1、【考点剖析】1.命题方向预测：向量的数量积运算、向量的垂直是高考考查的热点，属中低档题目平面向量数量积、夹角模的计算、向量垂直条件以及数量积的性质等，常以客观题形式命题；解答题常与平面几何、三角函数、解析几何、不等式等交汇命题，重视数形结合与转化化归思想的考查2.课本结论总结：（1）两个向量的夹角定义：已知两个非零向量 a 和 b，作 OA a， B b，则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角范围：向量夹角 的范围是 0 180, a 与 b 同向时，夹角 0； a 与 b 反向时，夹角 180.向量垂直：如果向量 a 与 b 的夹角是 90，则 a 与 b 垂直，记作 a b.（2）平面向
2、量数量积已知两个非零向量 a 与 b，则数量| a|b|cos 叫做 a 与 b 的数量积，记作 ab，即ab| a|b|cos ，其中 是 a 与 b 的夹角规定 0a0.向量的投影：| |cos叫向量 在向量 方向上的投影当 a b 时， 90，这时 ab0. ab 的几何意义：数量积 ab 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos 的乘积（3）向量数量积的性质如果 e 是单位向量，则 ae ea. a bab0. aa| a|2， |=.cos |b|.( 为 a 与 b 的夹角)| ab| a|b|.（4）数量积的运算律交换律： ab ba.分配律：( a
3、b)c ac bc.对 R， (ab)( a)b a( b)（5）数量积的坐标运算设 a( a1， a2)， b( b1， b2)，则： ab a1b1 a2b2. a ba1b1 a2b20.| a| .a21 a2cos |b| 122ab.( 为 a 与 b 的夹角)3.名师二级结论：(1)向量 b 在 a 的方向上的投影为| b|cos = |ab.（2）若向量 a b，且 b= 1(,)xy，则可设 a= 1(,)xy.4.考点交汇展示：(1)与平面几何交汇1.【2018 年理数天津卷】如图，在平面四边形 ABCD 中， ， ， ， . 若点 E 为边 CD 上的动点，则 的最小值为
4、 A. B. C. D. 【答案】A结合二次函数的性质可知，当 时， 取得最小值 .本题选择 A 选项.(2)与平面解析几何交汇2.【2018 年理新课标 I 卷】设抛物线 C： y2=4x 的焦点为 F，过点（2，0）且斜率为 的直线与 C 交于M， N 两点，则 =（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】D【解析】根据题意，过点（2，0）且斜率为 的直线方程为 ，与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，解得 ，又 ，所以 ，从而可以求得 ，故选 D.(3)与不等式交汇3.【衡水金卷】2018 届四省名校第三次大联考】如图，在 中，已知 ， 为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ， ，
5、则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】4.【2016 高考浙江】已知向量 a、 b, a =1， b =2，若对任意单位向量 e，均有 ae+ be 6 ,则 ab 的最大值是 【答案】 12【解析】 2 1|(ab)|b|6|ab|6|a|ba6b2ee，即最大值为 12.（3）与三角函数交汇5.【2018 届江苏省盐城市东台中学监测】已知向量 满足 ，且 与 的夹角的正切值为 ， 与 的夹角的正切值为 ， ，则 的值为_【答案】 .【解析】令 ，则 ，所以 ，所以 ，由正弦定理可得 ，所以 .故答案为：6.【2016 高考浙江】已知平面向量 a， b，| a|=1，
6、| b|=2， ab=1若 e 为平面单位向量，则|ae|+|be|的最大值是_【答案】 7【考点分类】考向一 平面向量数量积及其几何意义1.【2019 届四川省成都市第七中学零诊】如图，在平面四边形 中， ， ， .若点 为边 上的动点，则 的最小值为_【答案】【解析】2.【2017 天津，理 13】在 ABC 中， 60 ， 3AB， 2C.若 BDC，()AECR，且 4DE，则 的值为_.【答案】 31 【方法规律】1.平面向量数量积的计算方法已知向量 a， b 的模及夹角 ，利用公式 ab| a|b|cos 求解；已知向量 a， b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解；用平面向量数量积
