1、2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程课后篇巩固探究A 组1.曲线 (t 为参数) 与坐标轴的交点是 ( )=-2+5,=1-2 A. B.(0,25),(12,0) (0,15),(12,0)C.(0,-4),(8,0) D. ,(8,0)(0,59)答案: B2.过点(1,1),倾斜角为 135的直线截圆 x2+y2=4 所得的弦长为( )A. B. C.2 D.225 425 2 325解析: 直线的参数方程为 (t 为参数),代入圆的方程得 t2+2=4,解得 t1=- ,t2= ,=1- 22,=1+22 2 2故所求弦长为|t 1-t2|=|- |=2 .2 2 2答案
2、: C3.直线 2x-y+1=0 的参数方程为( )A. (t 为参数) B. (t 为参数)=1+55,=3+255 =1+53,=3+53C. (t 为参数 ) D. (t 为参数)=2+,=3+2 =1+5,=3+5解析: 根据直线的普通方程可知斜率是 2,设直线的倾斜角为 ,则 tan =2,sin = ,cos = ,所以直线的参数方程是255 55(t 为参数 ).=1+55,=3+255答案: A4.已知 P1,P2 是直线 (t 为参数)上的两点,它们所对应的参数分别为 t1,t2,则线段 P1P2 的中点到点 P(1,-2)=1+12,=-2+32的距离是( )A. B.|1
3、|+|2|2 |1+2|2C. D.|1-2|2 |1|-|2|2解析: 由 t 的几何意义可知,P 1P2 的中点对应的参数为 ,点 P 对应的参数为 t=0,故 P1P2 的中点到点 P 的距离为1+22.|1+2|2答案: B5.直线 (t 为参数)过定点 . =3+,=-1+4解析: 由 (t 为参数)得 -(y+1)a+(4x-12)=0.若-( y+1)a+(4x-12)=0 对于任意 a 都成立,则 x=3,y=-1.=3+,=-1+4答案: (3,-1)6.直线 l: (t 为参数) 上的点 P(-4,1- )到直线 l 与 x 轴交点间的距离是 . =-1+3,=1+ 3解析
4、: 在直线 l: (t 为参数) 中,令 y=0,得 t=-1.故直线 l 与 x 轴的交点为 Q(-1- ,0).=-1+3,=1+ 3故|PQ|= (-1- 3+4)2+(1- 3)2= =2 -2.4( 3-1)2 3答案: 2 -237.直线过点 A(1,3),且与向量(2,-4)共线.(1)写出该直线的参数方程;(2)求点 P(-2,-1)到此直线的距离 .解 (1)由题意知直线的点斜式方程为 y-3=- (x-1).42设 y-3=- (x-1)=t,则 (t 为参数).42 =1-2,=3+所以该直线的参数方程为 (t 为参数) .=1-2,=3+(2)(方法一) 如图所示,在直
5、线上任取一点 M(x,y),则|PM| 2=(x+2)2+(y+1)2= +(3+t+1)2(1-2+2)2= t2+5t+2554= (t+2)2+20.54当 t=-2 时,|PM| 2 取最小值,此时|PM|等于点 P 与直线的距离,则|PM|= =2 .20 5(方法二)由点 P 向直线作垂线 ,垂足记为 P0,如上图所示,它对应参数 t=-2,代入直线的参数方程,可得点 P0 的坐标为 P0(2,1),显然有 |PP0|= =2 .(2+2)2+(1+1)2 58.已知两点 A(2,1),B(-1,2)和直线 l:x+2y-5=0.求过点 A,B 的直线的参数方程,并求它与直线 l
6、的交点的坐标.解 设直线 AB 上动点 P(x,y),选取参数 = ,则直线 AB 的参数方程为 ( 为参数) . =2-1+,=1+21+把 代入 x+2y-5=0 得 =- .12把 =- 代入 得 即交点坐标为(5,0).12 =5,=0,9. 导学号 73144026 已知直线 (t 为参数)与抛物线 y2=4x 交于两个不同的点 P,Q,且 A(2,4).=2+,=4-(1)求 AP+AQ 的值;(2)求 PQ 的长.解 已知直线的斜率为-1,故直线的倾斜角为 135,故 (t为参数),代入 y2=4x,=2- 22,=4+22得 t2+12 t+16=0,故有 t1+t2=-12
