1、第一章 线性赋范空间 本章是为了介绍泛函分析中的一些基本概念并提供全书的基础知识 正如前言中所提到的，泛函分析的基础建立在集合的两种结构之上，一种是代数结构即线性结构，另一种是拓扑（本书中体现为度量）结构本章将首先介绍线性空间、度量空间、赋范空间、内积空间以及拓扑空间的公理系统，讨论它们之间的相互关系；然后给出某些经典的赋范空间的例子；在此基础上着重叙述度量空间的两个重要概念完备性和紧性以及它们的某些应用 第 1 讲 线性空间 教学目的：掌握线性空间的定义和基本结构性质。 讲解要点： 1 了解线性空间的公理体系，认识线性空间的广泛性。 2 掌握线性无关与基底的概念，弄清这 一概念与线性代数中有
2、限维空间相应概念的联系与区别。 3 了解凸包与张成的子空间的概念与属性。 我们以 代表标量域，即实数域 R 或复数域 C 定义 1 设 X 是某个集合，其中规定了两种运算（ “加法”与“数乘” ） ，使得 （） X 关于加法构成交换群即 Xyx , ，存在 Xu ，称 u 为 x 与 y 之和：yxu += 满足 （ 1） xyyx +=+ （ 2） )()( zyxzyx +=+ （ 3） 存在 X0 使得任意的 Xx ， xx =+0 （ 4） 对于每个 Xx ，存在 Xx 使得 0=+ xx 记 xx = ，称 x是 x的负元 （） 数乘运算可行 即 Xx ， ， 存在 Xv ， 称 v
3、 为 与 x的积： xv = 满足 , ， Xyx , ， （ 1） xx=1 ， （ 2） xx )()( = ， （ 3） yxyx +=+ )( ， xxx +=+ )( 则 X 称为线性空间或向量空间，其中的元称为向量 当 R= 时，称 X 是实线性空间 当 C= 时，称 X 为复线性空间 线性空间的子集合 E ，若对于同样的标量域构成线性空间，则称 E 是 X 的线性子空间显然 E 是 X 的线性子空间当且仅当 Eyx , ， , 则 Eyx + 我们采用以下记号：当 Xx ， XEE 21, ， 时，记 :1111ExxxEx +=+ ， :1111ExaxaE = ， ,:221
4、12121ExExxxEE +=+ 称 E 是 E 的倍集，称21EE + 是1E ，2E 的（线性）和集 注意，应该把线性空间的子集之间的这些运算与集合论中的“并”与“交”运算区别开来 就运算性质来说， 一般地， 当 XE 时， EEE +2 ， 其中的包含关系可能是严格的 此外，对于 XE ， E 有明确的意义；若 E ，则 EE 等等 线性空间 X 中的元素nxx ,1null 称为是线性无关的，若 naa ,1null ，当 011=+nnxaxa null 时 01=naa null X 的子集合 E 称为是线性无关集，若 E 中任意有限多个元素都线性无关 不是线性无关的集合称为是线
5、性相关的 若 E 线性无关并且 XE =span ， 则称 E 是 X 的基底 Hamel 基此时若 E 仅由有限个元素nxx ,1null 组成，则称 X 是 n 维空间，记为nX =dim 若 E 由无穷多个元素构成，称 X 为无穷维的，记为 =Xdim 当 0=X 时，记 0dim =X 例 1 n维空间n X 中的每个元是一个 n数组 ),(1 nxxx null= ， ix ， ni 1 ，定义 ),(),(),(1111 nnnnyxyxyyxx +=+ nullnullnull ， ),(),(11 nnaxaxxxa nullnull = ， )( a 这些 n数组构成线性空间
6、，其维数为 n即 nX =dim 例 2 无穷序列空间 X 中的每个元都是一个无穷序列 ),(21nullxxx = ， nx ，定义 ),(),(),(22112121nullnullnull yxyxyyxx +=+ ， ),(),(2121nullnull axaxxxa = ， )( a ， 则无穷序列空间是线性空间，其维数是无穷的，即 =Xdim 例 3 函数空间 设 为任一点集， X 是在 上定义的函数全体，规定 )(tff = ， )(tgg = 时， )()()( tgtftgf +=+ ， )()( taftaf = ， )( a 容易验证 X 是线性空间 今后对于有限维空间
