2018-2019版高中数学 第三章 柯西不等式与排序不等式试题（打包4套）新人教A版选修4-5.zip

1一 二维形式的柯西不等式课后篇巩固探究1.若 a2+b2=2,则 a+b 的最大值为( )A.1 B. C.2 D.42解析 由柯西不等式可得( a2+b2)(12+12)≥( a+b)2,即( a+b)2≤4,所以 -2≤ a+b≤2(当且仅当 a=1,b=1或 a=-1,b=-1 时,等号成立),即 a+b 的最大值为 2.答案 C2.已知 =2,x,y0,则 x+y 的最小值是( )4𝑥+9𝑦A. B. C. D.5252 254 52解析 由 =2,4𝑥+9𝑦可得 x+y=[(𝑥)2+(𝑦)2][(2𝑥)2+(3𝑦)2]2≥ (2+3)2= .12(𝑥·2𝑥+𝑦·3𝑦)2=12 252当且仅当 ,即 x=5,y= 时等号成立 .𝑥·3𝑦=𝑦·2𝑥 152答案 A3.已知 3x+2y=1,则当 x2+y2取最小值时,实数 x,y 的值为( )A. B.{𝑥=313,𝑦=213 {𝑥=213,𝑦=3132C. D.{𝑥=16,𝑦=14 {𝑥=14,𝑦=16解析 因为 x2+y2= (x2+y2)(32+22)≥ (3x+2y)2= ,所以当 x2+y2有最小值 ,当且仅当 时,113 113 113 113 𝑥3=𝑦2等号成立,得{𝑥=313,𝑦=213.答案 A4.函数 y= +2 的最大值是( )𝑥-5 6-𝑥A. B. C.3 D.53 5解析 根据柯西不等式,知 y=1× +2× ,当𝑥-5 6-𝑥≤12+22×(𝑥-5)2+(6-𝑥)2=5且仅当 =2 ,即 x= 时,等号成立 .6-𝑥 𝑥-5265答案 B5.已知 m2+n2= ,则 m+2n 的最大值为 ( )14 2A. B. C. D.632 62 6解析 由柯西不等式可得( m2+n2)[( )2+22]≥( m+2n)2,即 ×6≥( m+2n)2,则 m+2n≤ ,故2 214 2 2 62m+2n 的最大值为 .262答案 B6. 导学号 26394051 若长方形 ABCD 是半径为 R 的圆的内接长方形,则长方形 ABCD 周长的最大值为( )A.2R B.2 R C.4R D.4 R2 23解析 如图,设圆内接长方形 ABCD 的长为 x,则宽为 ,于是 ABCD 的周长 l=2(x+ )4𝑅2-𝑥2 4𝑅2-𝑥2=2(1×x+1× ).4𝑅2-𝑥2由柯西不等式得 l≤2[ x2+( )2 (12+12 =2×2R× =4 R,当且仅当 x·1=4𝑅2-𝑥2]12 )12 2 2·1,即 x= R 时,等号成立 .4𝑅2-𝑥2 2此时 R,即四边形 ABCD 为正方形,故周长为最大的内接长方形4𝑅2-𝑥2=4𝑅2-(2𝑅)2=2是正方形,其周长为 4 R.2答案 D7.若 3x+4y=2,则 x2+y2的最小值为 . 解析 由柯西不等式( x2+y2)(32+42)≥(3 x+4y)2,得 25(x2+y2)≥4,所以 x2+y2≥ .425(当且仅当 𝑥3=𝑦4时,等号成立 )解方程组{3𝑥+4𝑦=2,𝑥3=𝑦4, 得 {𝑥=625,𝑦=825.因此,当 x= ,y= 时, x2+y2取得最小值,最小值为 .625 825 425答案4258.设 a,b,c,d,m,n 都是正实数, P= ,Q= ,则 P 与 Q 的大小关系是 .𝑎𝑏+𝑐𝑑𝑚𝑎+𝑛𝑐𝑏𝑚+𝑑𝑛4解析 P=𝑎𝑚×𝑏𝑚+𝑛𝑐×𝑑𝑛≤(𝑎𝑚)2+(𝑛𝑐)2×( 𝑏𝑚)2+(𝑑𝑛)2= =Q 当且仅当 时,等号成立 .𝑎𝑚+𝑛𝑐𝑏𝑚+𝑑𝑛 ( 𝑎𝑚·𝑑𝑛=𝑛𝑐· 𝑏𝑚 )答案 P≤ Q9.已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则( am+bn)(bm+an)的最小值为 . 解析 由柯西不等式( a2+b2)(c2+d2)≥( ac+bd)2,可得( am+bn)(bm+an)≥( )𝑎𝑚·𝑎𝑛+𝑏𝑚·𝑏𝑛2=mn(a+b)2=2,即( am+bn)(bm+an)的最小值为 2.答案 210.函数 y= 的最大值为 . 𝑥-4+25-5𝑥解析 ∵y= ,𝑥-4+25-5𝑥∴y= 1× 𝑥-4+5×5-𝑥≤ 当且仅当 ,即 x= 时等号成立 .(1+5)(𝑥-4+5-𝑥)=6( 5-𝑥=5·𝑥-4 256 )答案 611.已知 a,b∈R +,且 a+b=1,则 的最小值是 . 12𝑎+1𝑏解析 因为 a,b∈R +,且 a+b=1,所以 =(a+b)· ,由柯西不等式得( a+b)12𝑎+1𝑏 (12𝑎+1𝑏),当且仅当 ,且 a+b=1,即 a= -1,b=2-(12𝑎+1𝑏)≥(𝑎· 12𝑎+𝑏·1𝑏)2=(22+1)2=32+2 𝑎𝑏=𝑏2𝑎 2时, 取最小值 .212𝑎+1𝑏 32+2答案32+212.