1、跟踪知识梳理考纲解读：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.考点梳理：1.平面的基本性质(1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)(2)公理 2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)(3)公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，
2、有且只有一个平面推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类Error!直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补3.异面直线所成的角异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的锐角或直角叫作异面直线 a， b 所成的角(或夹角)范围： 2,0(.异面直线的判定方法：判定
3、定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面4.直线与平面所成角1直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin |cos | .|en|e|n|5.二面角1求二面角的大小(1)如图 1， AB、 CD 是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD(2)如图 2、3， 12,n分别是二面角 l 的两个半平面 ， 的法向量，则二面角的大小1,(或
4、,)核心能力必练一、选择题1(2018 安徽黄山二模,4)下列说法中,错误的是 ( ) A.若平面 平面 ,平面 平面 =l,平面 平面 =m,则 l m B.若平面 平面 ,平面 平面 =l,m ,m l,则 m C.若直线 l平面 ,平面 平面 ,则 l D.若直线 l平面 ,平面 平面 =m,直线 l平面 ,则 l m 【答案】C【解析】对于 A,由面面平行的性质定理可知为真命题,故 A 正确;对于 B,由面面垂直的性质定理可知为真命题,故 B 正确;对于 C,若 l , ,则 l 或 l ,故 C 错误;对于 D,由线面平行的性质定理可知为真命题,故 D 正确.综上,选 C.2(201
5、8 河南洛阳二模,4)若 m,n 是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.m ,n ,且 ,则 m n B.m ,n 且 ,则 m n C.m ,n 且 ,则 m n D.m ,n 且 ,则 m n【答案】B3(2018 湖北重点中学协作体 4 月联考,5)设 m,n 是平面 内的两条不同直线, l1,l2是平面 内两条相交直线,则 的一个充分不必要条件是 ( ) A.l1 m,l1 n B. m l1,m l2 C.m l1,n l2 D. m n,l1 n【答案】B【解析】由 m l1,m l2及已知条件可得 m ,又 m ,所以 ;反之, 时未必有 m l
6、1,m l2,故“ m l1,m l2”是“ ”的充分不必要条件,其余选项均推不出 ,故选 B. 4(2017 中原名校联盟 4 月联考,4)已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出 m 的是 ( ) A. 且 m B. 且 m C.m n 且 n D. m n 且 n 【答案】C【解析】对于选项 A, 且 m ,可得 m 或 m 与 相交或 m ,故 A 不成立;对于选项 B, 且 m ,可得 m 或 m 或 m 与 相交,故 B 不成立;对于选项 C,m n 且 n ,则 m ,故 C 正确;对于选项 D,由 m n 且 n ,可得 m 或
7、m 与 相交或 m ,故 D 不成立.故选 C. 5.(2018 湖南衡阳 3 月模拟,7)设 、 是空间两个平面, m、 n、 l 是空间三条直线,则下列四个命题中,逆命题成立的个数是 ( ) 当 n 时,若 n ,则 当 l 时,若 l ,则 当 n ,且 l 时,若 l ,则 n l 当 n ,且 l 是 m 在 内的射影时,若 n l,则 m n. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C6设 是两个平面， 是两条直线，有下列三个命题：,mn（1）如果 ，那么 ；（2）如果 ，那么 ；,/,/mnmn（3）如果 ，那么 ./其中正确命题的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.
