无穷级数1nunssnlim2收敛 这时极限 叫做这级数的和 并写成1nus 321nn uu如果 没有极限 则称无穷级数 发散ns1n当级数 收敛时 其部分和 是级数 的和 的近似值 它们之间的差值1nuns1nus2nnnr叫做级数 的余项1nu例 1 讨论等比级数（几何级数） (a0)的敛散性nq0解 如果 则部分和qqaqaaqs nnnn 11 2当 时 因为 所以此时级数 收敛 其和为
3、 1qn1limn0当 时 因为 所以此时级数 发散 nsli naq0如果 则当 时 因此级数 发散 1qnan0当 时 级数 成为nq0a因为 随着 为奇数或偶数而等于 或零 所以 的极限不存在 从而这时级数ns ns发散 naq03综上所述 如果 则级数 收敛 其和为 如果 则级数1qnaq0qa11发散 naq0例 2 判别无穷级数 的收敛性 1)ln(解 由于nnun l)1(l)l(因此,)1(ln)(l )l34()l23()1l2(n s而 ，故该级数发散.nSlim例 3 判别无穷级数 的收敛性 1)(n解 因为 ,1)(nun所以 )( 4321sn11 )( n从而)(l
4、imlinsn所以这级数收敛 它的和是 1 1.2 收敛级数的基本性质根据无穷级数收敛、发散的概念，可以得到收敛级数的基本性质.性质 1 如果级数 收敛于和 s 则它的各项同乘以一个常数 k所得的级数 也1nu 1nku收敛 且其和为 ks证明 设 与 的部分和分别为 与 则1nnns,) (limli21kuk ksunnlim) (lim214这表明级数 收敛 且和为 1nkuks性质 2 如果级数 、 分别收敛于和 、 则级数 也收敛 且其和1nnvs)(1nvu为 s证明 如果 、 、 的部分和分别为 、 、 ， 则1nunv)(1nvunsn)( )(limli 2vu11 nnnu
5、s)(li性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项 不会改变级数的收敛性 比如 级数 是收敛的;)1( 4312n级数 也是收敛的; 0级数 也是收敛的)( 5性质 4 如果级数 收敛 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛 且其和1nu不变 应注意的问题 如果加括号后所成的级数收敛 则不能断定去括号后原来的级数也收敛 例如 级数（11)+（11) + 收敛于零 但级数 1111 却是发散的 推论 如果加括号后所成的级数发散 则原来级数也发散性质 5 如果 收敛 则它的一般项 趋于零 即 1nunu0limnu证明 设级数 的部分和为 且 则1nnssnli0lili)(limli 110
6、 sun注 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件 例 6 证明调和级数 321nn是发散的 5证明 假若级数 收敛且其和为 是它的部分和 1nsn显然有 及 于是 snlim2li 0)(lim2但另一方面 21 1 12 nnnn故 矛盾 这矛盾说明级数 必定发散 0)(li2nns1习题 7-11. 写出下列级数的前四项:（1） ； （2） .1!n 121)()(nn2. 写出下列级数的一般项（通项）:（1） ； （2） ；842 975354aa（3） . 7153. 根据级数收敛性的定义，判断下列级数的敛散性:（1） ; （2） .ln 6sin2si6in4. 判断下列级数的
7、敛散性:（1） ; （2） ;3n n31931（3） （4） .12n 2)(2n6第 2 节 常数项级数的收敛法则2.1 正项级数及其收敛法则现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数.设级数 （7-2-1 ） nuu321是一个正项级数，它的部分和为 .显然，数列 是一个单调增加数列，即：nss n21如果数列 有界，即 总不大于某一常数 ，根据单调有界的数列必有极限的准nsnsM则，级数（7-2-1）必收敛于和 ，且 . 反之，如果正项级数（7-2-1 ）收敛于和sn.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列 有界. 因此，有如下重要结论：s n定理 1 正项级数 收敛
8、的充分必要条件是它的部分和数列 有界1nu ns定理 2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数 且 若级数1nnvnuv),21(收敛 则级数 收敛 反之 若级数 发散 则级数 发散1nv1nu1n1n证明 设级数 收敛于和 则级数 的部分和1nv1nu),21(232 nvus n即部分和数列 有界 由定理 1 知级数 收敛 n1nu反之 设级数 发散 则级数 必发散 因为若级数 收敛 由上已证明的1nu1nv1nv结论 将有级数 也收敛 与假设矛盾1n7推论 设 和 都是正项级数 如果级数 收敛 且存在自然数 N 使当1nunv1nv时有 成立 则级数 收敛 如果级数 发散 且当 时Nn)
