1、微型专题 力的合成与分解 简单的共点力的平衡问题学习目标 1.进一步理解力的效果分解法和正交分解法.2.理解什么是平衡状态，掌握共点力的平衡条件.3.会用合成法或正交分解法求解平衡问题.一、共点力平衡的条件及三力平衡问题1.平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态.2.平衡条件：合外力等于 0，即 F 合 0.3.推论(1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向.(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.(3)多力平衡：若物体在 n 个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意 n1 个力的合力必定与第 n 个力等大
2、、反向.例 1 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图 1 所示.仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球.无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度.风力越大，偏角越大.那么风力大小 F 跟金属球的质量 m、偏角 之间有什么样的关系呢？图 1答案 Fmgtan 解析 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示.金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零.可用以下两种方法求解.解法一 力的合成法如图乙所示，风力 F 和拉力 FT 的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得 Fmgtan .解法二 正交分解法以金属球为坐标原点，取水平方向为
3、 x 轴，竖直方向为 y 轴，建立直角坐标系，如图丙所示.由水平方向的合力 Fx 合 和竖直方向的合力 Fy 合 分别等于零，即Fx 合 F Tsin F0Fy 合 F Tcos mg0解得 Fmgtan .【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题物体在三个力或多个力作用下的平衡问题，一般会用到力的合成法、效果分解法或正交分解法，选用的原则和处理方法如下：1.力的合成法一般用于受力个数为三个时1确定要合成的两个力；2根据平行四边形定则作出这两个力的合力；3根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系等大反向；4根据三角函数或勾股定理解三角形.2.力的效果分解法一般用于受力个数为三个时1确定要
4、分解的力；2按实际作用效果确定两分力的方向；3沿两分力方向作平行四边形；4根据平衡条件确定分力及合力的大小关系；5用三角函数或勾股定理解直角三角形.3.正交分解法一般用于受力个数为三个或三个以上时1建立直角坐标系；2正交分解各力；3沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解.针对训练 1 如图 2 所示，重物的质量为 m，轻细绳的 A 与 B 端是固定的，平衡时 AO 水平，BO 与竖直方向的夹角为 ，绳 AO 的拉力大小是( )图 2A.Fmgcos B.Fmgtan C.Fmgsin D.Fmgsin 答案 B解析 对重物进行受力分析，如图，将力 FA、F B合成，由平衡条件得FBcos mg，F
5、Bsin F A，可知 AO 的拉力 FAmg tan ，B 正确，A、C、D 错误.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题二、利用正交分解法分析多力平衡问题1.将各个力分解到 x 轴和 y 轴上，根据共点力平衡的条件：F x0，F y0.2.对 x、y 轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在 x、 y 轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力.3.此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法.例 2 如图 3 所示，物体的质量 m4.4 kg，用与竖直方向成 37 的斜向右上方的推力把该物体压在竖直墙壁上，并使它沿墙壁在竖直方向上
