2015 年第 7 届全国大学生数学竞赛（非数学类）预赛试卷一、填空题（每小题 6 分，共 5 小题，满分 30 分）（1）极限 .222sinisinlm1n（2）设函数 由方程 所决定，其中 具有连续偏导,zxy,0zFxy ,Fuv数，且 。则 .0uvF（3）曲面 在点 的切平面与曲面所围区域的体积是 .21zxy,3M（4）函数 在 的傅立叶级数在 收敛的值是 .3,50.f, 0x（5）设区间 上的函数 定义域为的 ，则 的初等函数表0,ux20xtuedux达式是 .二、 （12 分）设 是以三个正半轴为母线的半圆锥面，求其方程。M三、 （12 分）设 在 内二次可导，且存在常数 ，使得对于 ，有fx,ab,xab，则 在 内无穷次可导。fxfx,ab四、 （14 分）求幂级数 的收敛域，及其和函数。3021!nn五、 （16 分）设函数 在 上连续，且 。试证：fx,1100,fxdfxd（1） 使0,1x04（2） 使 1fx六、 （16 分）设 在 上有连续的二阶偏导数，且 。,y222xyffM若证明： 。0,0,0,xyfff21,4xyfd