9、0(kn1nu1nn有 成立 则级数 发散)(kvun1n例 1 讨论 p级数 1 4321 pppn n的收敛性 其中常数 0p解 设 这时 而调和级数 发散 由比较审敛法知 当 时级数1n1n 1p发散 pn1设 此时有 111 )(pnpnpp ndx ),32(对于级数 其部分和12)(pnn11111 )()( 32 pppppn nns因为 所以级数 收敛 从而根据比较)(limli 1pnn 12)(pn审敛法的推论 1 可知 级数 当 时收敛 pn1综上所述 p级数 当 时收敛 当 时发散pn11p例 2 证明级数 是发散的 1)(n8证明 因为 而级数 是发散1)()1(2n
10、n 1 321nn的 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3 （比较审敛法的极限形式)设 和 都是正项级数 如果 则级数 和级数1nunv )0(limlvun 1nu同时收敛或同时发散 1nv证明 由极限的定义可知 对 存在自然数 N 当 时 有不等式l21n lvuln21即 . nnlvul231再根据比较审敛法的推论 1 即得所要证的结论例 3 判别级数 的收敛性 sin解 因为 而级数 发散 根据比较审敛法的极限形式 级数1ilm n1n发散1sin用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数 作为比较的基1nv准.最常选用做基准级数的是等比级数和 p级数.定理 4
11、 (比值审敛法 达朗贝尔判别法) 若正项级数 的后项与前项之比值的极限1nu等于 ，即nu1lim则当 时级数收敛当 (或 )时级数发散 当 时级数可能收敛也11n1li 1可能发散9例 4 判别级数 收敛性 1!n解 因为10lim !1)(li lim 1 nnun根据比值审敛法可知，所给级数收敛例 5 判别级数 的收敛性13!n解 因为,31lim 3!)1(li lim 1 nnunn根据比值审敛法可知,所给级数发散定理 5 (根值审敛法 柯西判别法 )设 是正项级数 如果它的一般项 的 n 次根的极限等于 ，即1nuunlim则当 时级数收敛 当 (或 )时级数发散 当 时级数可能收
12、敛1u1也可能发散定理 6（极限审敛法）设 为正项级数，1n（1）如果 （或 ） ，则级数 发散；0limlun nuli 1nu（2）如果 ，而 （ ） ，则级数 收敛.1plnplil1n证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取 ，由调和级数 发散，知结论vn1n成立.（2）在极限形式的比较审敛法中，取 ，当 时，p级数 收敛，pnv11np10故结论成立.例 6 判定级数 的收敛性.)1ln(12解 因 ，故)l(2，1lim)1ln(ilim222 nunn根据极限审敛法，知所给级数收敛.2.2 交错级数及其审敛法则下列形式的级数 ,4321uu称为交错级数. 交错级数的一般形式为 其
13、中 nn1)(0n定理 7（莱布尼茨定理）如果交错级数 满足条件 nnu1)(1) 1(,23)nu(2) 0lim则级数收敛 且其和 其余项 的绝对值 1usnr1nur证明 设前 项部分和为 ，由n,)()()( 2143212 nns 及，nnn uuuu 212543212 )()()(看出数列 单调增加且有界 所以收敛 s1sn设 则也有 所以 ，)(2n )(122 sn )(sn从而级数是收敛的 且 1us因为 |也是收敛的交错级数 所以 .21nnr 1nur2.3 绝对收敛与条件收敛11对于一般的级数： ,21 nuu若级数 收敛，则称级数 绝对收敛；若级数 收敛， 而级数1
14、nu1n1n发散 则称级数 条件收敛1n1n级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：定理 8 如果级数 绝对收敛 则级数 必定收敛 1nu1nu证明 令.)(2nnv),2(显然 且 .因级数 收敛，故由比较审敛法知道，级0nvnu,11nu数 ，从而级数 也收敛.而 ，由收敛级数的基本性质可知：1n12nvnnv2，111nnnuu所以级数 收敛.1nu定理 8 表明，对于一般的级数 ，如果我们用正项级数的审敛法判定级数1nu收敛，则此级数收敛. 这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的1nu收敛性判定问题.一般来说，如果级数 发散 我们不能断定级数 也发散 但是 如果我们1nu1n
