1、微积分习题一一、填空题（每题 3 分，总计 15 分） 。1、 1sin2)cos(lim)(li 2031 xxcxx，则 c .2、设 )(f在 0处连续，且)(li00为 常 数Afx，则 )(0xf .3、已知 ba23在 1处有极值-2，则 f的极大值为 .4、已知 )(,)(,ln1l ffx则且 .5、若向量 垂直于向量 3与向量 3,21b，且与向量,2c的数量积等于-6，则向量 x .二、单向选择填空题（每题 3 分，总计 15 分）1、 1、 设函数 0)()(10)( ffxf且上，在 ，下列关系正确的是（ ）.A. f B. )0(1(ffC. D. )2、 2、 下列
2、广义积分收敛的是（ ）.A. 12dxB. 102sindxC. 0ln D. a的 常 数 ）(33、 3、 已知 0,1)(, xxdyfey则= （ ）.A. 1 B. e C. 2 D. 04、曲线 )40(2cos0dtx的弧长为（ ）.A. 1 B. 2 C. 21D. 125、函数 1,cos)(xaxf处处连续，则 a( ).A. 2 B.-2 C. 1 D. 1三、计算题（每题 6 分，总计 48 分） 。1.设 ()fx连续，且 (0),()1.ff 求 20()lim.xxfud2.设函数 可导，求 2(tan)xyf的导数。3.已知 ()y是由方程 ye所确定的隐函数，
3、求 (0)y.4.已知 )sincoittax，求 2dx 在 t处的值.5. 求 2.(1)xde6. 求 lncos7.求通过直线 0,10xyzxyz和点 (,1)的平面方程. 8.已知 ()2,()()sin5ffdx求 0f四、应用题（15 分） 。1、设直线 :1axyL与抛物线 22:Lyx所围成的图形的面积为 ,S又设 2,与直线 1所围成的图形的面积为 ,S（1） （1） 试确定 的值及使 2S 达到最小，并求出最小值.（2） （2） 求由该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积.2.设有一半径为 4 米的半球形水池，里面充满了水 .问将池中的水全部抽出需作
4、多少功？五、证明题（共 7 分）1. 1. 证明不等式 1()ln(1)xex 在 0x 时成立.2. 设 ()fx在 ,ab上连续， ,ab内可导，且 ()1.fafb试证明存在 (,)，使得 )e答案：一、填空题（每题 3 分，总计 15 分） 。1、 c2ln2、 )(0xfA. 3、极大值为 23. 4、 1)()(exf . 5、 x,.二、单向选择填空题（每题 3 分，总计 15 分）1.B 2.C 3.D 4.A 5. B三、计算题（每题 6 分，总计 48 分） 。1.设 ()fx连续，且 (0),()1.ff 求 20()lim.xxfud1)(4)0(43lim)(4)li
5、2lili0 2002 xfxf xffffdudufx xxx2.设函数 ()f可导，求 2(tan)yfx的导数。fxxy sectt1ln13.已知 ()是由方程 ye所确定的隐函数，求 (0)y.0)()(22yeyxy4.已知 sin(coitta，求 2dx 在 t处的值.adxytatdxytcs1sinot)si 2322 5. 求 2.(1)xdecIxxln6. 求 cos12dcxxI )tal(ta7.求通过直线 0,10yzyz和点 (,1)的平面方程. 35zy8.已知 0()2,()()sin5,ffxxd求 (0).f0四、应用题（15 分）1.设有一半径为 4
6、 米的半球形水池，里面充满了水 .问将池中的水全部抽出需作多少功？ 02(2.67)16( 千 焦 ）gxdgW2、设直线 )10(:ayL与抛物线 22:Lyx所围成的图形的面积为 1,S又设 12,与直线 所围成的图形的面积为 ,S（3） （1） 试确定 的值及使 12S 达到最小，并求出最小值.aaadxdx0 322 12)()(6)2( 0,minS所 以（4） （2） 求由该最小值所对应的平面图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 122404 301)()( dxdxVx2.设有一半径为 4 米的半球形水池，里面充满了水 .问将池中的水全部抽出需作多少功？ 02(.67)16(
