1、导数及应用一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1由直线 1y与曲线 2xy所围成的封闭图形的面积是( )A 34B 3C 31D 21【答案】A2曲线sin1co2xy在点(,0)4M处的切线的斜率为 ( )A 1B C2D2【答案】A3曲线 324yx在点 (1,3)处切线的倾斜角为( )A 6B C 4D 2【答案】C4若 0)32(0dxk，则 k=( )A 1 B 0 C 0或1 D以上都不对【答案】C5 20sinx是( )A 2318B 2314C 2314D 2318【答案】A6由直线 x= ,x=
2、2,曲线 yx及 x 轴所围图形的面积为( )A 154B 174C 1ln2D2ln2【答案】D7函数 )0,(2cos在 点xy处的切线方程是( )A 4B 024yx C yxD【答案】D8 0(sinco)x=( )A2 B4 C D2 【答案】A9设点 P是曲线 323xy上的任意一点, P点处切线倾斜角为 ，则角 的取值范围是( )A 20,)B 50,),)26C 3D 5(,6 【答案】A10曲线 2xy在点 ),1(处的切线方程为( )A 53B 53xyC 13xyD xy2【答案】C11曲线 321yx在点 (1,)6A处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A 49
3、8B 49C 4972D 491【答案】D12函数 xy1在点 处的导数是( )A 8B 81C 16 ( D) 16【答案】D二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上)13132dx(+5)_. 【答案】 714已知一组抛物线 2yaxbc，其中 a为 1、3、5、7 中任取的一个数， b为2、4、6、8 中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线 12x交点处的切线相互平行的概率是 【答案】 315已知 ()xfe，则 (1)f 【答案】 2e16函数 xy的图象在点 eka, 处的切线与 x轴的交点的横坐标为 1ka，其中 *
4、N，10a，则 135a .【答案】 6三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17定义函数 (,),0,yFxx(1)令函数 321logf的图象为曲线 1C求与直线 03154yx垂直的曲线 1C的切线方程；(2)令函数 322(),lgab的图象为曲线 2，若存在实数 b 使得曲线 2在 0,4x处有斜率为 8的切线，求实数 a 的取值范围；(3)当 N*y，且 yx时，证明 ,Fxyx【答案】 （1） xf 3)1()3(log,1)( )3(log22， 由 03log2x，得 3x 又 45xf，由 0f，得x13， 2x又 98f，
5、 切点为 39,28 存在与直线 0354y垂直的切线，其方程为 154yx，即75x(2） )1(log,1)( 23232 baxbxaxFg 由 )lo32ba，得 023 由 8 ，得 8 0)( 23223 xx在 )4,1(上有解082在 1,4x上有解得 xa在 1,4上有解，max,a 而 8)(8x，当且仅当 时取等号， (3）证明： ),(),(xyFxxy)1()(ln(1)l()yxyln1)l*N 令 xh)1ln()，则 2)1ln()(xh， 当 2时， l， 0h， )(x单调递减，当 y时， )(y 又当 21y且时， 1ln2l32hh， 当 ,*xN且 x
6、时， )(x，即 ),(),(yF18某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为 3 元，并且每件产品需向总公司交 a 元（3 a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x 元（ 9 x 11）时，一年的销售量为（12x） 2万件。(1）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价 x 的函数关系式；(2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L 最大，并求出 L 的最大值 Q（a） 。本小题考查函数、导数及其应用等知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力【答案】 （）分公司一年的利润 （万元）与售价 的函数关系式为：2(3)(191Lxax， ，(） 3)(ax(2)8x令
7、0L得 63或 12（不合题意，舍去） 35a ， 3a 在 2x两侧 L的值由正变负所以（1）当 869 即 2 时，max(9)3)(1(6)Laa(2）当 2 即 5 时， 23max 1(6)3126433aaa，所以 399()1452Qaa， ， 答：若 932 ，则当每件售价为 9 元时，分公司一年的利润 L最大，最大值()96)Qa（万元） ；若 952a ，则当每件售价为 263a元时，分公司一年的利润 L最大，最大值31()4（万元） 19 设计一幅宣传画，要求画面面积为 4840cm2，画面的宽与高的比为 ）（ 1，画面的上下各留 8cm 的空白，左右各留 5cm 的空白
8、.(1)试确定画面的高与宽的尺寸，使宣传画所用的纸张面积最小；(2)当 43,2时，试确定 的值，使宣传画所用纸张面积最小。【答案】设画面的高为 xcm，宽为 xc，则 4802，(1)设纸张面积为 S，则有 )1)(62(160)5548)70x当且仅当 时，即 8时， S取最小值，此时，高 cmx480，宽 58xcm.(2)如果 3,2，则上述等号不能成立.函数 S()在 43,2上单调递增.现证明如下：设 4321, 则 1255()0(88)S12120)因为 05832121 ，又 021，所以 )(S，故 )(S在 43,上单调递增, 因此对 43,，当 2时， 取得最小值.20
9、已知函数 bxaxf6)(3在 1处有极大值 7()求 )(xf的解析式；()求 的单调区间；()求 )(xf在 =1 处的切线方程【答案】 () baxf62( ，,7)1(0f2362baa, 3()1fxx() 262f，由 0)(xf得 01262x解得 1x或 2由 0)(x得 ，解得 f的单调增区间为 ),(1,，)(x的单调减区间为 )2() 162xf ,f又f(1)=-13 切线方程为 01)(3yxy即21已知函数 f（x）e xk x， （xR）(1）当 k0 时，若函数 g（x） 的定义域是 R，求实数 m 的取值范围；1fx m(2）试判断当 k1 时，函数 f（x）
10、在（k,2k）内是否存在零点【答案】 （1）当 k0 时，f（x）e xx，f （x）e x1，令 f （x）0 得，x0，当 x0 时，f （x）0，f（x）在（，0）上单调减，在0，）上单调增f（x） minf（0）1，对xR，f（x）1，f （x）10 恒成立，欲使 g（x）定义域为 R，应有 m1实数 m 的取值范围是（1，） (2）当 k1 时，f（x）e xk x，f （x）e xk 10 在（k,2k）上恒成立f（x）在（k,2k）上单调增又 f（k）e kk k1k0，h（k）在 k1 时单调增，h（k）e20，即 f（2k）0，由零点存在定理知，函数 f（x）在（k,2k）内
11、存在零点22设 y=f（x）是二次函数,方程 f（x）=0 有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.(1）求 y=f（x）的表达式；(2）求 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.(2）若直线 x=t（0t1把 y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.【答案】 （1）设 f（x）=ax 2+bx+c，则 f（x）=2ax+b，又已知 f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x 2+2x+c又方程 f（x）=0 有两个相等实根，判别式 =44c=0，即 c=1.故 f（x）=x 2+2x+1.(2）依题意，有所求面积= 31|)31()2( 0201 xdxx .(3）依题意，有 tt )(021 ， 023123 |)1( tt xx， 31t3+t2 t+ =1t3t 2+t，2t 36t 2+6t1=0，2（t1） 3=1，于是 t=1 32.