15、u用比值法或根值法判定级数 发散 则我们可以断定级数 必定发散 这是因为 1n 1n此时| un|不趋向于零 从而 也不趋向于零 因此级数 也是发散的nu1nu12例 7 判别级数 的收敛性 12sina解 因为| 而级数 是收敛的 所以级数 也收敛 从而级数2|i21n12|sin|a绝对收敛 12sina例 8 判别级数 （ 为常数）的收敛性 13na解 因为)(1)(3311 nanaunn所以当 时，级数 均收敛；当 时，级数 绝对收敛；当a13n13n时，级数 发散.113n习题 7-21. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性：（1） ； （2） ；21n 1)2(n（3） ； （4）
16、 ；1n 1sin（5） .1)0(na2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性:（1） ; （2） ;!2n 1!3n（3） ; （4） .1)(nn 112tann3. 判定下列级数的敛散性:（1） ; （2） ;2n 1)(nn13（3） ; （4） ;13sin214!n（5） .12)(n4. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1） ; （2） ;1)(n 1)1ln()(n（3） ; （4） .1si)(nn1)(n14第 3 节 幂级数3.1 函数项级数的概念 给定一个定义在区间 I 上的函数列 由这函数列构成的表达式)(xun, )()(321 xxun称为
17、定义在区间 上的(函数项 )级数 记为 I1nu对于区间 内的一定点 若常数项级数 收敛 则称点 是级数 的I0x10)(nx0x1)(nxu收敛点 若常数项级数 发散 则称点 是级数 的发散点 10)(nu01)(nu函数项级数 的所有收敛点的全体称为它的收敛域 所有发散点的全体称为它1)(nx的发散域在收敛域上 函数项级数 的和是 的函数 称为函数项级数1)(nxu)(xs)(s的和函数 并写成 函数项级数 的前 项的部分和记作1)(nxu1)()(ns )(un 即s)()()(321 xuxuxs nn 在收敛域上有 .)(limxn函数项级数 的和函数 与部分和 的差1nu)(xs)
18、(xsn15)()(xsxrnn叫做函数项级数 的余项 并有 1)(nxu0lim3.2 幂级数及其收敛性函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数 这种形式的级数称为幂级数 它的形式是 nn xaxax2100其中常数 叫做幂级数的系数 ,210a定理 1（阿贝尔定理) 对于级数 ，当 时收敛 则适合不等式0nxa)0(x的一切 x 使这幂级数绝对收敛 反之 如果级数 当 时发散 则适合0x 0na0不等式 的一切 使这幂级数发散0证 先设 是幂级数 的收敛点 即级数 收敛 根据级数收敛的必要0x0nxa0nxa条件有 于是存在一个常数 使lim0naM),21(0xan
19、这样级数 的的一般项的绝对值0nxannnnn xMxaxa | 000因为当 时 等比级数 收敛 所以级数 收敛 也就是级数0xnnM|0 0|na绝对收敛 0na定理的第二部分可用反证法证明 16倘若幂级数当 时发散而有一点 适合 使级数收敛 则根据本定理的0x1x0x第一部分 级数当 时应收敛 这与所设矛盾 定理得证推论 如果级数 不是仅在点 一点收敛 也不是在整个数轴上都收敛 0nxa0x则必有一个完全确定的正数 存在 使得R当 时 幂级数绝对收敛 x当 时 幂级数发散 当 与 时 幂级数可能收敛也可能发散R正数 通常叫做幂级数 的收敛半径 开区间 叫做幂级数 的0nxa),(R0nx
20、a收敛区间 再由幂级数在 处的收敛性就可以决定它的收敛域 幂级数 的收R 0n敛域是 或 、 、 之一),(R),(,若幂级数 只在 收敛 则规定收敛半径 若幂级数 对一切0nxa00R0nxa都收敛 则规定收敛半径 这时收敛域为 x),(定理 2 如果 其中 、 是幂级数 的相邻两项的系数 则这|lim1nana10nxa幂级数的收敛半径 01 R证明 | |lim|li11xaxannn(1) 如果 , 则只当 时幂级数收敛 故 0R(2) 如果 则幂级数总是收敛的 故 (3) 如果 则只当 时幂级数收敛 故 0x017例 1 求幂级数 的收敛半径与收敛域 12nx解 因为1)(limli