已知 a,b,c 为正数,且满足 acos2θ+b sin2θc ,求证 cos2θ+ sin2θ .𝑎 𝑏 𝑐5证明 由柯西不等式得 cos2θ+ sin2θ𝑎 𝑏≤ (𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃)2·𝑐𝑜𝑠2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃= ,(𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃)2+(𝑏𝑠𝑖𝑛𝜃)2=𝑎𝑐𝑜𝑠2𝜃+𝑏𝑠𝑖𝑛2𝜃𝑐故不等式成立 .13.设 a,b∈R +,且 a+b=2.求证 ≥2 .𝑎22-𝑎+ 𝑏22-𝑏证明 由柯西不等式,有[(2-a)+(2-b)](𝑎22-𝑎+ 𝑏22-𝑏)=[( )2+( )2]2-𝑎 2-𝑏 [(𝑎2-𝑎)2+( 𝑏2-𝑏)2]≥ (2-𝑎× 𝑎2-𝑎+2-𝑏× 𝑏2-𝑏)2=(a+b)2=4.则𝑎22-𝑎+ 𝑏22-𝑏≥ 4(2-𝑎)+(2-𝑏)=2 .(当且仅当 𝑏2-𝑎2-𝑏=𝑎2-𝑏2-𝑎时,等号成立 )故原不等式成立 .14.已知 x2+y2=2,且 |x|≠ |y|,求 的最小值 .1(𝑥+𝑦)2+ 1(𝑥-𝑦)2解 令 u=x+y,v=x-y,则 x= ,y= .𝑢+𝑣2 𝑢-𝑣2∵x 2+y2=2,∴ (u+v)2+(u-v)2=8,∴u 2+v2=4.由柯西不等式,得 (u2+v2)≥4,(1𝑢2+1𝑣2)6当且仅当 u2=v2=2,即 x=± ,y=0,或 x=0,y=± 时, 的最小值是 1.2 21(𝑥+𝑦)2+ 1(𝑥-𝑦)215. 导学号 26394053 求函数 y= 的最小值 .𝑥2-2𝑥+3+𝑥2-6𝑥+14解 y= ,(𝑥-1)2+2+(3-𝑥)2+5根据柯西不等式,有 y2=(x-1)2+2+(3-x)2+5+2 [(𝑥-1)2+2][(3-𝑥)2+5]≥( x-1)2+2+(3-x)2+5+2[(x-1)(3-x)+ ]=[(x-1)+(3-x)]2+( )2=11+2 .10 2+5 10当且仅当 (x-1)= (3-x),即 x= 时,等号成立 .5 232+52+5此时 ymin= +1.11+210=(10+1)2=101二 一般形式的柯西不等式课后篇巩固探究A组1.已知 a,b,c均大于 0,A= ,B= ,则 A,B的大小关系是( )𝑎2+𝑏2+𝑐23 𝑎+𝑏+𝑐3A.AB B.A≥ BC.A0,所以 .𝑎2+𝑏2+𝑐23 ≥𝑎+𝑏+𝑐3答案 B2.若 x2+y2+z2=1,则 x+y+ z 的最大值等于( )2A.2 B.42C. D.82解析 由柯西不等式,可得[1 2+12+( )2](x2+y2+z2)≥( x+y+ z)2,即( x+y+ z)2≤4,因此 x+y+ z≤22 2 2 2当且仅当 x=y= ,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立 ,即 x+y+ z的最大值等于 2.( 𝑧2 12 12 22 ) 2答案 A3.已知 +…+ =1, +…+ =1,则 a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( )𝑎21+𝑎22 𝑎2𝑛 𝑥21+𝑥22 𝑥2𝑛A.1 B.2C.3 D.4解析 ∵ (a1x1+a2x2+…+anxn)2≤( +…+ )×( +…+ )=1×1=1,∴a 1x1+a2x2+…+anxn的最𝑎21+𝑎22 𝑎2𝑛 𝑥21+𝑥22 𝑥2𝑛大值是 1.答案 A4.设 a,b,c均为正数且 a+b+c=9,则 的最小值为( )4𝑎+9𝑏+16𝑐A.81 B.49C.9 D.7解析 由柯西不等式,可得(a+b+c)· ·81=9,当且仅当4𝑎+9𝑏+16𝑐=19 (4𝑎+9𝑏+16𝑐)≥19(𝑎·2𝑎+𝑏·3𝑏+𝑐·4𝑐)2=19,即 a=2,b=3,c=4时,等号成立,故所求最小值为 9.𝑎2=𝑏3=𝑐4答案 C5.已知 x,y是实数,则 x2+y2+(1-x-y)2的最小值是 ( )A. B. C.6 D.316 13解析 由柯西不等式,得(12+12+12)[x2+y2+(1-x-y)2]3≥[ x+y+(1-x-y)]2=1,即 x2+y2+(1-x-y)2≥ ,13当且仅当 x=y=1-x-y,即 x=y= 时, x2+y2+(1-x-y)2取得最小值 .13 13答案 B6.已知 a,b,c0,且 a+b+c=1,则 的最大值为 . 