6、做匀速直线运动.物体与墙壁间的动摩擦因数 0.5 ，取重力加速度 g10 N/kg，求推力 F 的大小.(sin 370.6，cos 37 0.8)图 3答案 88 N 或 40 N解析 若物体向上做匀速直线运动，则受力如图甲所示.Fcos mgF fFsin F NFf FN故推力 F N88 Nmgcos sin 4.4100.8 0.50.6若物体向下做匀速直线运动，受力如图乙所示.Fcos F f mgFsin F NFf F N故推力 F N40 Nmgcos sin 4.4100.8 0.50.6【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题针对训练 2 (多选)如图 4 所示，建筑
7、装修中，工人用质量为 m 的磨石对斜壁进行打磨，当对磨石加竖直向上、大小为 F 的推力时，磨石恰好沿斜壁向上匀速运动，已知磨石与斜壁之间的动摩擦因数为 ，则磨石受到的摩擦力是( )图 4A.(Fmg)cos B.(F mg)sin C.(F mg)cos D.(Fmg)答案 AB【考点】共点力及平衡【题点】多力平衡问题三、利用解析法或图解法分析动态平衡问题1.动态平衡：是指平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向均要发生变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题.2.基本方法：解析法、图解法和相似三角形法.3.处理动态平衡问题的一般步骤(1)解析法：列平衡方程求出未知量与已知
8、量的关系表达式.根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况.(2)图解法：适用情况：一般物体只受三个力作用，且其中一个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据力的平行四边形定则将三个力的大小、方向放在同一个三角形中.b.明确大小、方向不变的力，方向不变的力及方向变化的力的方向如何变化，画示意图.注意：由图解可知，当大小、方向都可变的分力(设为 F1)与方向不变、大小可变的分力垂直时，F 1 有最小值.例 3 如图 5 所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙面对球的压力大小为 FN1，木板对小球的支持力大小为 FN2.以木板
9、与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计摩擦，在此过程中( )图 5A.FN1 始终减小，F N2 始终增大B.FN1 始终减小，F N2 始终减小C.FN1 先增大后减小，F N2 始终减小D.FN1 先增大后减小，F N2 先减小后增大答案 B解析 方法一：解析法对球进行受力分析，如图甲所示，小球受重力 G、墙面对球的压力 FN1、木板对小球的支持力 FN2 而处于平衡状态.则有 tan ，F N1GFN1 GFN1 Gtan 从图示位置开始缓慢地转到水平位置过程中， 逐渐增大， tan 逐渐增大，故 FN1 始终减小.从图中可以看出，F N2 ，从图示位置开始缓慢地转
10、到水平位置， 逐渐增大，sin Gsin 逐渐增大，故 FN2 始终减小.选项 B 正确.方法二：图解法小球受重力 G、墙面对球的压力 FN1、木板对小球的支持力 FN2 而处于平衡状态.由平衡条件知 FN1、F N2 的合力与 G 等大反向， 增大时，画出多个平行四边形，如图乙，由图可知 增大的过程中，F N1 始终减小，F N2 始终减小.选项 B 正确.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题针对训练 3 用绳 AO、BO 悬挂一个重物，BO 水平，O 为半圆形支架的圆心，悬点 A 和B 在支架上.悬点 A 固定不动，将悬点 B 从图 6 所示位置逐渐移动到 C 点的过程中.
11、分析绳OA 和绳 OB 上的拉力的大小变化情况.图 6答案 绳 OA 的拉力逐渐减小 绳 OB 的拉力先减小后增大解析 解法一 力的效果分解法在支架上选取三个点 B1、B 2、B 3，当悬点 B 分别移动到 B1、B 2、B 3 各点时，对 AO、BO绳的拉力分别为 FTA1、F TA2、F TA3 和 FTB1、F TB2、F TB3，如图所示，从图中可以直观地看出，FTA逐渐变小，且方向不变；而 FTB先变小，后变大，且方向不断改变；当 FTB与 FTA垂直时，F TB最小.解法二 合成法将 AO 绳、BO 绳的拉力合成，其合力与重力等大反向，逐渐改变 OB 绳拉力的方向，使FB与竖直方向