21、21nan所以收敛半径为 即收敛区间为 .1R),(当 时 有 ，由于级数 收敛，所以 级数 在 时x2)(n12n 12nx也收敛.因此 收敛域为 1,例 2 求幂级数=0!nx !1 !321nxx的收敛域 解 因为0)!1(lim !1)(li |lim 1nann所以收敛半径为 从而收敛域为 R),(例 3 求幂级数 的收敛半径 0!nx解 因为!)1(lim |li 1nan所以收敛半径为 即级数仅在 处收敛 0R0x例 4 求幂级数 的收敛半径 02)!(nn解 级数缺少奇次幂的项 定理 2 不能应用 可根据比值审敛法来求收敛半径 幂级数的一般项记为 因为nnxu)!(21|4 |
22、)(|limxun18当 即 时级数收敛 当 即 时级数发散 所以收敛半径为142x| 142x|R3.3 幂级数的运算设幂级数 及 分别在区间 及 内收敛 则在 与0nxa0nb),(R),( ),(R中较小的区间内有),(R加法 .00)(nnn xbaxba减法 .00)(nnn乘法 )()(00nnxba 2012010 )()( xbaxba. nn010除法: .210210 nn xcxcxbxbaa关于幂级数的和函数有下列重要性质：性质 1 幂级数 的和函数 在其收敛域 上连续0na)(sI性质 2 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积 并且有逐项积分公式0nxx010)()(
23、 nnxaddads )(I逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3 幂级数 的和函数 在其收敛区间 内可导 并且有逐项求导公0nx)(xs),(R式 100)()()nnnxaas ()逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径19例 6 求幂级数 的和函数 01nx解 求得幂级数的收敛域为 设和函数为 即),)(xs 01(nxs1,显然 在 的两边求导得：1)0(s01)(nxsxxnnn 1)(001对上式从 到 积分 得0x)l(1)(0dxxs于是 当 时 有 从而ln,0 1 ,1-)l()(xxs提示 应用公式 即 )()(0Fdx xdF)()( 132
24、nx习题 7-31求下列幂级数的收敛区间（1） ； （2） ；nx1)(nnx（3） ； （4） ；12)(nn 112)(nn（5） ； （6） ；1)5(nx12nnx（7） ； （8） .1)(2nn1)5(nn2. 利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数20（1） ; （2） .12nx12nx第 4 节 函数展开成幂级数4.1 函数展开成幂级数给定函数 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数” 就是说 是否能找)(xf到这样一个幂级数 它在某区间内收敛 且其和恰好就是给定的函数 如果能找到这)(xf样的幂级数 我们就说函数 能展开成幂级数 而该级数在收敛区间内就表达了函数)
25、(xf)(xf如果 在点 的某邻域内具有各阶导数f0x，),(xf ),(fn则当 时 在点 的泰勒多项式n)(xf0 nnxfxfxfp )(! )(!2)( 0)(20成为幂级数 )(!)()( 20000 fxff )(!0)(nnf这一幂级数称为函数 的泰勒级数f显然 当 时 的泰勒级数收敛于 0x)()(0xf需要解决的问题 除了 外 的泰勒级数是否收敛? 如果收敛 它是否一定0x)f收敛于 ? )(xf21定理 设函数 在点 的某一邻域 内具有各阶导数 则 在该邻域内能)(xf0)(0xU)(xf展开成泰勒级数的充分必要条件是 的泰勒公式中的余项 当 时的极限为)(f Rn零 即
26、lim()0nRx0()x证明 先证必要性 设 在 内能展开为泰勒级数 即)(xfU )(! )(!2)( 0)(2000 nnxfxffx又设 是 的泰勒级数的前 项的和则在 内1sn 1n0U)(xsf)(而 的 阶泰勒公式可写成 ，于是)(xf 1xRfnn )(xRn()0s)再证充分性 设 对一切 成立 0xU因为 的 阶泰勒公式可写成 于是)(xf )()(1Rsxfnn，1sn xf即 的泰勒级数在 内收敛 并且收敛于 )(xf )(0xU)(f在泰勒级数中取 得 !)0( !2)0()( nxfxff此级数称为 的麦克劳林级数)(xf要把函数 展开成 的幂级数，可以按照下列步骤
27、进行：x第一步 求出 的各阶导数 )(f ),(,)(,)(xffxf n第二步 求函数及其各阶导数在 处的值 0 ),0(,)(,)(nfff第三步 写出幂级数 ! !20)(0)(nxfxff22并求出收敛半径 R 第四步 考察在区间( 内时是否 ),()(0)nxRn1()!lim(li nf是否为零 如果 则 在 内有展开式)(0)xRn xf,( !)0 !20( (nxfff )(Rx例 1 试将函数 展开成 的幂级数 xef)解 所给函数的各阶导数为 因此 ),1()( nefxn ),21()0( nfn得到幂级数 ! !21该幂级数的收敛半径 R由于对于任何有限的数 ( 介于