4𝑎+1+4𝑏+1+4𝑐+1解析 由柯西不等式,得( )24𝑎+1+4𝑏+1+4𝑐+1=(1× +1× +1× )24𝑎+1 4𝑏+1 4𝑐+1≤(1 2+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21.当且仅当 a=b=c= 时,取等号 .13故 的最大值为 .4𝑎+1+4𝑏+1+4𝑐+1 21答案 217.设 a,b,c是正实数,且 a+b+c=9,则 的最小值为 . 2𝑎+2𝑏+2𝑐解析 因为( a+b+c)(2𝑎+2𝑏+2𝑐)=[( )2+( )2+( )2]𝑎 𝑏 𝑐 [(2𝑎)2+(2𝑏)2+=18,(2𝑐)2]≥(𝑎·2𝑎+𝑏·2𝑏+𝑐·2𝑐)2所以 ≥2 当且仅当 ,即 a=b=c=3时,等号成立 ,故 的最小值为2𝑎+2𝑏+2𝑐 ( 𝑎2=𝑏2=𝑐2 ) 2𝑎+2𝑏+2𝑐2.4答案 28.设 a,b,c,x,y,z都是正数,且 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则 = . 𝑎+𝑏+𝑐𝑥+𝑦+𝑧解析 由柯西不等式知 25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥( ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当=k时,等号成立 .𝑎𝑥=𝑏𝑦=𝑐𝑧由 k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得 k= ,56所以 =k= .𝑎+𝑏+𝑐𝑥+𝑦+𝑧 56答案569.已知 a+b+c=1,且 a,b,c是正数,求证 ≥9 .2𝑎+𝑏+ 2𝑏+𝑐+ 2𝑐+𝑎证明 左边 =[2(a+b+c)] =[(a+b)+(b+c)+(c+a)](1𝑎+𝑏+ 1𝑏+𝑐+ 1𝑐+𝑎)≥(1 +1+1)2=9.当且仅当 a=b=c= 时,等号成立,故原不等式成立 .(1𝑎+𝑏+ 1𝑏+𝑐+ 1𝑐+𝑎) 1310.已知 x,y,z∈R,且 x-2y-3z=4,求 x2+y2+z2的最小值 .解 由柯西不等式,得[ x+(-2)y+(-3)z]2≤[1 2+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即( x-2y-3z)2≤14( x2+y2+z2),所以 16≤14( x2+y2+z2).因此 x2+y2+z2≥ ,当且仅当 x= ,即当 x= ,y=- ,z=- 时, x2+y2+z2的最小值为 .87 𝑦-2= 𝑧-3 27 47 67 87B组1.已知 x2+y2+z2=1,则 x+2y+2z的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4解析 由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(1 2+22+22)(x2+y2+z2)=9,5所以 -3≤ x+2y+2z≤3 .当且仅当 |x|= 时,等号成立 .|𝑦2|=|𝑧2|所以 x+2y+2z的最大值为 3.答案 C2. 导学号 26394054已知 a,b,c为正实数,且 a+2b+3c=9,则 的最大值3𝑎+2𝑏+𝑐等于( )A. B.39 13C.13 D.18解析 当且仅当3𝑎+2𝑏+𝑐=3· 𝑎+2𝑏+13· 3𝑐≤(3+1+13)(𝑎+2𝑏+3𝑐)=39( 时,等号成立 ,故最大值为 .𝑎3=2𝑏1=3𝑐13 ) 39答案 A3.设 a,b,c为正数,则( a+b+c) 的最小值是 . (4𝑎+9𝑏+36𝑐)解析 (a+b+c)(4𝑎+9𝑏+36𝑐)=[( )2+( )2+( )2]·𝑎 𝑏 𝑐 [(2𝑎)2+(3𝑏)2+(6𝑐)2]≥ =(2+3+6)2=121.(𝑎·2𝑎+𝑏·3𝑏+𝑐·6𝑐)2当且仅当 时,等号成立 .𝑎2=𝑏3=𝑐6答案 1214.设 x,y,z∈R,2 x+2y+z+8=0,则( x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 6解析 2x+2y+z+8=0⇒2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.考虑以下两组向量:u =(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v) 2≤ |u|2·|v|2,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]2≤(2 2+22+12)·[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2].