1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【目标要求】学习目标 目标解读1 理解等比数列的概念. 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式对等比数列定义的理解（1）公比 q 是指从第 2 项起每一项与前一项的比，顺序不要错，即 由定义可以得出)(1Nnaq这样的结论：等比数列的各项均不为 0，公比 q 也不为 0.公比为 q 的等比数列的前 n 项和 是关于nSn 的分段函数的一系列函数值，其中 q1为分段界限，且等比数列 前 n 项和公a式 是类指数函BAqaSnnn1)(数，且 AB0.2 能在具体的问题情境中，识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.
2、 了解等比数列与指数函数的关系.等比数列公式可变形为 ，说nnqa)(1明等比数列的通项公式可视为“指数型”函数，因此等比数列 的图象是函数na的图象上的一群孤立点。xqay1【核心知识点】1、等比数列的判定方法：（1）根据定义，即寻求 （q 为不为 0 的常数） ；an1（2）根据等比中项，即判断 成立（ ） ；212nan高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （3）根据通项，若通项 能表示成 的形式，则数列 为等nan)0,(qcna比数列。(4)据前 n 项和，若 （ ）或 的1Sn0)1(naS).1,0q形式，则数列 为等比数列。a2. 等比数列的基本
3、性质（1）如果 m，n 为正整数，那么 （q 为公比） 。mnna（2）一般地，如果 为正整数，且 ，则有 ，特别地，当lk, lklknma时，k.2knma（3）在等比数列 中，每隔 k 项（ ）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数N列。（4）如果 ， 均为等比数列，且公比分别为 ，那么数列nab21,q,1nka， ， 仍是等比数列，且公比分别为 ， ， ，)0,(kRna121,q.1（5）如果， ，那么等比数列 是递增数列；1,1qana如果 ，那么等比数列 是递增数列；0,如果 ，那么等比数列 是递减数列；1 n如果 ，那么等比数列 是递减数列。,qaa3、等比数列的
4、计算常常用到三个公式： ， ，n1q)1(1qaSnn.这三个公式中每个公式都是含有四个基本量的等式，已知三个可以求出第四个，)1(1qaSnn这一思想就是方程思想。三个公式综合起来有五个量 ， ，n，q， ，1anS综合运用这些公式，只要知道五个量的任意三个就能求出其余两个，所以等比数列问题的计算过程是一个列方程、解方程的过程。高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 应用公式求和时，应注意到公式的使用条件，当 q1 时，应按常数列求和，即 ；当 时，1naSq，该式是一个指数式与一个常数的和，且指数式的系数与常数项互为qaSnn1)(nqa11相反数。由此可以根
5、据前 n 项和公式判断一个数列是否为等比数列，即非常数列 为等比数列na，应用上述结论时，一定不要忽视条件，否则易出错。aqSn).1,0,1( qaq若数列 为等比数列，且 ，则 ， ， ，仍成等比数列，且公比为 nnSnS2n3nS2 .nq当公比 时， 1qm.q4.等比数列前 n 项和的推导方法及应用:等比数列的前 n 项和公式是用“错位相减法”推导的，这是一种常用的求和方法。实际上，如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用“错位相减法” 。【活动思考，阅读拓展】解决等比数列问题有哪些基本方法？答：（1）注意与等差数列对比，会用类比思想解决问题（2
6、）等比数列的前 项和公式及通项公式涉及到五个量： ，已知其中任意三个，可n 1naqS，通过列方程（组）求出另外两个（3）注意灵活设未知数例如：三个数成等比数列，可设这三数为 ；四个正数或负数成等aq，比数列，可设这四个数为 ；33aq，（4）巧妙利用等比中项的性质： 成等比数列，则 或 ；但要注意，(0)Gba， 2Gabab两个正数或两个负数的等比中项有两个，它们互为相反数；一个正数和一个负数没有等比中项（5）在求等比数列的和时，当 ，易得 ；当 时，该式是一个指数式与一个常数的和，1q1nSq且指数式的系数与常数项互为相反数。【真题展示】高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊
7、跃来稿，稿酬丰厚。 （2018新课标,14）记 Sn为数列a n的前 n 项和若 Sn=2an+1，则 S6= 【答案】-63高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （2018河南信高三二模）已知等比数列a n的前 n 项和为 Sn，a 1+a3= ，且 a2+a4= ，则 等于（ ）A4 n1 B4 n1 C2 n1 D2 n1 【答案】D【解析】等比数列a n的前 n 项和 Sn，且 a1+a3= ，a 2+a4= ，两式相除可得公比 q= ，a 1=2，a n= = ，S n= =4（1 ） ， =2n1，故选：D考法二：等比数列的性质（2018辽宁大连高三