7、，无穷序列空间和函数空间将分别采用以上规定的线性运算许多在经典分析、代数、复变、实变、微分方程中遇到的空间都是线性空间。 注意：定义 1 与线性代数中关于线性空间的叙述是一致的，但是其内涵要比线性代数中广泛得多。因为在线性代数中限定所考虑的对象为 n数组。这一点很重要，例如在线性代数中有一个结论：任何 1+n 个向量必线性相关。对于现在的空间，这一结论却不必成立。 利用 Zorn 引理可以证明： 任一线性空间必存在极大线性无关集合， 这一集合即是 X 的Hamel 基换句话说，任一线性空间必存在 Hamel 基 凸集和子空间是线性空间中时常用到的子集 X 的子集 E 称为是凸的，若 Eyx ,
8、 ，10 r ， Eyrrx + )1( 对于任一集合 XE ，记 11co : , 0, 1, 1, 2,nnii i i iErxxEr rn=null ， 称 Eco 是 E 的凸壳其中形如=niiixr1的元素称为nxx ,1null 的凸组合记 =null,2,1,:span1naExxaEiiniii ， 称 Espan 是由 E 张成的子空间，其中形如=niiixa1的元素称为nxx ,1null 的线性组合 凸集、 Eco 和 Espan 都有直观的几何意义。读者应能很好地加以理解。 命题 1 （ 1） Eco 是 X 中的凸集，它是 X 中包含 E 的所有凸集的交集 （ 2）
9、 Espan 是 X 的线性子空间，它是 X 中包含 E 的所有线性子空间的交集 证明 这里仅证（ 1） （ 2）的证明更简单 1 Eco 是凸集实际上 Eyx, co ，不妨设 =niiixrx1，=mjjjysy1， 其中 Eyxji, ， 0ir ， 0js ， 11=niir ， 11=mjjs 对于任意的 r ， 10 r ， =+=+mjjjniiiysrxrryrrx11)1()1( ， 由于 1)1()1(11=+=+=rrsrrrmjjnii；上式是jiyx , 的凸组合，由 Eco 的定义知道Eyrrx co)1( + 故 Eco 是凸集 2对于任一凸集 A， A中任意 n
10、个元素的凸组合仍在 A中 用数学归纳法，当 2=n 时，只要 Axx 21, ， 121=+rr ， 0ir ，则 Axrxr +2211，这由定义直接得出 再设 kn= 时成立，我们证明 1+= kn 时也成立实际上若 Axxxkk+11,null ， 0ir ， 111=+=kiir ，注意 1111=+kikirr，由归纳假设 Arxrxkikii=+111， 从而 Axrxrxrkiiikkk=+=+11111)1( 3设 , E 是包含 E 的全体凸集，由EE ，显然EE coco 由 2，EE =co ，从而EE co 另一方面由 1， Eco 是包含 E 的凸集，从而对于某个 0
11、，0coEE = ，于是 EEEEE= )(co000 总之，EE= co 思考题 1、设 X 是线性空间， ,0,xXk k 证明 ,.x XXXXXkXX= = = 2、利用定义证明例 1，例 2，例 3 中的空间都是线性空间。 3、参考书末的附录，试证明 Hamel 基的存在性。 （提示：设 X 不是仅有 0 元构成，记 X 中全体线性无关子集全体为 F，以集合包含关系为 F 上的半序，则 F 成为半序集。验证其中的每个全序子集族之并是这个全序子集族的上界。根据 Zorn 引理， F 有极大元，此极大元就是 X 的 Hamel 基。读者在第一次阅读时可以隔过这一问题） 4、设 X 是线性
12、空间，证明 E X 是 X 的线性子空间当且仅当, .E EE + 5、设 X 是线性空间，证明 E X 是 X 的凸子集当且仅当 ,0,ts () .tsEtEsE+ =+ 第 2 讲 度量空间及其拓扑 教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点： 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相互关系。 定义 1 设 X 是某个集合， RXXd : 是一个二元映射，满足 （ 1） 0),( yxd ； 0),( =yxd 当且仅当 yx = （ 2） ),(),( xydyxd = （ 3） ,(),(),( zydyxdzxd + （三角不等式） 则称 d 是 X 上的度量（
