1、一、选择题1已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024【答案】 B【解析】因为 ，所以 ，即 是以 2 为公比的等比数列，所以，故选 B.2.已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C二、填空题3.已知数列 的前 项和为 ， ，若数列 是公差为 2 的等差数列，则数列 的通项公式为_【答案】【解析】由 可知，当 时， ，当 时， ，符合上式，所以对任意的 均有 ，则 ，因而数列 是公差 的等差数列 ， ，则 ，得 ，所以数列 的通项公式为 .4.已知正项数列 na的首项 1，前 n 项和为 nS，若以 ,n
2、aS为坐标的点在曲线 12yx上，则数列 n的通项公式为_【答案】 5.已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 满足 ，则数列中第_项最小【答案】4【解析】由题 时， 化为 时， ，解得 数列 a1=1，a 2=2 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为 2， 进而得到数列 为等差数列，首项为 1，公差为 1 数列 满足时，时也成立则数列 中第 4 项最小即答案为 4.6.已知数列 中， 且 ，则 =_【答案】 n12,a 7.数列 na的前 项和为 231nS，则它的通项公式为_.【答案】 5,1 2n【解析】由数列 na的前 项和为 231nS，当 n时， 15aS，当 2n时， 21
3、312naS，当 时上式不成立， 5 n，故答案为 5 2na.8.已知数列 na的前 n 项和 1S，则该数列的通项公式是_【答案】 13, 2n【解析】当 时 1aS ；当 2n 时 12nn ；所以 13, 2na9.设数列 na的前 项和为 nS，且 1,nnSa为等差数列，则 na的通项公式na_【答案】 12n10.设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 1a， 11nns，则 n_【答案】 1【解析】 1a， 11nns， 11nnS， 1nS，数列 1nS是等差数列，首项与公差都为 ， nS（ ） ， n，故答案为 .11.己知数列 an的前 n 项和满足 Sn=2n+1-1,
4、则 an=_.【答案】 an= 3,1 2 三、解答题12已知正项数列 的前 项和为 ，且 ，等比数列 的首项为 1，公比为 （ ） ，且 ， ， 成等差数列（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 【答案】(1) ；(2) .【解析】（1）当 时， ，即 ，因为 ，所以 ，当 时， ，即 ，因为 ，所以 ，所以数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，所以 由 得 ，所以 13.已知正项数列 的前 项和 满足： nanS1nnaS（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 .2log3nnbnbnT【答案】 （1） ；（2）na29【解析】（1）由已知 ，可得1nnS当
5、 时， ，可解得 ，或 ，21a10a12由 是正项数列，故 .n当 时，由已知可得 ， ，22nnS11nS两式相减得， .化简得 ，1na2a数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，故 .n n数列 的通项公式为 .n（2） ，代入 化简得 ，显然 是等差数列，2log3nnab2n5nbnb其前 项和 .459nT14.已知数列 的前 项和为 ，且满足 .nanS*41,3nanN（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： .2lognnba1nbnnT132nT【答案】 （1） （2）见解析*4nN（2）由（1）有 ，则22logl4nnnba11(2n
6、b n 1352Tn 1212n易知数列 为递增数列，T ，即 .12n132n15.已知数列 的前 项和为 ，且 ， .（1）求数列 的通项公式；（2）记 ，数列 的前 项和为 ，求 .【答案】 （1） （2）（2）由（1）知， ， .16. 已知数列 na的各项均为正数，且 12nnSa，求 na.【答案】 1,n令 1n可得： 112Sa可解得 1a2nn1, 1,2,n nSnaa17.已知数列 的前 项和是 ，且 .（1）若 ，求 的通项公式；（2）在（1）的条件下，求数列 的前 项和 .【答案】(1)见解析;(2) .【解析】（1）当 时， ，即 ，整理得 ，所以 所以 是一个公差
7、为 2 的等差数列，又 ，所以 ，所以 ， 此时 符合题意所以 当 时，上式不成立，所以 （2）由（1）可知， 所以 18.已知数列 的前 项和 满足： ， （ 为常数， ， ）.（）求 的通项公式；（）设 ，若数列 为等比数列，求 的值；（）在满足条件（）的情形下， .若数列 的前 项和为 ，且对任意满足 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】（1） 且 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列(3)由（2）知 所以 ，所以 ，解得 .19.设数列 的前 项和为 ，已知 .（1）设 ，证明数列 是等比数列（要指出首项、公比） ；（2）若 ，求数列 的前 项和 .【