所以( x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥=9,当且仅当 x=-1,y=-4,z=2时,等号成立,此时取得最小值 9.(-9)29答案 95. 导学号 26394055已知 x1,x2,x3,x4为实数,且 x1+x2+x3+x4=6, =12,𝑥21+𝑥22+𝑥23+𝑥24求证 0≤ xi≤3( i=1,2,3,4).证明 由柯西不等式,得(x2+x3+x4)2≤(1 +1+1)( ),𝑥22+𝑥23+𝑥24由题设条件,得x2+x3+x4=6-x1, =12- ,𝑥22+𝑥23+𝑥24 𝑥21代入上式,得(6 -x1)2≤3(12 - ),𝑥21∴ 36-12x1+ ≤36 -3 ,𝑥21 𝑥21∴ 4 -12x1≤0, ∴ 0≤ x1≤3,𝑥21同理可证 0≤ xi≤3( i=2,3,4).综上所述,0≤ xi≤3( i=1,2,3,4).6. 导学号 26394056设实数 a,b,c,d,e满足 a+b+c+d+e=8,且 a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定 e的最大值 .解 由已知,得 a+b+c+d=8-e,a2+b2+c2+d2=16-e2,所以(8 -e)2=(a+b+c+d)2≤( a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化简,得 5e2-16e≤0⇒0≤ e≤ ,故 emax= .165 1651三 排序不等式课后篇巩固探究A 组1.顺序和 S、反序和 S'、乱序和 S″ 的大小关系是( )A.S≤ S'≤ S″ B.S≥ S'≥ S″C.S≥ S″ ≥ S' D.S≤ S″ ≤ S'解析 由排序不等式可得反序和≤乱序和≤顺序和 .答案 C2.设 x,y,z 均为正数, P=x3+y3+z3,Q=x2y+y2z+z2x,则 P 与 Q 的大小关系是( )A.P≥ Q B.PQ C.P≤ Q D.P0,则 x2≥ y2≥ z2,则由排序不等式可得顺序和为 P,乱序和为 Q,则 P≥ Q.答案 A3.若 a0,∴a 1b1+a2b2a1b2+a2b1.且 a1b1+a2b2 a1b2+a2b1.12又 1=a1+a2≥2 ,∴a 1a2≤ .𝑎1𝑎214∵ 0 a1a2+b1b2,12∴a 1b1+a2b2最大 .答案 A5.已知 a,b,c∈R +,则 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)( )A.大于零 B.大于或等于零C.小于零 D.小于或等于零解析 设 a≥ b≥ c0,则 a3≥ b3≥ c3,根据排序原理,得 a3×a+b3×b+c3×c≥ a3b+b3c+c3a.因为 ab≥ ac≥ bc,a2≥ b2≥ c2,所以 a3b+b3c+c3a≥ a2bc+b2ca+c2ab.3所以 a4+b4+c4≥ a2bc+b2ca+c2ab,即 a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0 .答案 B6.设 a1,a2,a3,a4是 1,2,3,4 的一个排序,则 a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是 . 解析 a1+2a2+3a3+4a4的最大值为顺序和 12+22+32+42=30,最小值为反序和 1×4+2×3+3×2+4×1=20.答案 [20,30]7.如图所示,在矩形 OPAQ 中, a1≤ a2,b1≤ b2,若阴影部分的面积为 S1,空白部分的面积之和为 S2,则S1与 S2的大小关系是 . 解析 由题图可知, S1=a1b1+a2b2,而 S2=a1b2+a2b1,根据顺序和≥反序和,得 S1≥ S2.答案 S1≥ S28.若 a,b,c 为正数,求证 a3+b3+c3≥3 abc.证明 不妨设 a≥ b≥ c0,则 a2≥ b2≥ c20,由排序不等式,得 a3+b3≥ a2b+ab2,c3+b3≥ c2b+cb2,a3+c3≥ a2c+ac2,三式相加,得 2(a3+b3+c3)≥ a(b2+c2)+b(a2+c2)+c(a2+b2).因为 a2+b2≥2 ab,c2+b2≥2 cb,a2+c2≥2 ac,所以 2(a3+b3+c3)≥6 abc,即 a3+b3+c3≥3 abc(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .9.