13、距离）函数，称 X 为度量（距离）空间有时为了明确，记为 ),( dX 度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为 ),( dX 的子空间 例 1 对于 n维空间n 中的点 ),(1 nxxx null= 和 ),(1 nyyy null= ，定义 1221(, ) ,niiidxy x y=（ 1） 容易验证 d 是n 上的度量函数其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski 不等式 211221122112+=niiiniiiniiizyyxzx , 记此空间为 ),( dn . 称之为 n维欧几里德（ Euclid）空间 实际上在n 上还可以定义其他度量
14、，例如iiniyxyxd =11max),( ，此时 ),(1dn 仍是度量空间但须注意应把 ),(1dn 与 ),( dn 视为不同的度量空间此外注意今后当说到n 是度量空间时，总意味着它带有欧氏度量 . 例 2 空间 s 考虑上节例 2 中的线性空间 ，对于 )(),(nnyyxx = ，定义 =+=1121),(iiiiiiyxyxyxd （ 2） 现证明 d 是度量函数，记此空间为 s 证明 （ 1）显然 0),( yxd 若 0),( =yxd ，则必有 0=iiyx ，即 ),2,1( null= iyxii，故 yx = （ 2） ),(),( xydyxd = 显然 （ 3）考
15、虑函数tttf+=1)( ， 0t 由于 )(tf 的递增性，对于任意实数 a ， b ，由baba + 得到 bbaababababa+1111， 所以 =+=1121),(iiiiiizxzxzxd =+=1121iiiiiiiiiizyyxzyyx=+11121iiiiiiiiiizyzyyxyx),(),( zydyxd += 例 3 空间 , baC , baC 是区间 , ba 上的连续函数全体，对于 , baCyx ，定义 )()(max),( tytxyxdbta= （ 3） 则 d 是 , baC 上的度量函数容易验证 1 0),( yxd 若 0),( =yxd 则 , b
16、at ， )()( tytx = ，故 yx = 2显然 ),(),( xydyxd = 3 )()(max),( tztxzxdbta=)()()()(max tztytytxbta+)()(max)()(max tztytytxbtabta+),(),( zydyxd += , baC 是度量空间 定义 2 设 ),( dX 是度量空间， XE （ 1）称 ,);,(supdiam EyxyxdE = 是 E 的直径称 E 是有界集，若 ， 0)()(,lim = txtxtnn 记 = )()(,)( txtxtEnn， 则 d)()(1)()(d)()(1)()(),()()(+=nn
17、EnnEnnntxtxtxtxtxtxtxtxxxd )(1)( +nE 由于 ，先取 足够小使第二项小于2，再取 n足够大使第一项小于2，则知 0),( xxdn 反之，对于每个 0 ，由于 ),(d)()(1)()()(1)(xxdtxtxtxtxEnEnnnn+， 所以当 0),( xxdn时， 0)(lim =nnE ，这说明nx 依测度收敛于 x 思考题 1、 空间 s中依度量 d 收敛等价于依坐标收敛 2、 证明当 d 是 X 上的度量时， min ,1d 与1dd+也是。 3、 对于例4中定义的离散度量空间， 若 ,x X 01,1r， 写出 (, ) ?Ox = (,) ?Ox
18、r= 一个线性空间上未必定义有度量反过来一个度量空间也未必是线性的同时是线性又是度量的空间称为是线性度量空间，假若加法和数乘关于此度量是连续的即当在 X 中，xxn ， yyn ，在标量域 中 n时 yxyxnn+ ， xxnn 定义 3 设 ),( dX 是度量空间 （ 1）若 Xx 0， 0r ，称 rxxdXxrxO xr ，使得 BrxO ),(0 （ 3）包含 x的任一开集称为 x的邻域 （ 4）集合 XE 称为闭集，若 EX 为开集 引理 球 )0(),(0rrxO 是开集 证明 对于任意的 ),(0rxOy ，取 ),(0xydrr = ， 则 0r ，此时 ),( ryOz ，
19、 rxydrxydyzdxzd =+r 使得 ErxO ),(0，称0x 是 E 的内点 E 的内点全体称为 E 的内部，记为 E （ 2）若存在 0r 使得 =ErxO ),(0，称0x 是 E 的外点， E的外点全体记为eE （ 3）若 0 ， ExO ),(0 ，称是 E 的接触点 E的接触点全体称为 E 的闭包，记为 E （ 4）若 0 ， )(),(00xExO ，称0x 是 E 的聚点 E 的聚点全体记为 E 下面命题容易由定义直接验证，这里将具体的验证留给读者 命题 4 （ 1） XEEe= ， =eEE ， EEE = （ 2） Ex 0当且仅当存在 Exn ，0xxn （ 3