28、 0 与 之间) 有,xx)!1(|)!1( |)| |nxenn而 所以 从而有展开式0)!1(|lim nx0|lixRn211 !x nex()x例 2 将函数 展开成 的幂级数 fsi)(解 因为 2in)( xfn ),1(n所以 顺序循环地取 于是得级数)0(nf ,32,0,01, )!1() !53nxx它的收敛半径为 R对于任何有限的数 ( 介于 0 与 之间) 有,xx2311()sin|2|()| 0!()!nnn xRx因此得展开式.3521sin ()! )!nxx ()x例 3 将函数 展开成 x 的幂级数 其中 为任意常数 mf)1( m解 的各阶导数为)(xf
29、1)()mxf ,(2x ,)1()(1)( nmn xmf 所以 ),1()2()0(,)()0,)(,1)0( nffff n且 nRx于是得幂级数 nxnmxm!)1( )1( !2)1(1以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.例 4 将函数 展开成 的幂级数 xfcos)(解 已知 )!12() !53sin nx)(x对上式两边求
30、导得)( )!( !421cos 2xxxxn例 5 将函数 展开成 的幂级数 )ln()f24解 因为 而 是收敛的等比级数 的和函数 xf1)( 0)1(nx)1 32x所以将上式从 0 到 逐项积分 得 )1ln()xfxxd001)l(1)(nnxn )(x上述展开式对 也成立 这是因为上式右端的幂级数当 时收敛 而1x在 处有定义且连续 )1ln(常用展开式小结 21 nxx(1)x1!xe3521sin () )!nxx ()x242co1 () ! !nx()2341ln() () nxx(1)x!)1(12mxm () !nm)x4.2 幂级数的展开式的应用4.2.1 近似计算
31、有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.例 6 计算 的近似值(误差不超过 ) 524410解 因为 所以在二项展开式中取 即5/532(351m532x25. )32(15!3251245 这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前 项和作为 的近似值 则其误差( 也叫做n4截断误差) 可算得,1nur ,103258243| 4910为了使误差不超过 只要取其前两项作为其近似值即可 于是有410.049)2351(5例 7 利用 求 的近似值 并估计误差 3!sinx9sin解 首先把角度化成弧度(弧度) (弧度 )
32、18020从而 3!1sin其次 估计这个近似值的精确度 在 的幂级数展开式中令 得x20x !7120!5!3120sin 等式右端是一个收敛的交错级数 且各项的绝对值单调减少 取它的前两项之和作为的近似值 起误差为20sin301)2.(120!5| 5r因此取 .78.876.于是得 ，这时误差不超过 15643.09sin 510例 8 计算定积分 dxe20的近似值 要求误差不超过 （取 ） 41056419.26解 将 的幂级数展开式中的 换成 得到被积函数的幂级数展开式xex2. !3)(!2)(!12 x 20(1)!nnx()x于是 根据幂级数在收敛区间内逐项可积 得 dxd
33、xdxe nnn 210210220 !)(!)(.) !37!2513(642 前四项的和作为近似值 其误差为90!|84r所以529.)!3712531(2642102 dxe例 9 计算积分 dx5.041的近似值 要求误差不超过 41解 因为 nxxx)1(32所以 )( 1412844n对上式逐项积分得=dx5.041 dxxn)( 41285.0 5.0141395 n. 141395 ).()5.0().().0(1. n上面级数为交错级数，所以误差 ，经试算14.nnr， ， .0625.).(51 02).(91 09.)5.(31所以取前三项计算，即27.dx5.041 0
