1、第二章 DIERZHANG参数方程1 参数方程的概念课后篇巩固探究A 组1.参数方程 (t 为参数)的曲线与坐标轴的交点坐标为 ( )=-1,=+2A.(1,0),(0,-2) B.(0,1),(-1,0)C.(0,-1),(1,0) D.(0,3),(-3,0)解析: 当 x=t-1=0 时,t=1,y=t+2= 3;当 y=t+2=0 时,t=-2,x=t-1=-3.曲线与坐标轴的交点坐标为(0,3),(-3,0).答案: D2.下列各点在方程 (为参数)所表示的曲线上的是( )=,=2A.(2,-7) B.(13,23)C. D.(1,0)(12,12)解析: 由题意得 x=sin -1
2、,1,y=cos 2- 1,1,故排除 A.由 y=cos 2=1-2sin2=1-2x2,验证知 C 项正确.答案: C3.若 t0,则下列参数方程的曲线不过第二象限的是 ( )A. B.=-,= =1,=C. D.=-1,=2-1 =1-1,= 解析: 由 (t0),得该参数方程表示射线,且只在第一象限内 ,其余方程的曲线都过第二象限.=1,=答案: B4.已知点 O 为原点,当 =- 时,参数方程 (为参数)上的点为 A,则直线 OA 的倾斜角为( )6 =3,=9A. B.6 3C. D.23 56解析: 当 =- 时,参数方程 (为参数)上的点 A 的坐标为 ,6 =3,=9 (33
3、2,-92)kOA=tan = =- ,00)的弦,求这些弦的中点的轨迹的参数方程.解 如图,设 OQ 是经过原点的任意一条弦,OQ 的中点是 M(x,y),设弦 OQ 和 x 轴的夹角为 ,取 作为参数,已知圆的圆心是 O(a,0),连接 OM,则 OMOQ,过点 M 作 MMOO,则|OM|=acos .所以 为参数,- .=|=|=2,=|=|=( 2 2 )这就是所求轨迹的参数方程.10. 导学号 73144022 求椭圆 =1 中斜率是 m 的平行弦的中点的轨迹的参数方程.22+22解 如图,设 P1P2 是斜率为 m 的平行弦中的任意一条弦 ,它所在直线的方程是 y=mx+k,这里
4、 k 是参数,把上式代入椭圆方程,得 b2x2+a2(mx+k)2=a2b2,整理得,(a 2m2+b2)x2+2a2mkx+a2k2-a2b2=0, 这个方程的两个根就是 P1 和 P2 的横坐标 x1 和 x2,设 P1P2 的中点是点 P(x,y),则 x= .1+22 由 得 x1+x2= ,-2222+2 x=- .222+2 点 P在 P1P2 上, y=mx+k,即 y= .222+2方程 是用参数 k 表示所求轨迹上任意一点 P的坐标 x和 y,把( x,y)换成( x,y),就得到所求轨迹的参数方程: (k 为参数).=- 222+2,= 222+2B 组1.参数方程 (为参
5、数)表示的曲线是( )=2,=2A.直线 B.圆C.椭圆 D.双曲线解析: x2+y2=4cos2+4sin2=4.=2,=2,故表示的曲线是圆.答案: B2.在参数方程 (为参数) 所表示的曲线上的点是( )= 22,=- 1A. B.(4,233) (233,4)C. D.(233,433) (433,233)答案: D3.动点 M 做匀速直线运动,它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3 m/s 和 4 m/s,直角坐标系的长度单位是 1 m,点 M 的起始位置在点 M0(2,1)处,则点 M 的轨迹的参数方程是( )A. (t 为参数 ,t0)=3,=4B. (t 为参数,t0)=
6、2+3,=1+4C. (t 为参数,t0)=2,=D. (t 为参数,t0)=3+2,=4+解析: 设在时刻 t 时,点 M 的坐标为 M(x,y),则 (t 为参数,t0).=2+3,=1+4答案: B4. 导学号 73144023 若点 E(x,y)在曲线 (为参数)上,则 x2+y2 的最大值=1+5,=2+5与最小值分别为 . 解析: x2+y2=(1+5cos )2+(2+5sin )2=30+(10cos +20sin )=30+10 sin(+),其中 tan = ,为锐角,512故 x2+y2 的最大值与最小值分别为 30+10 ,30-10 .5 5答案: 30+10 ,30
7、-105 55.设飞机以匀速 v=150 m/s 做水平飞行 ,若在飞行高度 h=588 m 处投弹( 设炸弹的初速度等于飞机的速度).(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程.(2)试问飞机在离目标多远(水平距离 )处投弹才能命中目标?分析 这是物理学中的平抛运动,选择合适的参变量将炸弹(看作质点) 的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图,A 为投弹点,坐标为(0,588),B 为目标,坐标为( x0,0).记炸弹飞行的时间为 t,在 A 点 t=0.设 M(x,y)为飞行曲线上的任一点,它对应时刻 t,炸弹初速度 v0=150 m/s,用物理学知识,分别计算水平、竖直方向上的路程,得
8、=0,=588-122(=9.8/2),即 =150,=588-4.92.这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标 B 处的时间 t0 满足方程 y=0,即 588-4.9t2=0,解得 t0=2 .30由此得 x0=1502 =300 1 643(m).30 30即飞机在离目标 1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.6.已知动点 P,Q 都在曲线 C: (t 为参数)上,对应参数分别为 t=与 t=2(02),点 M 为=2,=2PQ 的中点.(1)求点 M 的轨迹的参数方程;(2)将点 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断点 M 的轨迹是否过坐标原点.解 (
9、1)依题意有 P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2),因此 M(cos +cos 2,sin +sin 2).M 的轨迹的参数方程为 (为参数,02).=+2,=+2(2)点 M 到坐标原点的距离d= (02).2+2=2+2当 = 时,d= 0,故点 M 的轨迹过坐标原点 .7.边长为 a 的等边三角形 ABC 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴两正半轴上移动,顶点 C 和原点 O分别在 AB 两侧,记CAx= ,求顶点 C 的轨迹的参数方程.解 如图,过点 C 作 CDx 轴于点 D,设点 C 的坐标为(x,y ).则由 =+,=, 得 (为参数), 即为顶点 C 的轨迹方程.=(23-)+,=