20、） Ex 0当且仅当存在 Exn ，0xxn 使得0xxn 定理 4 设 X 是度量空间， XE （ 1） E 为开集当且仅当 = EE ， E 是包含在 E 中的最大开集 （ 2） E 为闭集当且仅当 EE = ， E 是包含 E 的最小闭集 （ 3） E 为闭集当且仅当任何 Exn ，0xxn ，则 Ex 0 证明 1若 E 是开集， Ex 0，存在 0r ，使得 ErxO ),(0从而 Ex0，故 EE 显然 EE ，所以 = EE 反之若 = EE ，只须证明 E 为开集 Ex0，0x 为 E 的内点，故存在 0r ，ErxO ),(0由引理， ),(0rxO 为开集，故其中每一点 )
21、,(0rxOz 是 ),(0rxO 的内点，从而为E 的内点，即 ErxO ),(0， E 为开集 若 G 为开集， EG ，显然 EG ，由以上所证 = EGG 2对于任一集合 XE ，由定义可以得出， E 的外点等于 E 的余集的内点，即EXEX )( = 若 E 闭，则 EX 开，由 1知道 EXEXEX )( = ，从而 EE = 反之若 EE = ，则 = )( EXEXEX 是开集，从而 E 是闭集 3定理中的（ 3）由（ 2）和命题 4（ 3）得出 可以直接验证，闭球 ),(0rxS 是闭集 定义 5 设 X 为线性空间，若 RXp : 是一个映射，使得 Xyx , ， （ 1）
22、 0)( xp ， （ 2） )(|)( xpxp = ， （ 3） )()()( ypxpyxp + 则称 p 是 X 上的半范数若还有 （ 4） 0)( =xp ，则 0=x 称 p 是 X 上的范数此时记 xxp =)( ，称 |)|,( X 是线性赋范空间在不至于混淆时记|)|,( X 为 X 定理 5 （ 1）线性赋范空间是度量空间，并且 |),( yxyxd = 是此空间上的度量函数 （ 2）范数关于变元 x是连续函数，即若 xxn ，则 | xxn （ 3）若 Xyxyxnn, ， ,n，并且 xxn ， yyn ， n，则 yxyxnn+ ， xxnn 证 明 1（ 1）由直接
23、验证得出 2在定义（ 2）中令 1= 得出 | xx = 再由定义中（ 3）的不等式得出 | | | | | |nnx xxx+， 或者 | | | | | |nnx xxx， 同样地 | | | | | | | |nnnx xxxxx =， 从而 | | | | | |nnx xxx， （ 7） 若 xxn 即 0| xxn，故有 | xxn 3若 xxn ， yyn ，则 | ( ) ( ) | | | | | 0nn n nxy xy xx yy+， 即 yxyxnn+ 为证后面的式子成立，注意到收敛数列n 是有界的，不妨设 Mn| ，则 | | | | | |nn nn n nx xx
24、xxx + | xxxnnn + | xxxMnn + ， 当 n 时后面两项都趋于 0，故知结论成立 设 |)|,( X 是线性赋范空间，以 |),( yxyxd = 定义的 X 上的度量称为是由范数 | 诱导的度量今后当说到一个赋范空间的度量时，总是指由它的范数诱导的度量容易知道，线性赋范空间是线性度量空间此时 xxn 当且仅当 0| xxn 称这种收敛是依范数收敛此外，集合 XE 有界，当且仅当 p ， 111=+qp ，若 ()pfL ， ()qgL ，我们证明 ()( )qqppptgtftgtf11d|)(|d|)(|d|)()(| （ 1） 成立。称此式为 Hlder 不等式，称
25、 p ， q为一对共轭数 我们从 Young 不等式开始，设 0, ba ，则 qbpayyxxBAabqpbqap+=+=+0101dd （ 2） 现在设 ( ) 0d|)(|1=ppptff ， ()0d|)(|1=qqqtgg ， （在pf | 与qg | 至少一个为 0 的情况下， Hlder 不等式的成立是显然的） 作函数 pftfta|)()( = ，qgtgtb|)()( = ， 利用 Young 不等式得到 qtbptatbtaqp|)(|)(|)()(| + 从而 + d|)(|1d|)(|1d|)()(|qptbqtaptbta += d|)(|1d|)(|1qqqpppg
