1、【考点剖析】1.命题方向预测：（1）平面向量的线性运算是考查重点共线向量定理的理解和应用是重点，也是难点题型以选择题、填空题为主，常与解析几何相联系.（2）平面向量基本定理的应用及坐标表示下向量共线条件的应用是重点向量的坐标运算可能单独命题，更多的是与其他知识点交汇，其中以与三角和解析几何知识结合为常见常以选择题、填空题的形式出现，难度为中、低档.2.课本结论总结：（1）向量的有关概念向量：既有大小又有方向的量，两个向量不能比较大小.零向量：模为 0 的向量，记作 0，其方向为任意的，所以 0与任意向量平行，其性质有： 0a=0， +a= .单位向量：模为 1 个长度单位的向量，与 a方向相同
2、的单位向量为 a|.相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 =b.相反向量：长度相等且方向相反的两个向量， 的相反向量为- a，有-(- )= a.(2)向量的线性运算向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律加法 求两个向量和的运算(1)交换律：a b b a.(2)结合律：(a b) c a( b c)减法求 a 与 b 的相反向量 b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 三角形法则a b a( b)数乘 求实数 与向量 a 的积的 (1)| a| |a|；(2)当 ( a)运算 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a的方向与 a 的方向相反；当 0 时， a0( )a；
3、( )a a a； (a b) a b(3) 平面向量基本定理若 a、 b是平面内不共线的向量，向量 c是平面内任意一个向量，则存在唯一实数对 ,xy，使 xyc=+.(4) 共线向量共线向量概念：若两个非零向量 a、 b的方向相同或相反，则称 a与 b共线，也叫 a与 b平行，规定零向量与任意向量共线.两个向量共线其所在的直线可能重合也可能平行. 共线向量定理： a b（ 0） 存在唯一实数 ，使得 = . 若 =（ 1x， y） ， =（ 2x， y） ，则 a b1x2y- 1=0.(5) 平面向量的基本运算若 a=（ 1， ） ， b=（ 2， ） ，则 =（ 1 2， 1 2） ，=
4、（ x， y） ， A（ 1， ） ，B（ 2， ） ，则 AB=（ 2x- 1， 2y- 1）.3.名师二级结论：（1）若 A、B、C 三点共线且 OC，则 =1.（2）若向量 ,ab不共线， xayb，则 0x（3）C 是线段 AB 中点的充要条件是 1()2AOB.(4)若 12(,)(,)AxyB，则线段 AB 的中点坐标为（ 1212,xy）.(4)G 是ABC 的重心的充要条件为 0GC.(5)若ABC 的三个顶点坐标分别为 123(,)(,)(,)AxyBxy，则ABC 重心坐标为123123(,)xy(6)已知 12()(,ABx，且 C，则点 C 的坐标为 1212(,)y.
5、4.考点交汇展示：(1)三角函数交汇【2018 届广东省汕头市潮南区高考(5 月)冲刺】已知(1)若向量 ， ，且 ，求 的值.(2)在 中，角 的对边分别是 ，且满足 ，求 的取值范围【答案】(1) ;(2) .【解析】（1） ， 即 ，所以 . (2)与平面几何交汇【2018 年理新课标 I 卷】在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得，所以 ，故选 A.(3)与基本不等式交汇【黑龙江省 2018 年仿真模拟（八） 】在 中， 为 上一点， ， 为 上任一点，若，则 的最小值是（ ）A 9 B 10 C 11 D
6、12【答案】D【解析】【考点分类】考向一 平面向量的线性运算1.【2018 届云南省红河州统一检测】在 中， ， ，则（ ）A B C D 【答案】C【解析】由已知可得点 是靠近点 的三等分点，又点 是 的中点.故选2.【黑龙江省 2018 年仿真模拟（十一） 】设 是 内一点，且 ， ，则（ ）A B C D 【答案】A【解析】3.【2018 届四川省成都市第七中学三诊】已知 为 内一点，且 ， ，若 , ,三点共线，则 的值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】【方法规律】1. 判定两向量的关系式时，特别注意以下两种情况：（1） 零向量的方向及与其他向量的关系.（2） 单位向量的长度与
7、方向.2. 对任意向量可以自由移动，且任意一组平行向量都可平移到一条直线上.3. 向量不能比较大小，但它的模可以比较大小4.在进行向量的线性运算要能的转化到三角形法、多边形或平行四边形中，运用三角形法则构成“首尾相连”回路，或平行四边形法则，利用三角形中的中位线，相似三角形对应边成比例等平面几何知识，结合实数与向量的积，逐步将未知向量转化为与已知向量有直接关系的斜率求解.5.当 M是线段 AB 的中点时，则 OM= 1()2AB是中点公式的向量形式，应当做公式记忆.6.当已知向量的坐标或易建立坐标系时，常用向量的坐标运算解向量的线性运算问题.【解题技巧】1.进行向量运算时，要尽可能地将它们转化
8、到平行四边形或三角形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线定理、相似多边形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中同样适用运用上述法则可简化运算3. 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理.4. 解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求
9、出向量的坐标解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)的思想【易错点睛】1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.3. 要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况例 1 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(1,0)，(3,0)，(1，5)，求第四个顶点的坐标【错解】 设 A(1,0)， B(3,0)， C(1，5)， D(x， y)2 分因为四边形
