1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 题型一 圆的方程例 1(1)过点 A(1，1)， B(1，1)，且圆心在 x y20 上的圆的方程是( )A( x3) 2( y1) 24B( x3) 2( y1) 24C( x1) 2( y1) 24D( x1) 2( y1) 24【解析】 AB 的中垂线方程为 y x，所以由 y x， x y20 的交点得圆心(1,1)，半径为 2，因此圆的方程是( x1) 2( y1) 24，故选 C.【答案】 C(2)已知圆 C 经过 P(2,4)， Q(3，1)两点，且在 x 轴上截得的弦长等于 6，则圆 C 的方程为_【答案】
2、x2 y22 x4 y80 或 x2 y26 x8 y0高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 点评(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程(2)待定系数法若已知条件与圆心( a， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，求出 a， b， r 的值； 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D， E， F 的方程组，进而求出 D， E， F 的值变式：一个圆与 y 轴相切，圆心在直线 x3 y0 上，且在直线 y x 上截得的弦长为 2 ，则该圆的方程7为_【解析】 方法一 所求圆的圆心在直线 x3 y0 上，设所求圆的圆心为(3 a， a)，又所求圆与 y
3、 轴相切，半径 r3| a|，又所求圆在直线 y x 上截得的弦长为 2 ，圆心( 3 a， a)到直线 y x 的距离 d ，7|2a|2 d2( )2 r2，即 2a279 a2， a1.7故所求圆的方程为( x3) 2( y1) 29 或( x3) 2( y1) 29，即 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 方法三 设所求圆的方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则圆心坐标为 ，半径 r .(D2， E2) 12D2 E2 4F在圆的方程中，令 x0，得 y2 Ey F0.由于所求圆与 y 轴相
4、切， 0，则 E24 F.圆心 到直线 y x 的距离为 d ，(D2， E2) | D2 E2|2由已知得 d2( )2 r2，即( D E)2562( D2 E24 F)7又圆心 在直线 x3 y0 上，(D2， E2) D3 E0.联立，解得Error!或Error!故所求圆的方程为 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10.【答案】 x2 y26 x2 y10 或 x2 y26 x2 y10巩固 1（2018 天津文）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为 题型二 与圆有关的最值问题例 2 已知点( x， y)在圆( x2) 2(
5、y3) 21 上，求 x y 的最大值和最小值引申探究1在本例的条件下，求 的最大值和最小值yx【解析】 可视为点( x， y)与原点连线的斜率，yx高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，yx即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线的方程为 y kx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即 1，|2k 3|k2 1解得 k2 或 k2 ，233 233 的最大值为2 ，最小值为2 .yx 233 2332在本例的条件下，求 的最大值和最小值x2 y2 2x 4y 5点评与圆有关的最值问题的常
6、见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解(2)与圆上点( x， y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如 u 型的最值问题，可转化为过点( a， b)和点( x， y)的直线的斜率的最值问题；形如y bx at ax by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如( x a)2( y b)2型的最值问题，可转化为动点到定点( a， b)的距离的平方的最值问题巩固 2 已知点 P(x， y)在圆 C： x2 y26 x6 y140 上(1)求 的最大值和最小值；yx(2)求 x y 的最大值与最小值题型三 与圆
7、有关的轨迹问题高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 例 3 已知圆 x2 y24 上一定点 A(2,0)， B(1,1)为圆内一点， P， Q 为圆上的动点(1)求线段 AP 中点的轨迹方程；(2)若 PBQ90，求线段 PQ 中点的轨迹方程【解析】 (1)设 AP 的中点为 M(x， y)，由中点坐标公式可知， P 点坐标为(2 x2,2 y)因为 P 点在圆 x2 y24 上，所以(2 x2) 2(2 y)24，故线段 AP 中点的轨迹方程为( x1) 2 y21.点评求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根据题目提供的条
8、件列出方程(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程(3)几何法：利用圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等巩固 3 已知 Rt ABC 的斜边为 AB，且 A(1,0)， B(3,0)求：(1)直角顶点 C 的轨迹方程；(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程答案与解析巩固 1【解析】设圆的方程为 20xyDEyF，圆经过三点 0,， 1,， 2,0，高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 则01042FDE，解得20DEF，则圆的方程为 20xy【答案】 xy巩固 2【解析】(1)方程 x2 y26 x6 y140 可
9、变形为( x3) 2( y3) 24.表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)与圆相切时，斜率最大或最小，如图所示yx设切线方程为 y kx，即 kx y0，由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，可得 2，解得 k ，|3k 3|k2 1 92145所以 的最大值为 ，最小值为 .yx 9 2145 9 2145(2)设 x y b，则 b 表示动直线 y x b 在 y 轴上的截距，显然当动直线 y x b 与圆( x3) 2( y3) 24 相切时， b 取得最大值或最小值，如图所示由圆心 C(3,3)到切线 x y b 的距离等于圆的半径 2，可得 2，即| b6|2 ，解得 b62 ，|3 3 b|12 12 2 2所以 x y 的最大值为 62 ，最小值为 62 .2 2高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 (2)设 M(x， y)， C(x0， y0)，因为 B (3,0)， M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得 x ， y ，所以 x02 x3， y02 y.x0 32 y0 02由(1)知，点 C 的轨迹方程为( x1) 2 y24( y0)，将 x02 x3， y02 y 代入得(2 x4) 2(2 y)24，即( x2) 2 y21.因此动点 M 的轨迹方程为( x2) 2 y21( y0)
