1、3 参数方程化成普通方程课后篇巩固探究A 组1.曲线 ( 为参数)的一条对称轴的方程为 ( )=2-1,=2+2A.y=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.2x+y=0解析: 曲线 ( 为参数)的普通方程为( x+1)2+(y-2)2=4,圆心为(-1,2), 过圆心的直线都是圆的对称轴,故选 D.=2-1,=2+2答案: D2.下列各点在方程 ( 为参数)所表示的曲线上的是( )=,=2A.(2,7) B. C. D.(1,0)(13,23) (12,12)解析: 当 x= 时,= ,2= ,y=cos 2=cos ,故选 C.12 6 3 3=12答案: C3.若已知曲线 ( 为参数
2、),则点( x,y)的轨迹是( )=1+2,=2 A.直线 x+2y-2=0B.以(2,0)为端点的射线C.圆(x-1) 2+y2=1D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析: x=1+cos 2=1+(1-2sin2)=2-2y, x+2y-2=0.又 x=1+cos 20,2, y=sin20,1. 点(x,y)的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段.答案: D4.参数方程 ( 为参数 )的普通方程为 ( )= 2+ 2,=2+A.y2-x2=1 B.x2-y2=1C.y2-x2=1(|x| ) D.x2-y2=1(|x| )2 2解析: x2= =1+sin ,( 2+ 2)2
3、y2=2+sin , y2-x2=1.又 x=sin +cos sin - ,即|x| .故应选 C.2 2=2 (2+4) 2, 2 2答案: C5. 导学号 73144037 若 P(x,y)是曲线 =-2+,= (0 2, 是参数)上的动点,则 的取值范围是( )A. B.-33,0 - 33, 33C. D.0,33 (-,- 33解析: 曲线 C: 是以 (-2,0)为圆心,1 为半径的圆,即( x+2)2+y2=1.=-2+,= 设 =k,则 y=kx.当直线 y=kx 与圆相切时,k 取得最小值与最大值. =1,解得 k2= . |-2|2+1 13故 的取值范围是 . - 33
4、, 33答案: B6.参数方程 ( 为参数)化成普通方程为 . =,=1+解析: ( 为参数),cos 2+sin2=1,=,=1+ x2+(y-1)2=1.答案: x2+(y-1)2=17.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 (参数 tR), 圆 C 的参数方程为 (参数=+3,=3- =2,=2+20,2),则圆 C 的圆心坐标为 ,圆心到直线 l 的距离为 . 解析: 消参数得到圆的方程为 x2+(y-2)2=4,得圆心坐标为(0,2).消参数后直线方程为 x+y=6,则圆心到直线的距离为 =2 .|0+2-6|2 2答案: (0,2) 2 28.已知直线 l:3x
5、+4y-12=0 与圆 C: ( 为参数),则它们的公共点个数为 . =-1+2,=2+2解析: 圆的方程可化为(x+1) 2+(y-2)2=4,其圆心为 C(-1,2),半径为 2.由于圆心到直线 l 的距离d= 2,|3(-1)+42-12|32+42 =75故直线 l 与圆 C 的公共点个数为 2.答案: 29.把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.(1) (t 为参数);=1- ,=1+2(2) (t0,t 为参数).=-42,=+1解 (1)由 x=1- 1,得 =1-x, 代入 y=1+2 ,得到 y=3-2x.又因为 x1,所以参数方程等价于普通方程 y=3-2x
6、(x1) .这是以(1,1)为端点的一条射线( 包括端点) .(2) 由 得 t=y-1,代入 中,=-42,=+1, 得 x=-4(y-1)2(y1),即(y-1) 2=- x(y1) .14方程表示的曲线是顶点为(0,1),对称轴平行于 x 轴,开口向左的抛物线的一部分.10. 导学号 73144038 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为( 为参数).=3,=(1)已知在极坐标系( 与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标为 ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;(4,2)
7、(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点 ,求它到直线 l 的距离的最小值.解 (1)把极坐标系下的点 P 化为直角坐标,得点(0,4) .因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点(4,2)P 在直线 l 上.(2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( cos ,sin ),从而点 Q 到直线 l 的距离为3d=| 3-+4|2 =2(+6)+42= cos +2 ,2 (+6) 2当 cos =-1 时,d 取得最小值,且最小值为 .(+6) 2B 组1.椭圆 ( 为参数) 的焦点坐标为( )=5,=3A.(-2,0),(2,0) B.(0