7、 千 焦 ）gxgW五、证明题（共 7 分）2. 1. 证明不等式 1()ln1)ex 在 0x 时成立.令 )(xf 0)()1ln(fxe则 不 等 式 成 立 0)()()0()()l( fxffxf2. 设 ()f在 ,ab上连续， (,)ab内可导，且 ()()1.fafb试证明存在 ,，使得 e微积分习题二一、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 极限)1()31(2lim22nn_.2. 曲线 3xy的凸(向上凸)区间是_.3. 3. 设 )(f在 ,内处处可导，则极限 hxffh)2()(lim0_.4. 4. 曲线 ,042zxy绕 y轴旋转而成的曲
8、面方程是_.5. 5. 微分 dfed)(tan_.二、单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）1. 设 cba,均为非零向量，则与 b向量不垂直的向量为（ ）.A. )( B.a C. ca)() D.ba2. 若函数 dcxxy23满足 032，则此函数必( ).A.有极值 B.无极值 C.不单调 D.不可导3. 下列广义积分发散的是( ).A.10xdB. dxe0C.12xdD.21xd4. 星形线)0(,sinco3aty的全长是( )A. a8 B.4 C.5 D. a65. 一物体按规律 2tx作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，比例常数为 k，则此物
9、体从 移至 x时克服媒质阻力所作的功为( ). A.2B.3akC. 32ka D. 2ka三、计算题（本大题共 7 小题，每小题 7 分，共 49 分）1. 求极限 02sincoarilmxxxdtt.2. 求由参数方程 ,artn)1l(2y所确定的函数的二阶导数 2dxy3. 设函数 )(x由方程 yxt02sec)t(2所确定，求 2.4. 计算积分 darctn5. 计算积分 x423.6. 计算定积分 d0|cosin|7. 直线过点 )1,(且与直线 122:zyxL相交，又平行于平面052zyx，求此直线方程.四、应用题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分）1.
10、 1. 在一个半径为 R的圆内内接一个矩形，当矩形的长和宽为多少时，矩形的面积最大？2. 求由曲线 32)4(xy与 y轴所围成的平面图形的面积，及此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.五、证明题（本大题共 2 小题，第 1 小题 4 分，第 2 小题 3 分）1. 当 ex时，证明不等式 xexedtdt)ln(l.2. 设 )(g在 ,ba上连续， )(f在 ,ba上可积，且 0)(xf，则在 ,ba上至少存在一点 ，使得 fgx)(.答案：一 1. 212. ),(313. )(xf3 4. 42zxy5. dxfetan二 1. A 2. B 3. C 4. D 5.三 1.解: 原式
11、120xxcosinlm2.解: zttdty 22)()(ttxtzx4123.解: 方程两边同时微分得:)(sec)(sec dyxdyd 22整理得: x(tan即 )(sin)cos)(sec yxyydxy2221)(inx224.解: 原式xdxdxarctnarctn2yyyy 221tt2cxxc artnarnarnarctn25.解: 原式)4(42141 222 dxxdcydyy )(138cxx2123441)()(6.解: 原式 = 2440 xddosinsico ）12440()c(iinx7.解: 过点 ),(1与平面 052zy平行的平面方程为12)(x 记