设 a,b 均为正数,求证 .(𝑎𝑏)2+(𝑏𝑎)2≥𝑎𝑏+𝑏𝑎证明 不妨设 a≥ b0,则 a2≥ b20, 0,1𝑏≥1𝑎由不等式性质,得 0.𝑎2𝑏≥𝑏2𝑎4则由排序不等式,可得 ,即 .𝑎2𝑏·1𝑏+𝑏2𝑎·1𝑎≥𝑎2𝑏·1𝑎+𝑏2𝑎·1𝑏 (𝑎𝑏)2+(𝑏𝑎)2≥𝑎𝑏+𝑏𝑎10.设 a,b,c 都是正数,求证 a+b+c≤ .𝑎4+𝑏4+𝑐4𝑎𝑏𝑐证明 由题意不妨设 a≥ b≥ c0.由不等式的性质,知 a2≥ b2≥ c2,ab≥ ac≥ bc.根据排序原理,得 a2bc+ab2c+abc2≤ a3c+b3a+c3b. ①又由不等式的性质,知 a3≥ b3≥ c3,且 a≥ b≥ c.再根据排序原理,得 a3c+b3a+c3b≤ a4+b4+c4. ②由 ①② 及不等式的传递性,得 a2bc+ab2c+abc2≤ a4+b4+c4.两边同除以 abc,得 a+b+c≤ (当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .𝑎4+𝑏4+𝑐4𝑎𝑏𝑐B 组1.设 a,b,c0,则式子 M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab 与 0 的大小关系是( )A.M≥0B.M≤0C.M 与 0 的大小关系与 a,b,c 的大小有关D.不能确定解析 不妨设 a≥ b≥ c0,则 a3≥ b3≥ c3,且 a4≥ b4≥ c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥ a·c4+b·a4+c·b4.又 a3≥ b3≥ c3,且 ab≥ ac≥ bc,∴a 4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥ a3bc+b3ac+c3ab.∴a 5+b5+c5≥ a3bc+b3ac+c3ab.∴M ≥0 .答案 A52.若 00 B.F≥0C.F≤0 D.Fsin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ ,而 F=sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α - (sin 2α +sin 2β +sin 2γ )12=sin α cos β +sin β cos γ +sin γ cos α -(sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ )0.答案 A3. 导学号 26394057 车间里有 5 台机床同时出了故障,从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 4 min、8 min、6 min、10 min、5 min,每台机床停产 1 min 损失 5 元,经合理安排损失最少为( )A.420 元 B.400 元C.450 元 D.570 元解析 设从第 1 台到第 5 台的修复时间依次为 t1,t2,t3,t4,t5,若按照从第 1 台到第 5 台的顺序修复,则修复第一台需要 t1分钟,则停产总时间为 5t1,修复第 2 台需要 t2分钟,则停产总时间为 4t2,…,修复第 5 台需要 t5分钟,则停产总时间为 t5,因此修复 5 台机床一共需要停产的时间为5t1+4t2+3t3+2t4+t5,要使损失最小,应使停产时间最少,亦即使 5t1+4t2+3t3+2t4+t5取最小值 .由排序不等式可知,当 t10,求证 1+x+x2+…+x2n≥(2 n+1)xn.证明 当 x≥1 时,因为 1≤ x≤ x2≤…≤ xn,所以由排序原理得 1·1+x·x+x2·x2+…+xn·xn≥1· xn+x·xn-1+…+ ·x+xn·1,𝑥𝑛-1即 1+x2+x4+…+ ≥( n+1)xn. ①𝑥2𝑛又 x,x2,…,xn,1 为序列 1,x,x2,…,xn的一个排列,所以 1·x+x·x2+…+xn-1xn+xn·1≥1· xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1,因此 x+x3+…+ +xn≥( n+1)xn, ②𝑥2𝑛-1①+② ,得 1+x+x2+…+ ≥(2 n+1)xn. ③𝑥2𝑛当 0x≥ x2≥…≥ xn,①② 仍成立,故 ③ 也成立 .综上,原不等式成立 .1第三讲 柯西不等式与排序不等式测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.下列不等式中一定成立的是( )A.(ax+by)2≥( a2+b2)(x2+y2)B.