8、,-2),(0,2)C.(0,-4),(0,4) D.(-4,0),(4,0)解析: 利用平方关系化为普通方程 =1,c2=16,c=4,焦点在 x 轴上,所以焦点为(-4,0),(4,0),故选 D.225+29答案: D2.以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线 l的参数方程是 (t 为参数), 圆 C 的极坐标方程是 =4cos ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长为( )=+1,=-3A. B.2 C. D.214 14 2 2解析: 由题意得直线 l 的普通方程为 x-y-4=0,圆 C 的直角坐标方程为 (x-2)2+
9、y2=4,则圆心到直线 l 的距离 d= ,故弦长2=2 =2 .2-2 2答案: D3.参数方程 ( 为参数 ,且 02)表示( )=|2+2|,=12(1+)A.抛物线的一部分,这部分过点 (1,12)B.双曲线的一支,这支过点 (1,12)C.双曲线的一支,这支过点 (-1,12)D.抛物线的一部分,这部分过点 (-1,12)解析: 由参数方程得 x2=|2+2|2=cos2 +sin2 +2cos sin =1+sin , 22故 y= x2,且 x0,表示抛物线的一部分 .12 2答案: A4.方程为 ( 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程
10、为 sin =1,则=,=1+直线 l 与圆 C 交点的直角坐标为 . 解析: 圆 C 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1,直线 l 的直角坐标方程为 y=1.2+(-1)2=1,=1 =-1,=1或 =1,=1.所以直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 (-1,1),(1,1).答案: (-1,1),(1,1)5.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为:C 1: (t 为参数) 和 C2: ( 为参数),它们=,= =2,=2的交点坐标为 . 解析: 曲线 C1 化为普通方程是 x=y2(y0),曲线 C2 化为普通方程是 x2+y2=2,由 因此两曲线
11、的=2(0),2+2=2,得 =1,=1,交点坐标为(1,1).答案: (1,1)6.两动直线 3x+2y=6t 与 3tx-2ty=6 相交于点 P,若取 t 为参数,则点 P 轨迹的参数方程为 . 解析: 两方程联立得 t+ 得 x= , t- 得 y= .3+2=6,3-2=6, 2+1 3(2-1)2故所求点 P 的轨迹的参数方程为 (t 为参数,t0).=2+1 ,=3(2-1)2 答案: (t 为参数,t0)=2+1 ,=3(2-1)2 7.已知曲线 C1 为 (t 为参数),C 2 为 ( 为参数).=-4+,=3+ =8,=3(1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分
12、别表示什么曲线.(2)若 C1 上的点 P 对应的参数为 t= ,Q 为 C2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3: (t 为参数) 距离的最小值.2 =3+2,=-2+解 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2: =1.264+29C1 为圆心是(-4,3),半径是 1 的圆.C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆.(2)当 t= 时,P (-4,4),Q(8cos ,3sin ),2故 M .(-2+4,2+32)C3 为直线 x-2y-7=0,点 M 到 C3 的距离 d= |4cos -3sin -13|.55从而当 cos
13、= ,sin =- 时,d 取得最小值 .45 35 8558.导学号 73144039 如图,设矩形 ABCD 的顶点 C 为(4,4),点 A 在圆 x2+y2=9(x0,y0)上移动,且AB,AD 两边分别平行于 x 轴、y 轴,求矩形 ABCD 面积的最小值及对应点 A 的坐标.解 根据圆的参数方程,可设 A(3cos ,3sin )(090), 则|AB|=4-3cos ,|AD|=4- 3sin .S 矩形 ABCD=|AB|AD|=(4-3cos )(4-3sin )=16-12(cos +sin )+9cos sin .令 t=cos +sin (1t ),2则 2cos sin =t2-1.S 矩形 ABCD=16-12t+ (t2-1)92= t2-12t+ .92 232=92(-43)2+72故 t= 时,S 矩形 ABCD 取得最小值 .43 72此时+=43,=718,解得=4+26,=4- 26或 =4- 26,=4+26.故 A 或 A .(2+22,2- 22) (2- 22,2+22)