12、的夹角 变小，得到多个平行四边形，由图可知 FA逐渐变小，且方向不变，而 FB先变小后变大，且方向不断改变，当 FB与 FA垂直时，F B最小.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题1.(三力平衡问题)如图 7 为节日里悬挂灯笼的一种方式， A、B 两点等高，O 为结点，轻绳AO、BO 长度相等，拉力分别为 FA、F B，灯笼受到的重力为 G.下列表述正确的是( )图 7A.FA一定小于 GB.FA与 FB大小相等C.FA与 FB大小不相等D.FA与 FB大小之和等于 G答案 B解析 由等高等长知，左右两个拉力大小相等，B 正确，C 错误.绳子与竖直方向夹角不确定，所以拉力与重力
13、的大小无法确定，A 错误；F A与 FB矢量之和等于 G，不是大小之和，D 错误.【考点】共点力及平衡【题点】三力平衡问题2.(三力平衡问题)用三根轻绳将质量为 m 的物块悬挂在空中，如图 8 所示.已知 ac 和 bc 与竖直方向的夹角分别为 30和 60，则 ac 绳和 bc 绳中的拉力分别为 ( )图 8A. mg， mg32 12B. mg， mg12 32C. mg， mg34 12D. mg， mg12 34答案 A解析 分析结点 c 的受力情况如图，设 ac 绳受到的拉力为 F1、bc 绳受到的拉力为 F2，根据平衡条件知 F1、F 2 的合力 F 与重力mg 等大、反向，由几何
14、知识得F1Fcos 30 mg32F2Fsin 30 mg12选项 A 正确.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题3.(动态平衡问题)如图 9 所示，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳 OA 使连接点 A 向上移动而保持 O 点的位置不变，则 A 点向上移动时( )图 9A.绳 OA 的拉力逐渐增大B.绳 OA 的拉力逐渐减小C.绳 OA 的拉力先增大后减小D.绳 OA 的拉力先减小后增大答案 D解析 对 O 点受力分析，如图所示，利用图解法可知绳 OA 的拉力先变小后变大，故A、B、C 错误， D 正确.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题4.(多力平衡问题)出门旅行时，
15、在车站、机场等地有时会看见一些旅客推着行李箱，也有一些旅客拉着行李箱在地面上行走.为了了解两种方式哪种省力，我们作以下假设：行李箱的质量为 m10 kg，拉力 F1、推力 F2 与水平方向的夹角均为 37( 如图 10 所示) ，行李箱与地面间为滑动摩擦力.动摩擦因数为 0.2，行李箱都做匀速运动.试分别求出 F1、F 2 的大小并通过计算说明拉箱子省力还是推箱子省力.(sin 370.6，cos 37 0.8，g10 m/s 2)图 10答案 见解析解析 拉行李箱时，对行李箱受力分析，如图甲所示.F1cos F f1F1sin F N1mgFf1 FN1解得 F1 21.7 Nmgcos s
16、in 推行李箱时，对行李箱受力分析，如图乙所示.F2cos F f2FN2F 2sin mgFf2 FN2解得 F2 29.4 Nmgcos sin F1FAF BFCC.FAF CF DFBD.FCFAF BFD答案 B解析 绳上的拉力等于重物所受的重力 mg，设滑轮两侧细绳之间的夹角为 ，滑轮受到木杆 P 的弹力 F 等于滑轮两侧细绳拉力的合力，即 F2mgcos ，由夹角关系可得2FDFAF BFC，选项 B 正确 .【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题3.如图 3 所示，两轻弹簧 a、b 悬挂一小铁球处于平衡状态，a 弹簧与竖直方向成 30角，b弹簧水平，a、b 的劲度系数分别
17、为 k1、k 2，则 a、b 两弹簧的伸长量 x1 与 x2 之比为( )图 3A. B. C. D.2k2k1 k2k1 k1k2 k22k1答案 A解析 a 弹簧的弹力 FAk 1x1，b 弹簧的弹力 FBk 2x2，小球处于平衡状态，必有 FAsin 30F B.即： k1x1sin 30k 2x2，故 ，A 正确.x1x2 2k2k1【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题4.如图 4 所示，质量为 m 的小物体静止在半径为 R 的半球体上，小物体与半球体间的动摩擦因数为 ，小物体与球心连线与水平地面的夹角为 ，则下列说法正确的是 ( )图 4A.小物体对半球体的压力大小为 mgc
