1、4 平摆线和渐开线课后篇巩固探究A 组1.已知圆的渐开线的参数方程 ( 为参数),则此渐开线对应基圆的面积是( )=+,=-A.1 B. C.2 D.2解析: 由参数方程知基圆的半径为 1,故其面积为 .答案: B2.下列各点中,在圆的摆线 ( 为参数)上的是( )=-,=1-A.(,0) B.(,1) C.(2,2) D.(2,0)解析: 依次将点代入验证即可.答案: D3.如图,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH叫作“正方形的渐开线”, 其中 AE,EF,FG,GH的圆心依次按 B,C,D,A循环,它们依次相连接,则曲线 AEFGH 的长是( )A.3 B.4C.5 D.6
2、解析: 根据渐开线的定义可知, 是半径为 1 的 圆周长,长度为 ,继续旋转可得 是半径为 2 的 圆周长,长度为 ; 是 14 2 14 半径为 3 的 圆周长,长度为 是半径为 4 的 圆周长,长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长是 5.14 32; 14答案: C4. 导学号 73144041 我们知道关于直线 y=x 对称的两个函数互为反函数,则圆的平摆线( 为参数)关于直线 y=x 对称的曲线的参数方程为 ( )=(-),=(1-)A. ( 为参数)=(-),=(1-)B. ( 为参数)=(1-),=(-)C. ( 为参数)=,=(1-)D. ( 为参数)=(1-),= 解析: 关
3、于直线 y=x 对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了 x 与 y 的互换.所以要写出平摆线方程关于直线 y=x 的对称曲线方程,只需把其中的 x 与 y 互换.答案: B5.当 = 时,圆的平摆线 ( 为参数)上对应的点的坐标是 . 2 =4-4,=4-4答案: (2-4,4)6.已知一个圆的平摆线方程是 ( 为参数),则该圆的面积为 ,对应圆的渐开线方程为 .=4-4,=4-4答案: 16 ( 为参数)=4+4,=4-47.已知平摆线的生成圆的直径为 80 mm,写出平摆线的参数方程,并求其一拱的拱宽和拱高.解 平摆线的生成圆的半径 r=40 mm, 此平摆线的参数方程为 (t
4、为参数), 它一拱的拱宽为 2r=240=80(mm),拱高为=40(-),=40(1-)2r=240=80(mm).8.已知圆的渐开线 ( 为参数,00,所以 r= (kN +).1易知,当 k=1 时,r 最大,最大值为 .1故圆的渐开线的参数方程是( 为参数) .=1(+),=1(-)6. 导学号 73144042 一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时,求圆内一定点 M 的轨迹方程.解 取定直线为 x 轴 ,点 C 在 x 轴上时的一个位置为原点,建立如图所示的直角坐标系 .设点 M(x,y)为轨迹上任一点.取圆的转动角ABM= 为参数.设圆半径为 r,点 M 到圆心的距离为 d(dr).开始时定点位于点 M0,滚动 角后处于图中点 M,此时 =r,得|OA|=r, =(r,r). 由 = -,得 =(dcos ,dsin )32 =( (32-), (32-)=(-dsin ,-dcos ).由此得 =(r-dsin ,r-dcos ),=+又 =(x,y),故所求摆线的参数方程为( 为参数).=-,=-
