1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【高考地位】三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性、灵活性较强。解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取、角的范围的确定、各种情况的分类讨论、及各种隐含条件等等。求三角函数的最值常用方法有：配方法、化一法、数形结合法、换元法、基本不等式法等等。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题.【方法点评】方法一 化一法使用情景：函数表达式形如 类型22()sincosincosfxabxxd解题模板：第一步 运用倍角公式、三角恒等变换等
2、将所给的函数式化为形如 形sincosyaxb式；第二步 利用辅助角公式 化为只含有一个函数名的形式；2sincossin()axbabx第三步 利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值.例 1 已知函数 ，则 在 上的最大值与最小值之3sin2icos4fxxxxf02x，差为 【答案】 3第三步，利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值：高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 当 时， ，故 ，0,2x7,6x1sin(2),6x即函数 的值域为 ，故答案为 f1,23考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域【点评】本题中主要考察了学生
3、三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，进而利用 的范围得到()3sin2i23sincos2in()6fxxxxx 02x，即为换元思想，把 看作一个整体，利用 的单调性即可得出最值，这72,66siny是解决 的常用做法siniyaxb【变式演练 1】设当 时，函数 取得最大值，则 _()2sincofxxcos【答案】 5【解析】考点：辅助角公式，三角函数的最值和值域【变式演练 2】 【山东省枣庄高三一模】已知向量，函数 .sin,co,2cos,axbx 1fxab（1）求 的对称中心；f（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值，并求出 相应的值.fx0,2x【答案】 （1） ；（
4、2）最大值为 ，最小值为 .,8kZ21高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【解析】试题分析：（1）由 ，令 即可得对称中心；12sin4fxabx2 xkZ，（2）由 ，得 ，进而根据正弦函数的图象即可得最值.0,2x3,4x（2）由（1）得 ，sin2co2sin4fxxx因为 ，所以 ，0,x3,4所以 时，即 ， 的最大值为 ，248xfx2当 时，即 时， 的最小值为 .x01【变式演练 3】 【雅安市 2018 届高三诊断】函数 的最小值是_3sincosfxx【答案】 .-23【解析】因为 ，所以 ，由于 xR，所以函数 f(x)的最小sin3c
5、osfxx23sin6fx值为 . 故填 .-23-【变式演练 4】已知 1)4(cos2)sin(co3)2 xxxf 的定义域为 2,0.高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 (1)求 )(xf的最小值.(2) ABC中, 45, 23b,边 a的长为函数 )(3xf的最大值,求角 B大小及 AC的面积.【答案】(1)函数 )(xf的最小值 ；(2) ABC的面积 .91)S【解析】考点：1、三角恒等变形；2、解三角形.【变式演练 5】 【上海崇明区 2018 届高三一模】已知 223sincos1fxx（1）求 的最大值及该函数取得最大值时 的值；fx（2
6、）在 中， 分别是角 所对的边，若 ，且 ，求边 的ABC,abc,ABC7,3ab32Afc值高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【答案】(1) ， ；（2） .6xk【解析】试题分析：（1）跟据二倍角的正弦、余弦公式以及两角和的正弦公式可得，根据正弦函数的图象与性质可得结果；（2）由 ，得2fxsinx 32Af，结合三角形内角的范围可得 或 ，讨论两种情况分别利用余弦定理可求出边36iA6A2的值 . 试题解析：f（x）=2 sinxcosx+2cos2x1= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）（1）当 2x+ = 时，即 x= （kZ） ，f
7、（x）取得最大值为 2；考点：三角函数的图象与性质方法二 配方法高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 使用情景：函数表达式可化为只含有一个三角函数的式子解题模板：第一步 先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数；第二步 利用函数单调性求解三角函数的最值.第三步 得出结论.例 2 函数 xxfsin2co)(的最小值为 【答案】【解析】第一步，先将所给的函数式化为只含有一个三角函数的式子，通常采取换元法将其变为多项式函数： xxfsin2co)(xsin2i1令 ，所以,sint 1ty第二步，利用函数单调性求解三角函数的最值
8、：所以 在 上为增函数，在 上为减函数12ty, 2，第三步，得出结论：所以 ，故填 3miny考点：1二倍角公式；2一元二次函数的值域【点评】本题解题的关键有两点：一是正确的将函数化简为只含有一个三角函数的式子；二是采用换元法即令 ，将其转化为关于 的二次函数求最值问题.tsinxt【变式演练 5】 【云南保山市 2018 届第二次市级统测】函数 的2cos3in2fxx0,2最大值是_【答案】 14高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【变式演练 6】函数 的最小值是_sinco2sinc,4fxxx【答案】 1【解析】f（x）=sinx+cosx+2sin