18、os B.小物体对半球体的压力大小为 mgtan C.小物体所受摩擦力大小为 mgsin D.小物体所受摩擦力大小为 mgcos 答案 D解析 对小物体受力分析，小物体受重力、支持力及摩擦力，三力作用下物体处于平衡状态，则合力为零，小物体对半球体的压力 FNmgsin ，A、B 错误；小物体所受摩擦力为静摩擦力，不能用 FfF N 来计算，摩擦力沿切线方向，在切线方向重力的分力与摩擦力相等，即 Ffmgcos ，C 错误，D 正确.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题5.如图 5 所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的，一根细线跨在碗口上，线
19、的两端分别系有质量为 m1 和 m2 的小球，当它们处于平衡状态时，质量为 m1 的小球与 O 点的连线与水平方向的夹角为 60，两小球的质量比 为( )m2m1图 5A. B.33 23C. D.32 22答案 A【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题6.质量分别为 M、m 的两物体用跨过光滑定滑轮的轻绳相连，如图 6 所示，OA、OB 与水平面的夹角分别为 30、60 ， M、m 均处于静止状态.则( )图 6A.轻绳 OA 对质量为 M 的物体的拉力大小大于轻绳 OB 对质量为 M 的物体的拉力B.轻绳 OA 对质量为 M 的物体的拉力大小等于轻绳 OB 对质量为 M 的物体的拉力
20、C.质量为 m 的物体受到水平面的静摩擦力大小为零D.质量为 m 的物体受到水平面的静摩擦力的方向水平向左答案 D解析 取 O 点为研究对象进行受力分析，如图所示， FTAFTB，质量为 m 的物体受水平面的静摩擦力的方向水平向左，故 D 正确，A 、B、C 错误.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题7.(多选) 城市路灯、无轨电车等的供电线路，经常采用三角形的结构悬挂，如图 7 所示为这类结构的一种简化模型.图中硬杆 BO 可绕通过 B 点且垂直于纸面的轴转动，钢索 AO 和杆BO 的重力均忽略不计.已知 BO 始终水平，AO 与 BO 的夹角为 ，被悬挂物体的质量为m，则以下说法中
21、正确的是( )图 7A.钢索 AO 对 O 点的拉力为mgsin B.杆 BO 对 O 点的支持力为 mgtan C.A 点距 B 点的距离越近时，杆 BO 对 O 点的支持力就越大D.不论增大还是减小 A 点与 B 点距离，AO 对 O 点拉力与杆 BO 对 O 点支持力的合力始终保持不变答案 ACD解析 BO 可绕通过 B 点且垂直于纸面的轴转动，对 O 的支持力沿杆向外 .由合力为 0，对O 有，竖直方向 FAOsin mg ，得 FAO ，A 对.水平方向 FAOcos F BO得mgsin FBO ，B 错.A 点距 B 点的距离越近时， 越小，杆 BO 对 O 点的支持力就越大，C
22、 对.Omgtan 点合力为 0，不论增大还是减小 A 点与 B 点距离，AO 对 O 点拉力与杆 BO 对 O 点支持力的合力始终与重力等大反向，D 对.【考点】静态平衡问题分析【题点】三力平衡问题考点二 动态平衡问题8.(多选) 如图 8 所示，质量为 mA10 kg 的物块 A 下端连接着直立且固定于地面的轻质弹簧，上端连接着跨过定滑轮的轻质细绳，绳的另一端连接着静置于地面、质量为 mB20 kg 的物块 B.此时，与 A 相连的轻绳处于竖直方向，与 B 相连的轻绳与水平地面成 37角，并且弹簧的形变量为 20 cm，若弹簧劲度系数为 k200 N/m，重力加速度 g 取 10 m/s2
23、，sin 37 0.6，cos 370.8，不计滑轮与轻绳间的摩擦.关于物块 B 的受力情况，下列分析正确的是( )图 8A.轻绳对物块 B 的拉力一定为 60 NB.地面对物块 B 的摩擦力可能为 112 NC.地面对物块 B 的支持力可能为 36 ND.轻绳对物块 B 的拉力与地面对物块 B 的摩擦力的合力一定竖直向上答案 BD解析 弹簧对 A 可能是向下的拉力也可能是向上的支持力，若弹簧对 A 是向下的拉力，则A、B 的受力如甲图，对 A 有 FF Tm Ag，对 B 有 FNFsin 37m Bg，F fFcos 37，已知 FT kx40 N，联立解得 F140 N，F f112 N