|ax+by|≥ 𝑎2+𝑏2·𝑥2+𝑦2C.(a2+b2)(x2+y2)≥( ay+bx)2D.(a2+b2)(x2+y2)≥( ab+xy)2解析 由柯西不等式可知,只有 C 项正确 .答案 C2.设 xy0,则 的最小值为( )(𝑥2+4𝑦2)(𝑦2+1𝑥2)A.-9 B.9 C.10 D.0解析 =9 .[𝑥2+(2𝑦)2][(1𝑥)2+𝑦2]≥(𝑥·1𝑥+2𝑦·𝑦)2 (当且仅当 𝑥𝑦=2𝑥𝑦时,等号成立 )2答案 B3.设 a1≤ a2≤…≤ an,b1≤ b2≤…≤ bn为两组实数, c1,c2,…,cn是 b1,b2,…,bn的任一排列,则和S=a1bn+a2bn-1+…+anb1,T=a1c1+a2c2+…+ancn,K=a1b1+a2b2+…+anbn的关系是( )A.S≤ T≤ K B.K≤ T≤ SC.T≤ K≤ S D.K≤ S≤ T解析 根据排序不等式知反序和≤乱序和≤顺序和,则 S≤ T≤ K.答案 A4.若 3x+2y+z= ,则 x2+y2+z2的最小值是( )7A. B. C. D.212 714 76解析 由柯西不等式可得(3 2+22+12)(x2+y2+z2)≥(3 x+2y+z)2,即 14(x2+y2+z2)≥( )2=7,于是7x2+y2+z2≥ ,当且仅当 =z,即 x= ,y= ,z= 时,等号成立,故 x2+y2+z2的最小值是 .12 𝑥3=𝑦2 3714 77 714 12答案 A5.用柯西不等式求函数 y= 的最大值为( )2𝑥-3+2𝑥+7-3𝑥A. B.3 C.4 D.522解析 由柯西不等式,得函数 y==4,2𝑥-3+2𝑥+7-3𝑥≤12+(2)2+12· (2𝑥-3)+𝑥+(7-3𝑥)当且仅当 时,等号成立,2𝑥-31 =𝑥2=7-3𝑥1故函数 y 的最大值为 4.故选 C.答案 C6.已知 =1(ab0),设 A=a2+b2,B=(x+y)2,则 A,B 间的大小关系为( )𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2A.AB C.A≤ B D.A≥ B3解析 A=a2+b2=1·(a2+b2)= (a2+b2)≥ =(x+y)2=B,即 A≥ B,当且仅当 时,(𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2) (𝑥𝑎·𝑎+𝑦𝑏·𝑏)2 𝑏𝑥𝑎=𝑎𝑦𝑏等号成立 .答案 D7.已知 a0,且 M=a3+(a+1)3+(a+2)3,N=a2(a+1)+(a+1)2(a+2)+a(a+2)2,则 M 与 N 的大小关系是( )A.M≥ N B.MN C.M≤ N D.MN.答案 B8.已知 x,y,z 是正实数,且 =1,则 x+ 的最小值是 ( )1𝑥+2𝑦+3𝑧 𝑦2+𝑧3A.5 B.6 C.8 D.9解析 由柯西不等式可得x+𝑦2+𝑧3=(𝑥+𝑦2+𝑧3)(1𝑥+2𝑦+3𝑧)≥ =9,(𝑥·1𝑥+𝑦2·2𝑦+𝑧3·3𝑧)2当且仅当 x=3,y=6,z=9 时,等号成立,故 x+ 的最小值是 9.𝑦2+𝑧3答案 D9.已知 a,b 是给定的正数,则 的最小值为( )4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝛼+ 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝛼A.2a2+b2 B.2ab C.(2a+b)2 D.4ab解析 =(sin2α+ cos2α )4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝛼+ 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝛼 (4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝛼+ 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝛼)4≥ =(2a+b)2,(𝑠𝑖𝑛𝛼2𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼)2当且仅当 sin α =cos α 时,等号成立 .𝑏𝑐𝑜𝑠𝛼 2𝑎𝑠𝑖𝑛𝛼故 的最小值为(2 a+b)2.4𝑎2𝑠𝑖𝑛2𝛼+ 𝑏2𝑐𝑜𝑠2𝛼答案 C10.