1、模块综合测评(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)1.若 abc,则 的值( )1-1-A.大于 0B.小于 0C.小于或等于 0D.大于或等于 0解析:因为 abc,所以 a-cb-c0,所以 ,所以 0,故选 A.1-2解析:令 f(x)=|x+3|+|x-2|= 则 f(x)的图像如图,由图可知,f(x) 0,y0,z0),则 P 与 3 的大小关系是 ( )1+1+1+A.P3 B.P3解析:因为 1+x0,1+y0,1+z0,所以 =3,即 Pa 的解集为 M,且 2M,则 a 的取值范围为( )|-1|A. B.(1
2、4,+) 14,+)C. D.(0,12) (0,12解析:由已知 2M,可得 2 RM,于是有 a,即-a a,解得 a ,故应选 B.|2-12| 2-12 14答案:B5.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第 n 层楼,上下楼造成的不满意度为 n;但高处空气清新 ,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第 n 层楼时,环境不满意程度为 ,则此人应选( )9A.1 楼 B.2 楼C.3 楼 D.4 楼解析:设第 n 层总的不满意程度为 f(n),则 f(n)=n+ 2 =23=6,当且仅当 n= ,即 n=3 时取等号.9
3、9 9答案:C6.若关于 x 的不等式|x-1|+|x-3|a 2-2a-1 在 R 上的解集为,则实数 a 的取值范围是( )A.(-,-1)(3, +)B.(-,0)(3, +)C.(-1,3)D.-1,3解析:|x-1|+|x-3|的几何意义是数轴上与 x 对应的点到 1,3 对应的两点距离之和,故它的最小值为 2,原不等式解集为, a2-2a-1|b-c|,则有( )A.adbc B.adbc D.adbc解析:由|a-d|b-c| 可得( a-d)2(b-c)2,即 a2+d2-2adb2+c2-2bc,又因为 a+d=b+c,所以a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以- 4a
4、d-4bc,于是 ad0.4因此 y=cos sin2 0,4 4于是 y2=cos2 sin4 2cos2 sin2 sin2 ,4 =12 4 4 412(224+24+243 )3=427当且仅当 tan 时,等号成立 ,4=2所以 y ,故所求最大值为 .239 239答案:D二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知关于 x 的不等式 2x+ 7 在 x(a,+) 内恒成立,则实数 a 的最小值为 . 2-解析:2x+ =2(x-a)+ +2a2 +2a=2a+47,故 a ,即实数 a 的最小值为 .2- 2- 2(-) 2- 32 32答案:3214
5、.不等式|x-4|+|x-3|a 有实数解的充要条件是 . 解析:不等式 a|x-4|+|x-3|有解a( |x-4|+|x-3|)min=1.答案:a115.设 x,y,zR,2x+2y+z+8=0,则(x- 1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为 . 解析:由柯西不等式可得(x-1) 2+(y+2)2+(z-3)2(22+22+12)2(x- 1)+2(y+2)+(z-3)2=(2x+2y+z-1)2=81,当且仅当 x=-1,y=-4,z=2 时等号成立,所以(x-1) 2+(y+2)2+(z-3)29.答案:916.对于任意实数 a(a0)和 b,不等式|a+b|+|a-b|a|
6、x- 1|恒成立 ,则实数 x 的取值范围是 . 解析:依题意只需不等式的左边的最小值 |a|x-1|,由绝对值三角不等式得 |a+b|+|a-b|(a+b)+(a-b)|=|2a|=2|a|,故只需求解 2|a|a|x-1|即可,解得-1x3.答案:-1,3三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分)17.(本小题满分 10 分)已知 x,y 均为正数,且 xy,求证:2x+ 2y+3.12-2+2证明因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y12-2+2=2(x-y)+1(-)2=(x-y)+(x-y)+1(-)23 =3,当且仅当 x-y=1 时,等号成立.3(-)2 1(-)2
7、所以 2x+ 2y+ 3.12-2+218.(本小题满分 12 分)已知 m1,且关于 x 的不等式 m-|x-2|1 的解集为0,4.(1)求 m 的值;(2)若 a,b 均为正实数,且满足 a+b=m,求 a2+b2的最小值.解(1) m1,不等式 m-|x-2|1 可化为|x-2|m-1, 1-m x-2m-1,即 3-m xm+1. 其解集为0,4, 解得 m=3.3-=0,+1=4,(2)由(1)知 a+b=3,(方法一:利用平均值不等式) (a+b)2=a2+b2+2ab(a 2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2), a2+b2 ,当且仅当 a=b= 时,等号成立,92 32
8、 a2+b2的最小值为 .92(方法二:利用柯西不等式) (a2+b2)(12+12)(a1+b1) 2=(a+b)2=9, a2+b2 ,当且仅当 a=b= 时,等号成立,92 32 a2+b2的最小值为 .92(方法三:消元法求二次函数的最值) a+b=3, b=3-a. a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2 .(-32)2+9292 a2+b2的最小值为 .9219.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明: n!(n1,nN +).(+12)证明(1)当 n=2 时, 2!=2,不等式成立.(2+12)2=(32)2=94(2)假设当 n=k(k2,且 kN +)时不等
9、式成立,即 k!,(+12)则当 n=k+1 时, +(+1)+12 +1=(+12+12)+1=0+1(+12)+1+1+1(+12)12(k+1) =(k+1) (k+1)k!=(k+1)!,+1+1(12)+1(+12)+1+12 (+12) (+12)所以当 n=k+1 时不等式成立.由(1)(2)可知,对 n1 的一切正整数,不等式成立.20. 导学号 35664053(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为 a.(1)求 a 的值;(2)若 p,q,r 是正实数 ,且满足 p+q+r=a,求证:p 2+q2+r23.解(1)因为|
10、x+1|+|x-2|( x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2 时,等号成立,所以 f(x)的最小值等于 3,即a=3.(2)由(1)知 p+q+r=3,又因为 p,q,r 是正实数,所以(p 2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r 1)2=(p+q+r)2=9,当且仅当 p=q=r=1 时等号成立,即p2+q2+r23.21. 导学号 35664054(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=|2x+2|-|x-2|.(1)求不等式 f(x)2 的解集;(2)若对于xR,f(x )t 2- t 恒成立,求实数 t 的取值范围.72解(1)f(x) =-4,2,x2,x , 2,x- 2, x2.综上所述,不等式 f(x)2 的解集为.|23或 0, =2m-10,12+42+92 m5,即实数 m 的取值范围是5,+).