12、为 11与 L的交点为方程组 02)(zyx的解解得交点为 ),(1故所求的直线方程为： 012zy四 1.解: 设矩形的长和宽分别为 x,则 yx,满足 224Ry, 矩形面积 24xRxyS0422xds解得 x(负值舍去)当 Rx2时 0dxsR2时 0dxs故在 时, S取得极值考虑实际意义 0,在区间端点处 0S故在 Rx2时, 取得极值即为最大值2.解: 曲线与 y轴的交点为: ),(8和 ),0dS)(83245128435y60xV五 1.证明: 令)(ln)(eF则)(l)(xx012故 )(F单调减少, 即 tt1ln所以 xexe dtdt)l(ln2.证明: 令 bad
13、xfgu)(取 NM,分别为 在 ,b上的最大值和最小值则Mdxfudxfbaba )()(故由连续函数介值定理知: ,使得 g)(即: baba dxfdxf)(微积分习题三浙江大学 2004 级微积分（上）期中测验试题解答一、填空（每小题 4 分，共 32 分）1 判断下列函数的间断点的类型： 是 的 第一类（可去） 间断点；0xxy1sin是0x的 第一类（跳跃） 间断点； 是 的 第二类 间断点。ysin si2若 ，则 。61si1lim0xbax 1,ba3若 ，则 。eax12li 3/4设当 时， 是比 高阶的无穷小，则0)1(2bxx 2。1,/1ba5设 ，则其 n 阶导数
14、 在点 处取到极小值。xef)( )()(nxefn)1(n6设点 是曲线 的拐点，则参数 。)3,1(23bxay 2/9,2/3ba7函数 的图形有铅垂渐近线 和斜渐近线 。2xy 1xxy8已知 ，且 ，则 。ef)(0)1(ff2ln)( 0,cxctdtdxt二、计算与证明（共 68 分）1 （6 分）解： )1ln()(lim2si0xexx 613coslimsnli)l()1li 2030sisin0 xxxxx2 （6 分）解 1： 42sin1tanseclim42costanlim4tanl2talim2tan4 24)(tlim eeex xxxxxxx xx解 2 ：
15、 4tan12tan4tan1242tan4 )(t1lim)(ta1li)(tli exxx xxxxxx3 设 ，试确定 a，b，使 在 处可导，并求 。0,)21ln()(xbeaxf )(xf0)(xf（8 分）解： 在 处可导因而连续，)(f baff)(1)( ,1limli0,2)1ln(im0 0exefxf xxxx ，且 2)(f 31,bab则 0,2)(.,3xexfa4 求由方程 所确定的函数 的微分 以及在 处)ln()(2yyx )(xydy)2,1(的切线方程。 （8 分）解： 方程两边求微分： dxd)ln()(或 .)ln(23xydy2切线斜率 ，3)1l
16、(1xk切线方程为： 即 2y012yx5 设 ，求 以及在 处的曲率半径。 （8 分）tyxarcn1l2,dxt解： 2,1.1,1 132222 txtxyyttxyttdx曲率 ，)1(2/312/31 txtyk则 曲率半径 1ttkR6 求 的取值范围，使得方程 有实根。 （8 分）k 0kxe解：设 0)(,)().()( xxx efefkef 故 有唯一极小值点 ，极小值为 。而ln0x kfln1l)(limxf当 时，方程有唯一实根，当 时，方程有两个实根，于是，0n0)(lf。)l1(k7 设 ，试证 存在，并求此极限。 （6 分）31316,nnxx),21(nxli
17、m证： ，设 成立，2nx则 单调递增。,1331nnnxx又 设 成立，,61则 有上界。于是 收敛。2331nnxnxnx设 ， 则 ， 。clim2,0)32)(ccc 2limnx8 设 在 上可导，且 ，试证至少存在一点 ，使)(xf1,01)(,)0(eff )1,0(。 （6 分）2解： 设 在 上连续，可导，且)(,)(2xFfexF1,e )(0)(由罗尔定理，至少存在一点 ，使 ，即 。,(0F0)(2f9 求 （6 分）dxe12解： ceededxexe xxxxx 22222 1)arcsin(1)(1)(10 求 （6 分） dxxarctn2解： dxxxd 232332 1arctn1rtat cxxx)ln(61arctn322