26、tgqftfp111=+=qp 换回到函数 f ， g ，则知（ 1）成立 3设 1p ， ,()pfg L ，则 Minkowski 不等式成立 pppgfgf | + . （ 3） 实际上，当 1=p 时， +=+d|)()(|1tgtfgf + d|)(|d|)(| tgtf11| gf += 现设 1p 当 ,()pfg L 时， ()pfgL+ ，此时 |()pqqfg L+ 由 Hlder不等式 qqppqpgffgff |d| + ， 0 aba xy1=pxy图 qqppqpgfggfg |d| + ， 所以 +=+ d|d|1ppgfgfgf + d|d|11 ppgfggf
27、f += d|d|qpqpgfggffqqppqqppgfggff | + ( )qpppgfgf1d|)|(|+= 由此式得出 ()ppqppgfgfgf |d|11+=+ 4当 1p 时，以pf | 为范数， ()pL 成为线性赋范空间 实际上， 0| pf 若 0| =pf ，则 0)( =tf ， ea ，将 ea 相等的函数视为同一元，即 0=f 显然ppff | = 成立。再由 3三角不等式成立。所以pf | 是 ()pL 上的范数 5当 2=p 时，定义 =d)()(),( tgtfgf ，2, Lgf 则 ),( 是2()L 上的内积，此时2()L 成为内积空间 值得注意的是
28、Minkowski 不等式中等号成立的条件不妨设 f ， g 均不为 0 元，由于Young 不等式中等号成立当且仅当 )(ab = ，故 Hlder 不等式中等号成立当且仅当qptfktg |)(|)(| = ， ea ，其中 0k 为常数在证明 Minkowski 不等式时用到函数 | f 与qpgf | + 以及 | g 与qpgf | + ，故等号成立当且仅当qpqpfkgf |1=+ ，qpqpgkgf |2=+ ，ea 此时必有 )()( tcgtf = ， ea 其中 c 为非负常数 例 2 空间 ()L 仍设 ),( 为测度空间，记 ()L 是在 上与一个有界函数几乎处处相等的
29、可测函数全体，称此种函数为本性有界可测函数若 , ba= ， 为 上的 Lebesque 测度，则记, baLL= 1 ()L 是线性空间例如，若 f 在1 E 上有界， g 在2 E 上有界，0)()(21= EE 则 f 与 gf + 分别在1 E 与 )(21EE 上有界 0)(21=EE ，故,()ff g L + ， ()L 是线性空间 2对于任意的Lf ，定义 |)(|supinf|0)(tffEtEE= （ 4） | f 称为 f 的本性最大模或本性上确界有时记 |)(|supess| tfft = 我们证明，将 上 ea 相等的函数视为同一元，则| 是 ()L 上的范数 实际上
30、对于每个 ()fL ，存在 0E ， 0)(0=E 使得 |)(|sup|0tffEt = 换句话说，| f 可以在某个与 几乎相等的集合上达到为此，取 nE 使 0)( =nE ， nftfEt1|)(|sup0+ 记nnEE=10 ，则一方面 0)(0=E ，故由| f 的定义 |)(|sup0ftfEt 另一方面 nftftfnEtEt1|)(|sup|)(|sup0+ 0E 与 n 无关，故 |)(|sup0ftfEt 于是 |)(|sup|0tffEt = 现在验证| 是 ()L 上的范数 （ 1）显然 0| f 若 0| =f ，则 0E ， 0)(0=E 使得在0 E 上， 0|
31、)(| =tf ，即 0)( =tf ， ea 将 ea 为 0 的函数视为 0 元，则 0=f （ 2）显然= | ff （ 3） 设 ,()fg L ， 21,EE ， 0)()(21= EE 并且 f ， g 分别在1 E ，2 E上达到本性最大模，则 |)(|sup|)(|sup|21tgtfgfEtEt +=+ |)(|sup|)(|sup)()(2121tgtfEEtEEt + |)()(|sup)(21tgtfEEt+ + | gf 3将 ea 相等的函数视为同一元， ()L 依范数| f 成为线性赋范空间 4若1()fL ， ()gL ，容易验证有 |d1gffg （ 5） 例