8、二模）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，S 2=1，S 4=5，则 S6=（ ）A9 B21 C25 D63【答案】B【方法归纳】等比数列的性质包含：性质一若 m n k l(m、 n、 k、 lN*)， 则 aman akal；特别地，当 m n2 k，则 aman ak2性质二：公比为 的等比数列，从任意项 开始，依次选取 ， ， ，则这些项组成的数列也qi iikik是等比数列，且公比为 *()ki，性质三已知数列 是等比数列， 是其前 n 项和，则 （关于 n 的指数式） ；nanSnSAq性质四.已知数列 是等比数列， 是其前 n 项和，设 成等比数列。232,kkkNS【考法
9、微炼】 （2018云南玉溪高三模拟）已知等比数列a n公比为 q，其前 n 项和为 Sn，若 S3、S 9、S 6成高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 等差数列，则 q3等于（ ）A B1 C 或 1 D1 或【答案】A【解析】若 S3、S 9、S 6成等差数列，则 S3+S6=2S9，若公比 q=1，则 S3=3a1，S 9=9a1，S 6=6a1，考法三：等比数列的证明【真题印证】【解析】高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 （2018陕西榆林高三三模）已
10、知数列a n的前 n 项和 Sn=2an2 n（1）证明a n+12a n为等比数列；（2）求数列a n的通项公式证明：（1）：S n=2an2 n，S n+1=2an+12 n+1，高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 由可得 an+1=2an+12a n2 n，a n+12a n=2n，数列2 n为等比数列，a n+12a n为等比数列，【重难点突破】考点一：五个基本量的有关计算等比数列的计算问题涉及五个元素：首项 、公比 q、通项 a 、项数 n、前 n 项和 ，在这五个量中，1ans与 q 是确定等比数列的两个基本元素，主要把它们求出来其余的元素便可以求
11、出，但是有时候所需要的1a运算量比较大，需要具体题目解题分析，去寻找较为简捷的方法。例 1 已知 为等比数列， Sn是它的前 n 项和，若 a2a3=2a1， 且 a4与 2a7的等差中项为 5/4，则 S5=nA35 B.33 C.31 D.29【命题立意】本题考查等比数列的通项公式和前 n 项和公式的应用及等差中项的概念，考查学生的运算能力和方程组的思想.【答案】C【解析】231165aq3125()aq两式相除后可解得 ，所以，1,2qa5516()32S高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 考点二：等比数列的性质的应用由于数列是必考内容，所以，在历年的高
12、考试卷中，利用其有关性质求解出一些基本量（n，d， ，na，则问题将会非常方便。如在等比数列中，若 ，有 是常考知识点。)S qpnmqpnma例 2 设 是任意等比数列，它的前 项和，前 项和与前 项和分别为 ，则下列等式中恒nan23,XYZ成立的是A、 B、XZYYXZC、 D、2【答案】D考点三：等比数列的判断与证明判定一个数列是否为等比数列，首先要检验它是否满足等比数列的前提条件：每项均不为零；然后，注意运用下列方法来判定即可。 （1）定义法：即验证 （常数）是否成立，但应注意是从第 2 项起qan1所有项都满足此等式。 （2）等比中项法：三个非零实数 a、A、b，满足 ，则 a、A
13、、b 成等比数列，2A 叫做 a、b 的等比中项。 （3）等比数列通项公式法：等比数列 的通项公式为 （q 为不等n 1n于 0 的常数） ；反之，如果数列 的通项公式为 （q 为不等于 0 的常数，且 ） ，则数na1n 01列 是等比数列。n例 3 在数列 中， =0，且对任意 k ， 成等差数列，其公差为 2k.na1*N2k12k+1a,（）证明 成等比数列；（）求数列 的通项公式；456, n【解析】 （I）证明：由题设可知，高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ， ， ， ，21a324a348a5412a。658考点四：范围、最值问题由于数列是特殊