8、 3【答案】C【解析】对于， ，则 可能相交，垂直，平行，故错误；对于，因为,/mn,，所以 ，故正确；对于，由两个平面平行的性质可知正确.故选 C.,/n7下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A. 一个平面内的两条直线平行于另一个平面B. 一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C. 平行于同一个平面的两个平面D. 垂直于同一个平面的两个平面【答案】C【解析】A 错在没有说明两条直线相交，如果是两条平行线就不能证明两个平面平行，B 也是一样，也有可能是无数条平行线，也不能说明两个平面平行，D 中的两个平面有可能相交，只有 C 成立，故选 C.8给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一
9、个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中，为真命题的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 和【答案】D【解析】这两条直线缺少“相交”这一限制条件，故错误；中缺少“平面内”这一前提条件，故错误9设 ， 是两个不同的平面， ， 是两条不同的直线，且 ， ，则（ ）lmlmA若 ，则 B若 ，则lC若 ，则 D若 ，则/ /l【答案】A10已知空间三条直线 若 与 异面，且 与 异面，则 （ ）,.lmnllnA 与 异面 B 与
10、相交mnC 与 平行 D 与 异面、相交、平行均有可能【答案】D【解析】 m 与 n 可能异面（如图 3） ，也可能平行（图 1） ，也可能相交（图 2） ，11已知 是两个不同的平面， 为两条不重合的直线，则下列命题中正确的为（ ）,mnA若 ， ， ，则nB若 ， ， ，则mnmn C若 ， ， ，则D若 ， ， ，则 n n 【答案】C【解析】A 中 可能平行，相交或直线在平面内；B 中两平面可能平行也可能相交；C 中由面面垂直的,m判定可知结论正确；D 中两平面可能平行也可能相交. 12已知异面直线 与 所成角为 60，过空间内一定点 且与直线 所成角均为 60的直线有（ abP,ab
11、）A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条【答案】C13如图， 为正方体，下面结论错误的是（ ）1ABCDA. 平面 B. BD 1C1ACBDC. 平面 D. 异面直线 与 所成的角为 601A1【答案】D【解析】在正方体中 与 平行，因此有 与平面 平行，A 正确； 在平面 内的B1B1C1CABD射影 垂直于 ，因此 ，B 正确；与 B 同理有 与 ， 垂直，从而 平面ACBD1AC1ACD1B1AC，C 正确；由 知 与 所成角为 45，D 错故选 D1 114正四棱柱 中， ，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）1211A. B. C. D. 0130363【答案】A【解
12、析】连接 交 于点 ，连接 ，则 为 与平面 所成角.设 ，则ACBDO11ADO11BDABa，所以 ，故选 A. 12,5Oa110sin15如图，三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面三角形 是正三角形， 是 的中1ABCA1BC1ABCEBC点，则下列叙述正确的是（ ）A 与 是异面直线 B 平面1CBEAC1BAC D 平面 A1EB1 1【答案】C16已知两个不同的平面 ， 和两条不重合的直线 ， ，则下列四个命题中不正确的是（ ）mnA若 ， ，则 B若 ， ，则mn nC若 ， ， ，则 D若 ， ，则mn m nm【答案】D【解析】对于 A， ， ， 成立，故 A 正确；对于 B，
13、， ，mn ，故 B 正确；对于 C， ， ， ，又 ， ，故 C 正确；对于 nD， ， ，当直线 在平面 内时， 成立，但题设中没有 ，故 D 不正确，m m m故选 D.二、填空题17在如图所示的正方体 中，异面直线 与 所成角的大小为_.1ABCD1ABC【答案】 318将边长为 的正方形 （及其内部）绕 旋转一周形成圆柱，如图， ，11AO1O120AOC，其中 与 在平面 的同侧则异面直线 与 所成的角的大小是 160AOBC1 1B1【答案】 45【解析】设点 在下底面圆周的射影为 ，连结 ，则 ， 为直线 与 所成1BB11BA CB111A角(或补角)， ，连结 ， ，11A
14、BBCO、 12,33ABAOCB为正三角形， ， 直线 与 所成角大小为 .OC tan,114519已知平面 ，直线 ，给出下列四种说法：,mnl（1）若 ，且 ，则 ； （2）若 相交且都在 外， ，则 ；,mn,n （3）若 ，且 ，则 ； n （4）若 ，则 ；,lm l以上说法正确的有_【答案】 （2） （4）20如图，长方体 中， ， ，点 ， ， 分别是 ， ，1ABCD12AB1ADEFG1DAB的中点，则异面直线 与 所成的角是 1CEGF【答案】 90【解析】连接 ，由于 ，所以 即为所求， ，满1,BGF1AEBG 1F115,2,3BGF足勾股定理，故 9021在棱长