10、 ABCD 为平行四边形，则 A ，而( x1， y)， (2，5)BC BC 由 D ，得Error!Error! D(3，5)，故第四个顶点坐标为（-3，-5） BC 【错因分析】此题极易出现思维定势，认为平行四边形只有一种情形，在解题思路中出现漏解实际上，题目条件中只给出平行四边形的三个顶点，并没有规定顺序，可能有三种情形【预防措施】认真阅读试题，分析满足条件的各种情况，若满足条件的情况有多种，需要分类讨论，分类讨论时，要做到不重不漏.【正解】如图所示，设 A(1,0)， B(3,0)， C(1，5)， D(x， y)2 分若四边形 ABCD1为平行四边形，则 ，而 ( x1， y)，
11、(2，5)AD1 BC AD1 BC 由 ，得Error!Error! D1(3，5)AD1 BC 若四边形 ACD2B 为平行四边形，则 2. AB CD 而 (4,0)， ( x1， y5)Error!Error! D2(5，5)AB CD2 若四边形 ACBD3为平行四边形，则 .AD3 CB 而 ( x1， y)， (2,5)，Error!Error! D3(1,5)AD3 CB 综上所述，平行四边形第四个顶点的坐标为(3，5)或(5，5)或(1,5)考向二 共线向量问题1.【2018 年全国卷理】已知向量 ， ， 若 ，则 _【答案】2.【福建省闽侯第二中学、连江华侨中学等五校教学联
12、合体联考】已知平面向量 , , 且 , 则 ( )A B C D 【答案】D【解析】3.【2018 届河北省衡水中学押题卷四】设向量 ， 是两个不共线的向量，若 与 共线，则实数_【答案】【解析】由向量共线可得： ，所以： ，解得【方法规律】1. 向量共线的充要条件中，要注意当两个向量共线时，通常只有非零向量才可以表示与之共线的其它向量，要注意待定系数法和方程思想的应用.2. 对三点共线问题，可以用向量共线来解决，但要注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两个向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.3. 若 A、B、C 三点共线且 OABC，则 =1.【解题技巧】1.一般地，在求与一个已知向量
13、 a 共线的向量时，可设所求向量为 a ( R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量2.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则 a b 的充要条件是 x1y2 x2y1”解题比较方便【易错点睛】若 a( 1,xy)， b( 2x， y)，则 a b的充要条件不能表示成 12xy，因为 2x， y有可能等于 0，所以应表示为 1210.例 已知 (,)ak, (,)bk，且 abA，求实数 x的值.【错解】因为 (2,), (1,)，且 ，所以21()k，解得 k=-3.【错因分析】已知 a(
14、1,xy)， b( 2x， y)，错误将 2xy当做 a b的充要条件，因为 2x， y有可能等于 0.【预防措施】正确记忆和运用 a b的充要条件，已知 a( 1,xy)， b( 2x， y)，则 a b的充要条件是 1210xy0.【正解】因为 (2,)ak, (1,)bk，且 abA， 2(1)()0kKk，解得 k=-3 或 =0.【热点预测】1 【山东省 2018 年普通高校招生（春季） 】在如图所示的平面直角坐标系中，向量 的坐标是（ ）A B C D 【答案】D【解析】因为 A(2,2),B(1,1)，所以选 D.2.【2018 届海南省琼海市高考模拟】若 ， ， ，则以 、 为
15、基底表示的等于（ ）A B C D 【答案】A【解析】3 【2018 届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体冲刺】庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 ， ， ， ， 为顶点的多边形为正五边形，且 .下列关系中正确的是（ ）A B C D 【答案】A【解析】4 【2018 届广东省汕头市潮南区高考(5 月)冲刺】设 P 是 所在平面内的一点， ，则（ ）A B C D 【答案】B【解析】移项得 .故选 B5 【黑龙江省 2018 年仿真模拟(一)】点 为 的重心（三角形三边中线的交点） ，
16、设 ，则( )A B C D 【答案】D【解析】由题意知，+ = ，即 + = ，故 = 2 = 2 ，故选：D6 【2018 届安徽省安庆市第一中学高考热身】平行四边形 中， 是 的中点，若 ，则 ( )A B 2 C D 【答案】D【解析】7 【2018 届四川省宜宾县第二中学校高考适应性考试】如图，在 中， 是边 的中线， 是 边的中点，若 ,则 = （ ）A B C D 【答案】B【解析】由题意，在 中， 是边 上的中线，所以 ,又因为 为 的中点，所以 ,所以 ，故选 B. 8 【2018 届河南省最后一次模拟】在平面直角坐标系中,已知三点 , 为坐标原点若向量与 在向量 方向上的投
17、影相等,则 的最小值为( )A B C D 【答案】B【解析】9.【2018 届广东省佛山市南海区南海中学考前七校联合体高考冲刺】设向量 ， ，若向量 与 同向，则 _；【答案】2.【解析】向量 与 同向解得向量 与 同向，则故答案为10 【黑龙江省 2018 年仿真模拟(二)】已知向量 ， ，若 ，则_【答案】0.【解析】11 【2019 届湖北省部分重点中学高三开学】如图所示，圆 及其内接正八边形已知 ， ，点 为正八边形边上任意一点， ， 、 ，则 的最大值为_【答案】【解析】由题意可知，当 取最大值时，P 点应位于劣弧 上以 OB 所在直线为 x 轴，以 O 为原点建立平面直角坐标系，
18、设圆半径为 1则 当 P 点位于 y 轴上时， ，此时 所以 解得12 【2018 届炎德英才大联考长沙市一中第七次月考】已知 ， 若，则 的最小值为_.【答案】【解析】13.【2018 届宁夏回族自治区银川一中考前适应性训练】已知 的边 的三等分点分别为 , ，若线段 上一点 满足： ，则 的取值范围是_【答案】 .【解析】因为 ，且 B,C,G 共线，所以 ，因为 在线段 上，所以 ，因此14.【2018 届江苏省南通市最后一卷】如图，已知圆 的方程为 ，过点 的直线 与圆 交于点 ，与 轴交于点 ，设 ，求证： 为定值.【答案】证明见解析.【解析】将 代入 ，得 ，则 ， ， ，所以综上， 为定值 .