9、xcosx，x ，,4化简 f（x）=（sinx+cosx） 2+sinx+cosx1设 sinx+cosx=t，则 t= sin（x）x+ ， 4那么函数化简为：g（t）=t 2+t1x ,x+ 0， ，所以： 函数 g（t）=t 2+t14 0t1开口向上，对称轴 t= ， 是单调递增当 t=0 时，g（t）取得最小值为-1求函数 的最大值与最小值.2474sinco4scoyxx【高考再现】1.【2018 年全国 I 卷】已知函数 ，则2sinfxA 的最小正周期为 ，最大值为 3fxB 的最小正周期为 ，最大值为 4C 的最小正周期为 ，最大值为 3fx2D 的最小正周期为 ，最大值为
10、 4高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【答案】B【解析】分析：首先利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为 ，35cos2fx之后应用余弦型函数的性质得到相关的量，从而得到正确选项.点睛：该题考查的是有关化简三角函数解析式，并且通过余弦型函数的相关性质得到函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，得到最简结果.2.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 为 的零点,()sin)(0),24fx+x， ()fx为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为( )4x()yfxf51836，（A）11 （B）9 （C）7
11、 （D）5【答案】B考点：三角函数的性质【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 意本题解法中用到的两个结论: 的单调区间长度是半个周期;若sin0,fxAx的图像关于直线 对称,则 或 .sin0,fxAx0fxA0fx3. 【2015 高考安徽，理 10】已知函数 （ ， ， 均为正的常数）的最小正周sifxx期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）23xf（A） 0ff（B） 02f（C） f（D） ff【答案】A【考点定位】1.三角函数的图象与
12、应用；2.函数值的大小比较.【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出 ，通过最值判断出 ，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可. 4.【2015 高考陕西，理 3】如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）3sin()6yxk高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 A5 B6 C8 D10【答
13、案】C【解析】由图象知： ，因为 ，所以 ，解得： ，所以这段时间水深min2ymin3yk32k5k的最大值是 ，故选 Cax358k【考点定位】三角函数的图象与性质【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“最大值” ，否则很容易出现错误解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法本题从图象中可知时， 取得最小值，进而求出 的值，当 时， 取得最大值sin16xyksin16xy5.【2018 年全国卷 II】若 在 是减函数，则 的最大值是()= , A B C D 4 2 34 【答案】A【解析】分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包
14、含关系确定 的最大值点睛：函数 的性质： =(+)+(0,0)(1) . (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由=+， =2. +=2+()求增区间; 2+2+2+2()由 求减区间.2+2+32+2()高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 6.【2015 高考湖南，理 9】将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的()sin2fx(0)2()gx图像，若对满足 的 ， ，有 ，则 （ ）12()fxg112min3xA. B. C. D.512346【答案】D.【考点定位】三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，
15、高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对)sin()(xAxf三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.7.【2017 全国 II 文，13】函数 的最大值为 . ()2cosinfxx【答案】 58.【2018 年全国卷】函数 在 的零点个数为_()=(3+6) 0 ， 【答案】 3【解析】分析：求出 的范围，再由函数值为零，得到 的取值可得零点个数。3+6 3+6详解： 063+6196高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 由题可知 ，或3+6=2， 3+6=
16、32 3+6=52解得 ,或=9,49 79故有 3 个零点。点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。9. 【2016 高考江苏卷】在锐角三角形 中，若 ，则 的最小值是 .ABCsin2isnBCtantABC【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量ABCtanttanttanABCABC关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识10.【2017 全国 II 理，14】函数 （ ）的最大值是 。
17、23sicos4fxx0,2【答案】1【解析】【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 二次不等式统称“三个二次” ，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：开口方向；对称轴位置；判别式；端点函数值符号四个方面分析。11.【2018 年北京卷】设函数 f（ x）= ，若 对任意的实数 x 都成立，则 的(6)(0) ()(4)最小值为_【答案】23【解析】分析：根据题意 取最大值，