14、的函数，所以通过研究数列的单调性求解最值是常考知识点，构造数列利用函数的单调性，则思路就变得清晰，这是应用函数理论的最高境界.另外数列与不等式交汇也是命题热点，常常与基本不等式、解不等式交汇考查。 例 4 设a n是等比数列，公比 ，S n为a n的前 n 项和。记 设 为数列2q *217,.nSTNa0nT的最大项，则 = 。nT0【答案】4【解析】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用、均值不等式求最值等基础知识。因为= ，211*()()7,nnnaqTN217()()nnq设 ，则有 = = =nqtnT27()1tt26(1)t167(2)1tt高考资源网（ ） ，您身
15、边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 = ，当且仅当 ，即 ，所以当 为数列 的最大项817()292162()tt40nTn时， =4。0n【课堂巩固，夯实基础】一选择题1.已知等比数列 ，且 ， ，那么 等于（ ）na0n 25264534aa53aA、5 B、10 C、15 D、20【答案】A2.已知数列 满足 ，那么数列 是（ ）na12,311nna1naA、等差数列 B、等比数列 C、既是等差数列又是等比数列 D、不是等差数列也不是等比数列【答案】B【解析】由条件得 ，所以数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列。)1(21nnnaa 1na3. 在等比数列 中，若 ，
16、则 的值为（ ）n 4319753 129aA、9 B、1 C、2 D、3【答案】D【解析】由等比数列性质可知 ，所以得 ，又 ，故选 D.245719753aa37a129717a4.若等比数列 对一切正整数 n 都有 ，其中 是 的前 n 项和，则公比 q 的值为（ nanSnS）A、 B、 C、2 D、22121高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【答案】C【解析】当 n1 时， ，得 ；当 n2 时， ，得121aS121an.2于是 ，故选 C.,2qa5.已知各项均为正数得等比数列 中， 则 得值为（ ）n,6)lg(138a15.A、10000
17、B、1000 C、100 D、10 【答案】A【解析】根据等比数列的性质得： ，所以 所以 ，2813a,10638108a又 。15.a0286.已知等比数列 的公比 q B、 ，故选 A.72181qa0,21072a89Sa9答案：A 7.设 是等比数列，有下列四个命题：（1） 一定是等比数列；（2） 一定是等比数列；n n 1na（3） 一定是等比数列；（4） 一定是等比数列，其中正确命题的个数是（ ）na|lgnaA、1 B、2 C、3 D、4【答案】B高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 8.已知 为等差数列， 为等比数列，其公比 ，且 ，若 ，na
18、nb1q),32,1(0nibi 1ba，则（ ）1bA、 B、 C、 D 或66a6a66ba【答案】B【解析】 由 ，得 ， ，由 得 ，所以， ，所以，0ib10q1b10qd10aqd ， 所以， 6a 0)2(510511 aqa 6ba二填空题9.设等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则 na2qnnS4a【答案】 ；15【解析】 232341 15Sqaq10.）设 是等比数列，若 ，则 ，数列 的前 项的和 n14,8a na66S【答案】 ；2,63【解析】 ； 412aq66(2)31S11.在等比数列中，若 ， ，431a816514a则 _.43421【答案】1024高
19、考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【解析】由等比数列的性质可知，连续四项的积仍为等比数列，设公比为 q，设， ，因为 ，所以 q2，14321aT 81651434aT314T所以 ，故答案为 1024. 020q12.等比数列 的公比 , 已知 =1， ，则 的前 4 项和 = n21nnanS【答案】： 。152【解析】由 得： ，即 ， ，解得：q2，又 =1，16nnaa116nq062q2a所以， ， 。122)(44S5三解答题13.已知数列 满足： ， ， na10212,nnaa为 偶 数为 奇 数 2,34n求 的值；设 ， ，求证：数列 是
20、等比数列，并求出其通项公式；345, 12nb,3 nb14.设数列 为等比数列，数列 满足 ， ，已知 ，nanb121()n naa N1bm，其中 求数列 的首项和公比；当 时，求 ；设 为数列 的前 项和，23mb0ambnSna若对于任意的正整数 ，都有 ，求实数 的取值范围n1,3nS【解析】由已知 ，所以 ；1ba1m高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 ，所以 ，解得 ；212ba123am2a所以数列 的公比 ；nq当 时， ，1m12nna， ，121()n nba，312na得 ，23nbaa高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