7、的几何意义计算.2.对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算 【解题技巧】1. 在解决与平面几何有关的数量积问题时，充分利用向量的线性运算，将所求向量用共同的基底表示出来，再利用平面向量的数量积数量积运算法则求解.2. 计算向量 b在向量 a方向上的投影有两种思路：思路 1，用| b|cos计算;思路 2，利用 ab|计算.3. 在计算向量数量积时，若一个向量在另一个向量上的投影已知或易计算，可以利用向量数量积的几何意义计算.【易错点睛】1.向量的数量积不满足消去率和结合律.2.一个向量在另一个向量方向上的投影是一个数值，不是向量也不是线段长度，是一个实数
8、，可以为正，也可以为负，还可以为 0.3.若 ab=0,则 a=0 或 b=0 或 a b,与实数乘积不同.例 已知平面向量 a,b,c，下列说法中：若 ab=ac,则 a=c； a(bc)=(ab)c;若 ab=0,则 a=0 或 b=0; ab| a|b|，正确的序号为 .【错解】【错因分析】没有掌握平面向量数量积的运算法则和平面向量数量积的性质，套用实数的运算法则和性质.【预防措施】熟练掌握平面向量数量积的运算法则和平面数量积的性质.【正解】因平面向量的数量积不满足消去率和结合律，故，因若 ab=0,则 a=0 或 b=0 或 a b，故错，根据平面向量的数量积的性质知正确，故正确的说法
9、序号为考向二 平面向量垂直、平面向量夹角1.【2018 年文北京卷】设向量 a=（1,0） ， b=（1, m）,若 ，则 m=_.【答案】2.【2017 课标 1，文 13】已知向量 a=（1，2）， b=（ m，1）若向量 a+b 与 a 垂直，则 m=_【答案】7【解析】3.【2017 山东，理 12】已知 12,e是互相垂直的单位向量，若 123e与 12e的夹角为 60，则实数的值是 .【答案】 3【方法规律】1.对平面向量夹角问题(1)当 a， b是非坐标形式时，需要先求出 ab及| |、| |或它们的关系.(2)若已知向量 ， 的坐标，直接利用公式求解.2. 利用向量垂直的充要条
10、件将向量垂直问题转化为向量数量积来解决.【解题技巧】1.非零向量垂直 a,b 的充要条件： a bab0| a b| a b|x1x2 y1y20.2 a bab0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题【易错点睛】1.用向量夹角处理夹角问题时，要注意所求角与向量夹角的关系.2.若两个向量夹角为锐角，则 cos0，反之，不一定；若两个向量夹角为钝角，则 cos小于 0，反之，不一定3. 两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角4.a bab0 是对非零向量而言的，若 a0 时， ab0，但不能说
11、a b.例 已知向量 (1,2)(,)bx，且向量与 夹角为锐角，求 x的范围；【错解】因为向量 a与 夹角为锐角，所以 =x+20，解得 -2.【错因分析】从 0b出发解出 x的值，忽视剔除 ,ab同向的情况【预防措施】解题时，每步都要求是等价转化，在转化时，要认真分析各种情况，要做到不重不漏.【正解】因为向量 a与 夹角为锐角，所以 =x+20，解得 x-2.当 x= 12时， 与 b同向，故 x的范围为 1(2,)(,).考向三 平面向量模1.【2018 年浙江卷】已知 a， b， e 是平面向量， e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 满足 b24eb+3=0，则
12、| ab|的最小值是A. 1 B. +1 C. 2 D. 2【答案】A2.【2017 课标 1，理 13】已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|=2，| b|=1，则| a +2 b |= .【答案】 23【解析】试题分析： 22|4|41cos60412abab所以 |13.秒杀解析：利用如下图形，可以判断出 2ab的模长是以 2 为边长的菱形对角线的长度，则为 23.【方法规律】对平面向量的模问题，若向量 a是非坐标形式，用 2|a求模长；若给出向量 a的坐标，则用|a|= 21xy来求解.【解题技巧】1.计算向量模时，要先将所计算模的向量用基底表示出来，再利用模公式 2|a转化为平