已知正数 x,y,z 满足 x+2y+3z=1,则 的最小值为( )1𝑥+2𝑦+ 42𝑦+3𝑧+ 93𝑧+𝑥A.1 B.9 C.36 D.18解析 由柯西不等式可得( x+2y+2y+3z+3z+x)· ≥(1 +2+3)2,(1𝑥+2𝑦+ 42𝑦+3𝑧+ 93𝑧+𝑥)∵x+ 2y+3z=1,∴ 2 ≥36,(1𝑥+2𝑦+ 42𝑦+3𝑧+ 93𝑧+𝑥)∴ ≥18,1𝑥+2𝑦+ 42𝑦+3𝑧+ 93𝑧+𝑥∴ 当且仅当 x+2y= ,即 x= ,y=0,z= 时 , 的最小2𝑦+3𝑧2 =3𝑧+𝑥3 13 29 1𝑥+2𝑦+ 42𝑦+3𝑧+ 93𝑧+𝑥值为 18.答案 D11.在锐角三角形 ABC 中,设 p= ,q=acos C+bcos B+ccos A,则 p,q 的大小关系是( )𝑎+𝑏+𝑐2A.p≥ q B.p=qC.p≤ q D.无法确定解析 不妨设 A≥ B≥ C,则 a≥ b≥ c,cos A≤cos B≤cos C.则由排序不等式可得 q=acos C+bcos B+ccos A≥ acos B+bcos C+ccos A, ①5acos C+bcos B+ccos A≥ acos C+bcos A+ccos B, ②由 ①+② 得 2(acos C+bcos B+ccos A)≥ acos B+bcos A+bcos C+ccos B+ccos A+acos C,即 2(acos C+bcos B+ccos A)≥2 R(sin Acos B+cos Asin B)+2R(sin Bcos C+cos Bsin C)+2R(sin Ccos A+cos Csin A),整理,得 acos C+bcos B+ccos A≥ R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(C+A)]=R(sin A+sin B+sin C)= =p.2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐴+2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐵+2𝑅𝑠𝑖𝑛𝐶2 =𝑎+𝑏+𝑐2答案 C12. 导学号 26394060 设 P 为△ ABC 内一点, D,E,F 分别为 P 到 BC,CA,AB 所引垂线的垂足,如图 .若△ ABC 的周长为 l,面积为 S,则 的最小值为( )𝐵𝐶𝑃𝐷+𝐶𝐴𝑃𝐸+𝐴𝐵𝑃𝐹A. B. C. D.𝑙22𝑆 𝑙2𝑆 𝑙24𝑆 2𝑙2𝑆解析 设 AB=a1,AC=a2,BC=a3,PF=b1,PE=b2,PD=b3,则 a1b1+a2b2+a3b3=2S.∵ (a3b3+a2b2+a1b1)≥ =(a3+a2+a1)2=l2,∴(𝑎3𝑏3+𝑎2𝑏2+𝑎1𝑏1) (𝑎3𝑏3·𝑎3𝑏3+𝑎2𝑏2·𝑎2𝑏2+𝑎1𝑏1·𝑎1𝑏1)2,当且仅当 b1=b2=b3,即 PE=PF=PD 时,等号成立 .𝑎3𝑏3+𝑎2𝑏2+𝑎1𝑏1≥𝑙22𝑆答案 A二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.若 =2, =3,则 x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 . 𝑥21+𝑥22+𝑥23 𝑦21+𝑦22+𝑦236解析 由柯西不等式可得( )( )≥( x1y1+x2y2+x3y3)2,即( x1y1+x2y2+x3y3)2≤6,所𝑥21+𝑥22+𝑥23 𝑦21+𝑦22+𝑦23以 x1y1+x2y2+x3y3≤ ,故 x1y1+x2y2+x3y3的最大值为 .6 6答案 614.若 a,b,c0,则 a+b+c. 𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏+𝑎𝑏𝑐解析 不妨设 a≥ b≥ c0,则 ab≥ ac≥ bc0, 0,则由排序不等式可得1𝑐≥1𝑏≥1𝑎≥ ab· +ac· +bc· =a+b+c(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .𝑏𝑐𝑎+𝑎𝑐𝑏+𝑎𝑏𝑐 1𝑎 1𝑐 1𝑏答案 ≥15.设正实数 a1,a2,…,a100的任意一个排列为 b1,b2,…,b100,则 +…+ 的最小值为 .𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2𝑎100𝑏100解析 不妨设 00,所以 s≤ t.7答案 s≤ t三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知 a0,b0,a+b=1,求证 ≤2 .2𝑎+1+2𝑏+1 2证明 由柯西不等式可得( )2=( ·1+ ·1)2≤[( )2+( )2]2𝑎+1+2𝑏+1 2𝑎+1 2𝑏+1 2𝑎+1 2𝑏+1(12+12),因此( )2≤2(2 a+2b+2)=8,2𝑎+1+2𝑏+1故 ≤2 当且仅当 a=b= 时,等号成立 .2𝑎+1+2𝑏+1 2( 12 )18.