18、根据余弦函数取最大值条件解得 ，进而确定其最小值.(4)详解：因为 对任意的实数 x 都成立，所以 取最大值，所以()(4) (4)，因为 ，所以当 时， 取最小值为 .46=2()， =8+23() 0 =0 23点睛：函数 的性质=(+)+(0,0)(1) .=+， =(2)周期=2.(3)由 求对称轴，最大值对应自变量满足 ，最小值对应自变量满+=() +=2()足 ，+=+2()(4)由 求增区间; 由 求减区间.2+2+2+2() 2+2+32+2()12.【2017 浙江，18】已知函数 f（ x）=sin 2xcos2x sin x cos x（ x R）3（）求 的值)3(f（
19、）求 的最小正周期及单调递增区间x【答案】 （）2；（）最小正周期为 ，单调递增区间为 Zkk32,6【解析】高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （）由 与 得xx22sincosxcosin2i)6(3)( f所以 的最小正周期是x由正弦函数的性质得 Zkxk,232解得 Zxk,36所以 的单调递增区间是 )(f kk3,6【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数 xAysin的性质，属于基础题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数
20、的性质，首先都应把它化为三角函数的基本形式即 xysi，然后利用三角函数 uAysin的性质求解13. 【2018 年北京卷】已知函数 .()=2+3（）求 的最小正周期； ()（）若 在区间 上的最大值为 ，求 的最小值.()3, 32 【答案】 （） . （） .3【解析】分析：（1）将 化简整理成 的形式，利用公式 可求最小正周期；（2）根据() ()=(+)=2|，可求 的范围，结合函数图像的性质，可得参数 的取值范围. 3, 26 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （）由（）知 .()=(26)+12因为 ，所以 .3, 2656,26要使得 在
21、上的最大值为 ，即 在 上的最大值为 1.()3, 32 (26) 3,所以 ，即 .262 3所以 的最小值为 .3点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负.【反馈练习】1将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则函数()=(2+)(|0)(6)=(3) () (6,3) 值为（ ）A B C D 23 113 143 73【来源】 【全国市级联考】辽宁省朝阳市普通高中 2018 届高三第三次模拟考试数学（文）试卷【答案】C【解析】分析：首先根据 ，且 在区间 内只
22、有最小值，没有最大值，确定函数取最小值(6)=(3) () (6,3)时自变量 所满足的条件，之后确定 的表达式，进而求出 的值，得到结果. 详解：如图所示，因为 ，且 ，()=(+3) (6)=(3)又 在区间 内只有最小值，没有最大值，()(6,3)所以 在 处取得最小值，()6+32 =4所以 ，所以 ，4+3=22 =8103()当 时， ，此时函数 在区间 内存在最大值，=2=16103=283 () (6,3)故 ，故选 C.=143点睛：该题考查的是有关三角函数型的函数解析式中的参数求解问题，在解题的过程中，需要把握题中的条件，两个自变量对应函数值相等的等价条件是什么，从而找出对
23、应的等量关系式，再结合题中的条件在相应区间上没有最大值，对 的值进一步确定，求得结果 .3已知函数 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 的()=(+3)(0)(6)=(3) () (6,3) 值为（ ）A B C D 23 113 73 143【来源】 【全国市级联考】辽宁省朝阳市普通高中 2018 届高三第三次模拟考试数学（理）试题高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【答案】D【解析】分析：由 可得 是函数 对称轴，从而可求得 ,结合(6)=(3) =4 ()=(+3) =8103在区间 上有最小值，无最大值可得结果. ()(6,3)点睛：本题主要考
24、查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函数的周期为=(+)；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.2 +=+2 +=4函数 在区间 上的最小值是（ ）sin4fxsincos4xx3,24A B 0 C 1 D 212【来源】 【全国省级联考】四川省 2018 届高三“联测促改”活动数学（文科）试题【答案】A5已知函数 ，过点 ， ，则且当2sin0,2fxx,012A,23B，且 的最大值为 ，则 的值为（ ）,12xsin46gmfx3m高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 A B C 和 D 和581258125812【来源】 【全国校
25、级联考】河南省中原名校 2018 届高三上学期第五次联考数学（理）试题【答案】B【解析】由图可知， ，解得 ,于是 ，得 .14324TT2因为 ，即 .2sin3fsin13所以 ，又 ，故 .k,Z26所以 .2sin6fxx 2i4m sin2cos4m sin216366gmf xxxsinx.2216sinx因为 ，于是 ，所以 .5,120,63xsin20,16x当 时，当且仅当 时， 取得最大值 1，与已知不符；0msing当 时，当且仅当 时， 取得最大值 ，1i216xx2m由已知得 ，解得 .23m当 时，当且仅当 时， 取得最大值 .1msin216xgx41由已知得
26、，解得 ,矛盾.3458高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 综上所述： .12m故选 B. 点睛：已知函数 的图象求解析式sin(0,)yAxBA(1) .maximain,22y(2)由函数的周期 求T(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 6已知函数 对任意 都满足 ，则函数sincofxaxRx4fxfx的最大值为sigxfA 5 B 3 C D 53【来源】 【全国市级联考】吉林省普通中学 2018 届高三第二次调研测试数学理试题【答案】C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数 满足yfx或 ，则函数图象关于直线 对称；