24、，F N 116 N，F 与 Ff 的合力为 Fsin 3784 N，方向竖直向上.同理可由乙图列出弹簧对 A 是向上弹力情况下的方程，可以解得F60 N，F f48 N，F N164 N，F与 Ff的合力为 Fsin 3736 N，方向竖直向上.所以选项 B、D 正确.【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题9.如图 9 所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则球对绳的拉力 F1 和球对墙的压力 F2 的变化情况是( )图 9A.F1 增大，F 2 减小B.F1 减小，F 2 增大C.F1 和 F2 都减小D.F1 和 F2 都增大答案 C解析 把球的重力往
25、两个方向上分解如图所示，由图知两个力均减小，故选 C.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题10.(多选) 如图 10 所示，用竖直挡板将光滑小球夹在挡板和斜面之间，若逆时针缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是( )图 10A.挡板对小球的压力先增大后减小B.挡板对小球的压力先减小后增大C.斜面对小球的支持力先减小后增大D.斜面对小球的支持力一直逐渐减小答案 BD解析 取小球为研究对象，小球受到重力 G、挡板对小球的支持力 FN1和斜面对小球的支持力 FN2 三个力作用，如图所示，F N1 和 FN2 的合力与重力大小相等，方向相反，F N2 总垂直接触面(
26、 斜面)，方向不变，根据图解可以看出，在 FN1 方向改变时，其大小( 箭头)只能沿 PQ 线变动.显然在挡板移动过程中，F N1 先变小后变大，F N2 一直减小.【考点】动态平衡问题分析【题点】图解法求动态平衡问题二、非选择题11.(多力平衡问题)如图 11 所示，放在水平地面上的物体 P 的重量为 GP10 N，与 P 相连的细线通过光滑轻质定滑轮挂了一个重物 Q 拉住物体 P，重物 Q 的重量为 GQ2 N，此时两物体保持静止状态，线与水平方向成 30角，则物体 P 受到地面对它的摩擦力 Ff 与地面对它的支持力 FN 各为多大？图 11答案 N 9 N3解析 选取 Q 为研究对象，受
27、力如图所示：由平衡条件可知：F TG Q选取 P 为研究对象，受力如图甲所示：甲 乙建立如图乙所示的直角坐标系，在 x 轴上由平衡条件，有：F TxF fF Tcos 30在 y 轴上由平衡条件，有：F NF TyF NF Tsin 30G P联立得：Error!【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题12.(多力平衡问题)如图 12 所示，一个质量为 m、横截面为直角三角形的物块ABC，ABC ，AB 边靠在竖直墙上，F 是垂直于斜面 BC 的推力，现物块静止不动，重力加速度为 g，求物块受到的摩擦力和弹力的大小.图 12答案 Fsin mg Fcos 解析 对物块进行受力分析，如图所示
28、，水平方向建立 x 轴，竖直方向建立 y 轴.由平衡条件，得 FfFsin mg ，F NFcos .【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题13.(多力平衡问题)如图 13 所示，质量为 m1 的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为 O.轻绳 OB 水平且 B 端与放置在水平面上的质量为 m2 的物体乙相连，轻绳 OA 与竖直方向的夹角 37，物体甲、乙均处于静止状态.sin 370.6 ，cos 370.8，重力加速度为 g.求：图 13(1)轻绳 OA、OB 受到的拉力各多大？(试用三种方法求解)(2)物体乙受到的摩擦力多大？方向如何？答案 (1) m1g m1g (2) m1g
29、 方向水平向左54 34 34解析 (1)方法一：(力的合成法 )对结点 O 进行受力分析，如图(a)所示，把 FA与 FB合成则 Fm 1g所以 FA m1gm1gcos 54FB m1gtan m1g34故轻绳 OA、OB 受到的拉力大小分别等于 FA、F B，即 m1g、 m1g54 34方法二：(力的效果分解法)把甲对 O 点的拉力按效果分解为 FOA和 FOB，如图(b)所示则 FOA m1g，F OB m1gtan m1g.m1gcos 54 34方法三：(正交分解法)把 OA 绳对结点 O 的拉力 FA进行正交分解，如图(c)所示.则有 FAsin F BFAcos m 1g解得 FA m1g，F B m1g54 34(2)对乙受力分析有Ff FB m1g，方向水平向左.34【考点】静态平衡问题分析【题点】多力平衡问题