(本小题满分 12 分)已知 a,b,c 都是非零实数,求证 ≥ a2+b2+c2.𝑎4𝑏2+𝑏4𝑐2+𝑐4𝑎2证明 由柯西不等式可得 (b2+c2+a2)(𝑎4𝑏2+𝑏4𝑐2+𝑐4𝑎2)= (b2+c2+a2)[(𝑎2𝑏)2+(𝑏2𝑐)2+(𝑐2𝑎)2]≥ =(a2+b2+c2)2,(𝑎2𝑏·𝑏+𝑏2𝑐·𝑐+𝑐2𝑎·𝑎)2又因为 a2+b2+c20,所以 ≥ a2+b2+c2(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .𝑎4𝑏2+𝑏4𝑐2+𝑐4𝑎219.(本小题满分 12 分)设 x2+4y2=1,求 u=2x+y 的最值以及取得最值时,实数 x,y 的值 .解 u=2x+y=2·x+ ·2y.12由柯西不等式可得 [x2+(2y)2][22+(12)2]≥ ,(2·𝑥+12·2𝑦)28即(2 x+y)2≤ ×1,174所以 u2≤ ,故 - ≤ u≤ ,当且仅当 4y= x,且 x2+4y2=1 时,等号成立,解得174 172 172 12x=± ,y=± .41717 1734所以 u 的最大值是 ,此时 x= ,y= ;172 41717 1734u 的最小值是 - ,此时 x=- ,y=- .172 41717 173420.(本小题满分 12 分)设 a,b,c∈(0, +∞ ),利用排序不等式证明 a2ab2bc2c≥ ab+cbc+aca+b.证明 不妨设 a≥ b≥ c0,则 lg a≥lg b≥lg c,由排序不等式可得 alg a+blg b+clg c≥ blg a+clg b+alg c,alg a+blg b+clg c≥ clg a+alg b+blg c,以上两式相加可得 2alg a+2blg b+2clg c≥( b+c)lg a+(a+c)lg b+(a+b)lg c,即 lg a2a+lg b2b+lg c2c≥lg ab+c+lg ba+c+lg ca+b,lg(a2a·b2b·c2c)≥lg( ab+c·ba+c·ca+b),故 a2ab2bc2c≥ ab+cbc+aca+b(当且仅当 a=b=c 时,等号成立) .21. 导学号 26394061(本小题满分 12 分)已知 a0,b0,c0,函数 f(x)=|x+a|+|x-b|+c 的最小值为 4.(1)求 a+b+c 的值;(2)求 a2+ b2+c2的最小值 .14 19解 (1)因为 f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥ |(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,当且仅当 -a≤ x≤ b 时,等号成立 .又 a0,b0,所以 |a+b|=a+b,所以 f(x)的最小值为 a+b+c.9又已知 f(x)的最小值为 4,所以 a+b+c=4.(2)由(1)知 a+b+c=4,由柯西不等式,得 (4+9+1)(14𝑎2+19𝑏2+𝑐2)≥ =(a+b+c)2=16,(𝑎2×2+𝑏3×3+𝑐×1)2即 a2+ b2+c2≥ .14 19 87当且仅当 ,即 a= ,b= ,c= 时等号成立 .故 a2+ b2+c2的最小值为 .12𝑎2=13𝑏3=𝑐1 87 187 27 14 19 8722. 导学号 26394062(本小题满分 12 分)如图,等腰直角三角形 AOB 的直角边长为 1,在此三角形中任取点 P,过 P 分别引三边的平行线,与各边围成以 P 为顶点的三个三角形(图中阴影部分),求这三个三角形的面积和的最小值,以及达到最小值时 P 的位置 .解 分别取 OA,OB 所在的直线为 x 轴、 y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系 .则 AB 的方程为 x+y=1,记点 P 坐标为 P(xP,yP),则以 P 为公共顶点的三个三角形的面积和 S= (1-xP-yP)2,12𝑥2𝑃+12𝑦2𝑃+12所以 2S= +(1-xP-yP)2.𝑥2𝑃+𝑦2𝑃10由柯西不等式,得[ +(1-xP-yP)2](12+12+12)≥( xP+yP+1-xP-yP)2,𝑥2𝑃+𝑦2𝑃即 6S≥1,所以 S≥ ,当且仅当 ,即 xP=yP= 时,等号成立 .16 𝑥𝑃1=𝑦𝑃1=1-𝑥𝑃-𝑦𝑃1 13故当 xP=yP= 时 ,面积和 S 最小 ,且最小值为 ,13 16此时点 P 坐标为 .(13,13)