7、,t1t2=16.2 2(1)AP+AQ=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12 .2(2)PQ=|t1-t2|= =4 .( 1+ 2)2-4 1 2 14B 组1.已知直线 (t 为参数)与椭圆 x2+2y2=8 交于 A,B 两点,则|AB|等于( )=1+,=-2+A.2 B. C.2 D.2433 63解析: 把直线的参数方程代入 x2+2y2=8,得 3t2-6t+1=0,解得 t1=1+ ,t2=1- ,63 63得 A ,B .(2+63,-1+63) (2- 63,-1- 63)故|AB|= .433答案: B2.直线 (t 为参数) 上与点 P(-2,3)之间的距离等于
8、的点的坐标是( )=-2- 2,=3+2 2A.(-4,5) B.(-3,4)C.(-3,4)或(- 1,2) D.(-4,5)或(0,1)解析: 设点 Q 与点 P 之间的距离等于 ,Q(x0,y0),2则 (t 为参数).由|PQ|= ,得( -2- t+2)2+(3+ t-3)2=2,即 t2= ,得 t= .0=-2- 2,0=3+2 2 2 2 12 22当 t= 时,Q(-3,4);当 t=- 时,Q( -1,2).22 22答案: C3.设直线的参数方程为 (t 为参数), 点 P 在直线上,且与点 M0(-4,0)之间的距离为 ,若该直线的参数方程=-4+22,=22 2改写成
9、 (t为参数),则点 P 对应的 t值为 . =-4+,= 解析: 由|PM 0|= 知 t= ,代入第一个参数方程,得点 P 的坐标分别为(- 3,1)或(-5,- 1),再把点 P 的坐标代入第二个参2 2数方程可得 t=1 或 t=-1.答案: 14. 导学号 73144027 一条直线的参数方程是 (t 为参数),另一条直线的方程是 x-y-=1+12,=-5+322 =0,则这两条直线的交点与点(1,-5) 之间的距离是 . 3解析: 把参数方程代入 x-y-2 =0,3得 1+ t+5- t-2 =0,解得 t=4 .12 32 3 3故两条直线的交点为(1+2 ,1),3则交点与
10、点(1,- 5)之间的距离为d= =4 .(1+23-1)2+(1+5)2=12+36 3答案: 4 35.已知直线 l: (t 为参数) .=- 3+32,=2+12 (1)分别求 t=0,2,-2 时对应的点 M(x,y);(2)求直线 l 的倾斜角.解 (1)由直线 l: (t 为参数)知,=- 3+32,=2+12 当 t=0,2,-2 时,分别对应直线 l 上的点(- ,2),(0,3),(-2 ,1).3 3(2)(方法一) 化直线 l: (t 为参数)为普通方程为 y-2= (x+ ),其中 k=tan = ,0.故直线 l 的=- 3+32,=2+12 33 3 33倾斜角 =
11、 .6(方法二)由于直线 l: (t 为参数),=- 3+6,=2+6这是过点 M0(- ,2),且倾斜角 = 的直线,故 为所求.36 66.过点 P 作倾斜角为 的直线与曲线 x2+2y2=1 交于点 A,B,求|PA|PB|的最小值及相应的 值.(102,0)解 直线过点 ,倾斜角为 ,(102,0) 直线的参数方程为 (t 为参数).=102+,= 将其代入 x2+2y2=1 中,得 +2(tsin )2=1,(102+)2整理,得(1+sin 2)t2+( cos )t+ =0,1032 t1+t2= ,t1t2= ,- 101+2 32(1+2) |PA|PB|=|t1t2|= .|32(1+2)|又 =( cos )2-4(1+sin2) 0,1032 10cos2-6-6sin20. 10(1-sin2)-6-6sin20. sin2 .14 0,), 当且仅当 sin2= ,即 sin = ,14 12即 = 时,|PA|PB|最小,其最小值为 , |PA|PB|min= .6或 56 32(1+14)=65 65