32、 3 空间pl )1( p 考虑无穷序列空间中的元，pl )1( =CfCCfCf 例 4 空间 c 与0c 用 c 表示收敛的标量序列的全体，即 lim,);( 存在nnnnxxxxc= 定义 |sup|1nnxx= ， cxxn= )( ， 则 c 是线性赋范空间 0c 是收敛于 0 的标量序列全体，即 0lim,);(0=nnnnxxxxc ， 0c 上的范数与 c 中的范数相同，0c 也是线性赋范空间从而0c 是 c 的线性子空间另外 c 又可以看成l 的线性子空间 例 5 空间 , baV 与 ,0baV , baV 是 , ba 上的有界变差函数全体，对于每个 , baVf ，定义
33、 )(|)(| fVaffba+= （ 9） 其中 )( fVba为 f 在 , ba 上的全变差 =niiibaafbffV1|)()(|sup)(， 这里 代表 , ba 的任一分划 bbabaann=L 使得 |)()(| yxLyfxf ， yx, 记此种函数的全体为 )(C 容易验证 )(C 是线性空间若以Lipaf | 记满足上述不等式的 L的下确界，则 Lipafaff |)(| += 是 )(C 上的范数 现在，让我们再举出一些在某些学科中用到的例子 例 8 在 Fourier 分析中常遇到绝对收敛 Fourier 级数的问题考虑满足下述条件的Fourier 级数全体 A |;
34、int ， |)()(|max| tptpppnmbtanm=+=+=mniibtamniibtaitit11!max!max 10, .!imincmni=+故np 是 Cauchy 序列 我们知道 11max | ( ) | max 0, .!iimtnaib aibin intcpt e nii =+ =+ =但 , baPet 同时注意到， , baP 上的范数收敛相当于在 , ba 上的一致收敛，从而点点收敛于是极限函数是惟一的，np 不可能有其他极限，故 , baP 不完备 例 2 , baC 完备 设 nx 是 , baC 中的 Cauchy 序列 0 ，存在0n ，当0, nn
35、m 时， ，使得 ，存在0n ，使得当0,mn n 时 ppnmppnmtftfff ，令 |)()(|,)( = tftftEnmmn，则 d|)()(|)(pEnmmnptftfE ppnmtftf ，存在0n ，使得0nni 时，2|xsin另一方面， ns 为 Cauchy 序列，只要0n 足够大，当0, nnni 时， 2|nnssi此时 + | xsssxsiinnnn， 即 xsn ， X 是完备的 思考题 你能否建立一些关于向量级数收敛的比较判别法？试总结之。 为了叙述完备空间的另一个重要性质，让我们先来介绍稠密性和 Baire 纲的概念 定义 2 设 X 是度量空间， XE
36、（ 1）称 E在 X 中稠密，若 XE （ 2）称 E在 X 中无处稠密，若 =0)(E （ 3）称 E是第一纲的，若 E可以写成至多可数多个无处稠密集的并 X 中不是第一纲的集合称为是第二纲的 （ 4）称空间 X 具有 Baire 性质，若 X 中可数多个稠密开集之交仍在 X 中稠密 例如，有理数的全体 Q在整个实数域 R中是稠密的而 Cantor 的三分点集 E在 1,0 中是无处稠密的 下面两个命题可以将这些抽象的概念“直观化”一些 命题 1 设 X 是度量空间， XE ，则以下条件等价： （ 1） E在 X 中稠密 （ 2）对于 X 中任一非空开集 U ， UE （ 3）对于任何 Xx
37、 ，存在 Xxn ，使得 xxn 证明 （ 1） （ 2） 设 U 是 X 中的非空开集 由于 XEEE = ， 要么有 UE ，此时结论为真 要么 UE 此时由 E的性质 （第二讲命题 4（ 3） ） ， 存在 Exn ， xxn ，xxn 显然必有某个 Uxn ，所以也有 UE （ 2） （ 3） Xx ，取 ),(nnrxOU = ， 0nr ，由（ 2）中条件， EUxnn ，于是 xxn （ 3） （ 1）是明显的 命题 2 设 X 是度量空间， XE ，则以下条件等价： （ 1） E 在 X 中无处稠密 （ 2） E 在 X 中无处稠密 （ 3）对于 X 中任一非空开球 U ，存在非空开球 UV ，使得 =EV （ 4）cE)( 在 X 中稠密 证明 （ 1）与（ 2）的等价性直接由定义得到 （ 1） （ 3） 若 E 在 X 中无处稠密，即 =0)(E ，则对于任何开球 U ， EU 注