34、49.370.265.-0.54.2.2 欧拉公式设有复数项级数为（7-4-1 ）,)()()(21 nivuivui其中 为实常数或实函数.如果实部所成的级数nvu,32（7-4-2 ） n21收敛于和 ，并且虚部所成的级数（7-4-3 ） nvv21收敛于和 ，就说级数（1）收敛且其和为 .ivu如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数 2221 nvuvu收敛，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛，由于 ),1(,22 nnn那么级数（7-4-2） ， （7-4-3 ）绝对收敛，从而级数（7-4-1）收敛.考察复数项级数（7-4-4 ）nzz!1!21 )(iyxz可
35、以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在 轴上 它表示指数函)(xz数 ，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作 ，于是 定义为xe e（7-4-5）ze nzz!1!21)(z当 时， 为纯虚数 ， （7-4-5）式成为0xiy niy iyie )(!)(!3)(!254111yi)!()!42( 3 yi yisnco把 换写为 ，上式变为yx（7-4-6 ）xieixsnco这就是欧拉公式.28应用公式（7-4-6） ，复数 可以表示为指数形式：z（7-4-7 ）,)sin(coie其中 是 的模， 是 的辐角zzarg在（7-4-6）式中把 换成 ，又有xxi
36、eixsnco与（7-4-6）相加、相减，得（7-4-8）iexixiii2sinco这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.最后，根据定义式（7-4-5） ，并利用幂级数的乘法，我们不难验证 .2121zze特殊地，取 为实数 ， 为纯虚数 ，则有1zx2ziy).sin(coyeexixix这就是说，复变量指数函数 在 处的值是模为 、辐角为 的复数.ziyx习题 7-41.将下列函数展开成 的幂级数，并求展开式成立的区间：x（1） ; （2） ;xay)1,0(2)1(xy（3） ; （4） ;3sinln（5） ; （6
37、） .21xy )1l(xy2.将函数 展开成 的幂级数.fln)()1(x3.将函数 展开成 的幂级数.x34.利用函数的幂级数展开式求 的近似值（误差不超过 0.0001）l5.利用欧拉公式将函数 展开成 的幂级数.xecos29第 5 节 傅里叶级数5.1 三角级数 三角函数系的正交性正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数,)sin(wtAy就是一个以 为周期的正弦函数，其中 表示动点的位置， 表示时间， 为振幅，2 tA为角频率， 为初相.在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为 的矩形波,就是
38、一个非正弦周期函数的例子.T为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为 的周期函数用一系列以 为周期的正弦函数T组成的级数来表示，记为)sin(ntA（7-5-1 ）)sin(10ntAtf 其中 都是常数.),32,0n将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项 称为是 的直流分量； 称为一次谐波；而0A)(tf )sin(11tA,22 ),i(33t依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.为了以后讨论方便起见，我们将正
39、弦函数 按三角公式变形，得)sin(nt= + ，)sin(ntAAcosi tAsic30并且令 ， ， ， ，则（1）式右端的级数就可02AannsinAbcosl以改写为（7-5-2 ）10 )sic(nnltlta形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中 都是常数.),321(,0nba令 （7-5-2）式成为,xlt（7-5-3 ）,)sinco(210nxba这就把以 为周期的三角级数转换为以 为周期的三角级数.l22下面讨论以 为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性 .三角函数系 （7-5-4） ,sin,co,sin,co,sic,1 xxx在区间 上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间 上的积分等于零，即, 0cosnxd),21( i csxk),(nk 0ind21nkcosxk),(k三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间 上的积分不等于零 即 21dx ncos),21(x2i5.2 函数展开成傅里叶级数