27、研究函数faxf2faxfxa的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成sincosAB高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 的形式.2sinfxABx7函数 的最大值是_()=22+1【来源】 【全国市级联考】重庆市 2018 届高三下学期第三次诊断性考试数学（理）试卷【答案】52【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.详解：因为 ，()=22+1所以()=1+2+1221=2+1221+(12)2=52.即最大值是 .52点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变
28、换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征=(+)+8函数 的值域为_()=13(2+6)【来源】 【全国市级联考】内蒙古鄂伦春自治旗 2018 届高三下学期二模（420 模拟）数学（文）试题【答案】 2,4【解析】1(2+6)133(2+6)3213(2+6)4函数 的值域为()=13(2+6) 2,49设 （ ） ，则 的最大值为_，此时自变量 的值为sincosfxx0,fx x_【来源】 【全国百强校】浙江省余姚中学 2017-2018 学年高一 4 月质量检测数学试题【答案】 2 6高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬
29、丰厚。 10若函数 在开区间 内，既有最大值又有最小值，则正实数sin4fxm2sinx70,6的取值范围为_【来源】 【全国市级联考】山东省聊城市 2018 届高三一模数学（文）试题【答案】 23【解析】 ,2sinfxmx其中 , ,故 ,解得 ,故tan2706x76x2 32,解得 .tt3m3m11函数 在 时的最大值与最小值之和为22cosinsinicosfxxx ,46x_【来源】 【全国百强校】河北省沧州市普通高中高三上学期教学质量监测（联考）数学（文）试题【答案】1高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 12函数 的最大值是_.2cos3sin
30、3fxx【来源】 【全国校级联考】江西省莲塘一中、临川二中 2018 届高三上学期第一次联考数学（文）试题【答案】 3【解析】整理函数的解析式： 2cos63132,6fxxincsxsinx据此可得，当 时，函数 取得最大值 .si1fx23高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 13已知函数 。223sinco1sfxxx（1）求 的最小正周期：（2）求 在区间 上的最大值和最小值。fx,64【来源】 【全国区间联考】2018 年北京市门头沟一模文科数学试题【答案】 （1） ; (2)见解析.T【解析】试题分析：（1）先根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本
31、三角函数形式，再根据正弦函数周期公式求 的最小正周期， （2）先根据 得 取值范围，再根据正弦函数在区间fx ,64x26x上单调性确定最大值和最小值.2,6314已知函数 .2cos3incos1fxx（1）求函数 的最小正周期;（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值.fx,2【来源】 【全国区级联考】石景山区 2018 年高三理科数学统一测试(一模)【答案】 （1） ；（2） ， max1fmin2f高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【解析】试题分析：（）根据三角函数的恒等变换，化简得 ，即可求解函数的最2sin6fx小正周期；（）由 ，得 ，利用正弦
32、型函数的图象与性质，即可求解函数的最大值与最2x713266x小值试题解析：（1） 2cos3incos1fxxs23inx2ii6所以周期为 .2T15已知 .12sincos3,0,64fxx（1）求 的最大值、最小值；f（2） 为 的内角平分线，已知 ， ，求 CDABmaxmin,ACfBf2CD【来源】 【全国校级联考】湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”2018 届高三 2 月联考数学（文）试题【答案】(1) 见解析 (2) 2【解析】试题分析:（1）先根据两角和正弦公式展开，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最值
33、（2）根据角平分线性质得 ，再根据余弦定理得2ADB高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 4（ ） ，解得 ，即得 172cos42cosC2csC试题解析：（1） 6infx在 上， 上fx0,4maxmin6,3ff 中， ADCsii2ACcD 中BinsiBin,6,3ACAC2D 中， B217cos,2 中， A46842cosC， 2cosC16已知函数 的部分图象如图所示sin0,6fxAx（1）求 的值及 的单调增区间；,f（2）求 在区间 上的最大值和最小值fx,64【来源】 【全国校级联考】安徽省宣城市三校（郎溪中学、宣城二中、广德中学）2017-2018 学年高一 1 月高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 联考数学试题【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据图象求得 ，可得 ，故 ，把 看作一个整体，并根1,AT2sin26fxx据正弦函数的单调增区间可得函数 的单调增区间。 （2）由 可得 ，fx4263根据正弦函数的性质可得 ，从而可得函数的最大值和最小值。12sin6（2） ，64x ,23 ,1sin126x高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 .12sin26x函数 在区间 上的最大值为 2，最小值为 。f,41