13、面向量的数量积，利用平面向量的运算法则计算.2对平面上两点间的距离、线段的长度问题，可转化其对应向量的模问题来解决.【易错点睛】在计算向量模问题时，要正确应用模公式，避免出现如下错误： ab| a|b|和| ab| a|b|.例 已知| a|=1，| b|=2，向量 a与 b夹角为 120o,求| 3|.【错解】| 3|= 222()9|6|b= 22916=5.【错因分析】错用 ab| a|b|,平面向量的数量积的概念与性质掌握不牢.【预防措施】熟练掌握平面向量的数量积的定义、运算法则和性质，会用公式 2|a和平面向量的数量积的知识计算向量的模, 避免出现如下错误： ab| a|b|和| a
14、b| a|b|.【正解】| 3ab|= 222()9|6|ab= 221916()= 7.【热点预测】1.已知向量 13(,)2BAuv， 31(,)2BCuv，则 ABC（ ）(A)30 (B)45 (C)60 (D)120【答案】A2 【2018 届湖北省宜昌市葛洲坝中学高三 9 月月考】已知单位向量 满足 ，则 与 的夹角是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， 即 如图= 即是第二象限的角平分线，所以由图可见 与 的夹角是 ，故选 D. 3 【2018 届陕西省咸阳市 5 月信息专递】已知两个向量 和 的夹角为 ， ，则向量 在 方向上的正射影的数量为（ ）A B C D
15、 【答案】D【解析】两个向量 和 的夹角为 ， ， ，向量 在向量 方向上的正射影为 =故选：D4 【2018 届河南省洛阳市期中】向量 ,ab均为非零向量， 2,abab，则 ,的夹角为（ ）A. 3 B. 2 C. 3 D. 56【答案】A5 【2018 届黑龙江省仿真模拟（五） 】已知向量 ， ，则当 时， 的取值范围是_【答案】 .【解析】，因此 ，故 因为 ，故 ，所以填 6 【2018 届浙江省嘉兴市第一中学高三 9 月测试】若 ，且 ， ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示： ， ， ， ，点 C 在劣弧 AB 上运动，表示 C、D 两点间的
16、距离 .的最大值是 ， 最小值为 .故选：D. 7 【2018 年江苏卷】在平面直角坐标系 中， A 为直线 上在第一象限内的点， ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若 ，则点 A 的横坐标为_【答案】3【解析】8 【2018 届河南省郑州外国语学校调研】已知向量 ，向量 在 方向上的投影为 ，且，则 _【答案】5【解析】由已知得 ， ，由 得： ，即 ，.故答案为：5.9 【2018 届黑龙江省仿真模拟(三)】已知单位向量 ， 的夹角为 ，则向量 与 的夹角为_【答案】【解析】10 【2018 届湖北省宜昌市一中考前训练 2】在 中， ，点 是 所在平面内一点，则当 取得
17、最小值时， _【答案】24.【解析】分析：由 ，可得 ，可得 ，以 为坐标原点建立坐标系，设，由 展开后配方整理，可得当 时取得最小值，求得 ，再由数量积的坐标运算求解.详解：11 【2018 届河北省唐山一中强化提升（一） 】已知向量 的夹角为 ， ，则_.【答案】【解析】的夹角为 ， ，则故答案为12 【2018 届上海市大同中学三模】如图直角梯形 中， ， ， ， .点是直角梯形区域内任意一点， .点 所在区域的面积是_【答案】【解析】如图所示， ABE 中， , ， ， 分别为边 的中点，则梯形 即为满足题意的图形，以 为直径的圆 及其内部的点满足 ，则图中的阴影部分为满足题意的点 所
18、在区域.其中 BFG 为边长为 1 的等边三角形，其面积 ，扇形 是半径为 1，圆心角为 120的扇形，其面积为 ，综上可得：点 所在区域的面积是 .13.【2018 届辽宁省葫芦岛市二模】如图，已知 为 中点，以 为直径在 同侧作半圆，分别为两半圆上的动点， （不含端点 )，且 ，则 的最大值为_【答案】【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得以 为直径的半圆方程为 以 为直径的半圆方程为（ ，设 可得 14.【2018 届江苏省盐城市东台中学监测】在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ，且 （1）求角 的大小；（2）若ABC 的外接圆的半径为 ，若 ，求 的值【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由 ，得 ，即 所以 ，即 ，所以 因为 ，所以