15、均相等的正四棱锥 中， 为底面正方形的中心， 分别为侧棱 的中点，PABCDO,MN,PAB有下列结论： 平面 ； 平面 平面 ；PC OMN N ； 直线 与直线 所成角的大小为 .AM90其中正确结论的序号是 .（写出所有正确结论的序号）【答案】三、解答题22如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 为 的中PABCDAB3,2,6,PADPBE点，且 .E（1）求证： 平面 ；（2）若 分别为棱 中点，求四棱锥 的体积.,MN,PBMCN【答案】 （1）证明过程见解析 （2） 34BMCDNV（2）因为 ， 平面 ，所以 平面 ，/BACDPC/BAPCD所以四棱锥 的体积 ，BMCDNBMCD
16、NAV又 分别为棱 中点，所以 ，,P34PCDS所以 3132.4 4BMCDNAAPCDAV23如图，直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 的中1B516BE1ABC点（1）求证： 平面 ；E AC（2）求三棱锥 的体积D【答案】 （1）证明见解析 （2） 12EBCDV【解析】 （1）证明：取 的中点 ，连结 ， ，GA因为 是 的中点，所以 ，且 ，EBC1 12由直棱柱知， ，且 ，又 是 的中点，1A B所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，G DEAD/DEAG又 平面 ， 平面 ，所以 平面 EBC BC24.如图，直三棱柱 的底面为正三角形， 、 、 分别是 、 、
17、 的中点1ABCEFGBC1（1）若 ，求证： 平面 ；1AG（2）若 为 中点， ，四棱锥 的体积为 ，求三棱锥 的表面积D145D1CBD62FAE【答案】 （1）证明见解析 （2） 32【解析】 （1）证明：因为三棱柱 是直三棱柱，所以 ，1ABC1AEB又 是正三角形 的边 的中点，所以 ，又 ，EABEBC所以 平面 ，则 ， 1C1E连接 ，易知四边形 为正方形，则 ，11 1又 ，所以 ，因为 ，所以 平面 GEB GAE1BCAEG25如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 是PABCDABPD,ABCPDE的中点.PC(1)证明： 平面 ； E(2)证明：平面 平面
18、【答案】 （1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】 （1）证明：连接 交 于 ，连接 ，ACBDOE底面 是正方形， 为 中点，又 是 的中点，ABDPC OEP 平面 平面 ， 平面,EA DB26如图，在正三棱柱 中，底面 为正三角形， 分别是棱 的中1ABCABC MNG， ， 1CAB， ，点，且 .12C（1）求证： ；1NM 平 面（2）求证： ；1BAG平 面【答案】 （1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】 （1）证明：设 的中点为 ，连接 ， ， 1ABPNMP ， ， ，12CM=2NP C ， 是平行四边形， ， ， ， .1AB平 面 1AB平 面 1NAB 平 面
19、（2）证明： ，平面 ，C平 面 1CC平 面 ， ， ，G1平 面 MG设 ，则 ，在 中， ，2ACa12aRtMCA 26ACa同理， .16BM ， ，平 面 1B ，221 3ACAa ， ， 21M1M又 ， . GBG平 面27如图，在底面是菱形的四棱柱 中， ， ，1ACDB60AC12AC，点 在 上12ABDE1（1）求证： 平面 ；1B（2）当 为何值时， 平面 ，并求出此时直线 与平面 之间的距离1A C1ABEC【答案】(1)证明见解析 (2)当 时， 平面 ，1AED1B EAC217（2）当 时， 平面 证明如下：1AED1B EAC连结 交 于 ，当 时，点 为
20、 的中点，连结 ，则 ，BCO1DOE1AB所以 平面 ，1所以直线 与平面 之间的距离等于点 到平面 的距离1ABEC1AEC因为点 为 的中点，所以可转化为 到平面 的距离，DD设 的中点为 ，连结 ，则 ，F1F所以 平面 ，且 ，可求得 ，EACE3ACDS所以 ，133DV又 ， ， ，所以 ，2AEC2E72EACS所以 （ 表示点 到平面 的距离） ，解得 ，133EACSd D217d所以直线 与平面 之间的距离为 1B21728在长方体 中， 分别是 的中点， ，过 三点1ABCD,EF1,AD2ABC1AB、 、的的平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体 ，且这个几何
21、体的体积为 1403（1）求证： 平面 ；EF 1（2）求 的长；1A（3）在线段 上是否存在点 ，使直线 与 垂直，如果存在，求线段 的长，如果不存在，BCP1ACD1AP请说明理由【答案】(1)证明见解析 (2) (3)41A291P（2） ，111111042233ABCDABCDBACVVA .14（3）在平面 中作 交 于 ，过 作 交 于点 ，则 . 11Q1QPCB 1P1CD因为 平面 平面 ， ，又 ，1A,CC11DA,A ，又 ， 平面 ,QPD 11又 平面 ， ，1AP ， ， ，又 ， 11RtC 11CQDPQBC 142B四边形 为直角梯形，且高 ， .1APD1521 95A