8、答案】 （1）详见解析（2）【解析】（1） ，当 时， 两式相减得： 当 时， ， ， ，从而 数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 20 已知数列 的首项 ，前 项和为 （1）求数列 的通项公式； （2）设 31lognnba，求数列 的前 项和 【答案】(1) 13na（2） nT 23【解析】(1)由题意得 11,2nnS两式相减得 1232nnaa，所以当 n时， 是以 为公比的等比数列.因为所以， ，对任意正整数成立， 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以得 13na.（2） ， 所以 ， 012212133.33. .nnnnT13n2 2n21.已知数列 na的前 项和为 nS
9、，且 *naN（）求数列 的通项公式（）求数列 nS的前 项和 nT【答案】 （1） *2aN（2） 24n（）因为 122nnSa，所以 1nT2314n2n22. 为数列 的前 项和，已知 ， .（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和.【答案】 （1） 21na；（2） 69n23.已知数列 na的前 项和为 ,nS且 32,na *N.（1）求证 12n为等比数列，并求出数列 n的通项公式；（2）设数列 nS的前 项和为 nT，是否存在正整数 ，对任意 *,mnN，不等式 mn0TS恒成立？若存在，求出 的最小值，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析（2）存在正整数
10、 =1【解析】（1）证明 3,2nnSa 1132n2,nSa（ ） 作差得 1 -变 形 得 （ ）2na为首项为 1，公比为 2 等比数列 -1*+nnN， （2） -2a， 代入 32,nnSa得 12,nS 11-12-=2+0,nnnnS（ ） nn21b=nSS为 递 增 数 列 ， 令nn2b=-（ ） （ ）nn-1n n-122-1（ ） （ ） （ ） （ ）1 21n2n4=b=b+=3354T+-3579-15T 当 时 ， ， 当 时 ，当 时 ， min19385,=42mnTS存 在存在正整数 =1，对任意 *mn,-0NTS不 等 式 恒 成 立24.已知 nS
11、为数列 na的前 项和，且有 1a， 1a（ *） （1）求数列 的通项公式；（2）若数列 nb满足 4na，求其前 n项和为 n【答案】 （1） 12na（2） 2nnT【解析】（1）当 时， 21Sa；当 2n时， *nnN*1Sa，两式相减得， 12n，又 2，所以 na是首项为,公比为 2 的等比数列，所以 12na点睛：题目给出 na与 S的关系时，利用 1, 2nnSa 进行处理，注意检验 n=1 的时候是否成立.25.已知正数数列 的前 项和为 nS，满足 21nnS， 1a.（1）求数列 na的通项公式；（2）设 21nba，若 1nb对任意 *N恒成立，求实数 的取值范围.【
12、答案】 （1） n；（2） .【解析】（1）因为 21nnaS，所以 21nnaS，两式相减得：21n，化简得： ，可以得出 a为等差数列，又 1a，所以 .（2）设 2nnnba，则 21nbn 2n，同理 1 a，因为 1nb恒成立，所以 221nana2a，所以 .26.数列 n的前 n 项和为 nS，已知 n1125,nSa成等比数列.(I)求数列 a的通项公式;(II)若数列 nb满足 12nan,求数列 nb的前 n 项和 T.【答案】 (1) a 2n1；（ 2） Tn=6+(2n3) 12(II)数列 nb满足 na= n1a2， bn=(2n1) n1=n.数列 bn的前 n
13、 项和 Tn=2+3 2+5 3+2n1，2 Tn=2*2+3 32+(2n3) n+(2n1) n， Tn=6+(2n3) 1.27.已知数列 na的前 项和为 nS,且 237n *N（1）求数列 的通项公式；（2）设 132nnba，求数列 nb的前 项和 nT.【答案】 （1） *5nN （2） 64n（2） 1132532nbnn1nTb 11324352n1n6428.已知数列 na的前 项和 2nS，数列 nb满足 1213nna.（1）求 ， b；（2）设 nT为数列 n的前 项和，求 nT.【答案】(1) 21a， 143nb；(2) 15423nn.【解析】（1） 2nS，
14、当 时， 221121nnaSnn（ ） ，又 123，即 满足上式，数列 n的通项公式 2n； 1213ba 14， 4n，29.已知数列 na的首项 1，前 n项和为 *1,2,nnSaN.（1）求数列 的通项公式；（2）设 31lognnb，求数列 nab的前 项和 nT.【答案】 （1） na（2）231nT【解析】（1）由题意得 11,2nnSa两式相减得 123nnaa，所以当 时， n是以 3为公比的等比数列.因为 22111,aaS所以， 13na，对任意正整数成立， na是首项为 1，公比为 3的等比数列，所以得 1n.（2） 313loglnnnba，所以 ，012212123333nnnnnT
