1、高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 -精讲深剖古典概型与几何概型为高考的高频考点，试题在选择，填空和解答题中都有出现。由于概率部分具有很强的现实背景，需要学生具有相当的阅读能力和抽象能力，能够从现实问题情境中建立起对应的概率模型进行解决，体现了对数学建模和数据分析等数学核心的考查。近 3 年全国卷古典概型与几何概型试题统计表考点分布全国卷 年份 题号 古典概型 几何概型2018 10 2017 2 I2016 4 2018 8 2017 11 II2016 10 2018 5 2017 18 III2016 5 【2018 全国卷第 8 题】我国数学家陈景润在
2、哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 在不超过 30 的素数中，随机选取3072两个不同的数，其和等于 30 的概率是A B C D12141518【答案】C 【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，从中随机选取两个不同的高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 数有 种不同的取法，这 10 个数中两个不同的数的和等于 30 的有 3 对，所以所求概率 ;210C 2103C5P【解题反思】本题以数学史“哥德巴赫猜想”背景考查古典概型的求解，
3、需要学生具有一定的数学阅读能力，通过阅读理解题意，抽象出相应的古典概率模型，完成求解。体现了数学建模的核心素养；1.（必修 3 第 127 页例 3）同时掷两个骰子，计算：（1）一共有多少种不同的结果？（2）其中向上的点数之和是 5 的结果有多少种？（3）向上的点数之和是 5 的概率是多少？可能的结果列表如下：1 2 3 4 5 61 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）4 （4，1） （4，2） （4，3） （4
4、，4） （4，5） （4，6）5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）【解题反思】如果一个实验有 n 种基本事件，而且这些基本事件的可能性相同，其中事件 A 包含 m 个基本高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 事件，那么事件 A 的概率 P（A）= ，找到所有的基本事件，及事件 A（两个骰子点数和为 5）包含的基mn本事件是关键。一、知识梳理1.频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出
5、现的次数 nA为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A) 为事件 A 出现的频率.nAn(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率.2.事件的关系与运算定义 符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)BA(或 AB)相等关系 若 BA 且 AB A B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件 B 的并事件(或和事件)A B(
6、或 A B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生且事件 B 发生，则称此事件为事件 A 与事件 B 的交事件(或积事件)A B(或 AB)互斥事件若 A B 为不可能事件，则称事件 A 与事件 B 互斥A B对立事件若 A B 为不可能事件， A B 为必然事件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件A BP(A B)13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0 P(A)1. (2)必然事件的概率 P(E)1.(3)不可能事件的概率 P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A B) P(A) P(B).高考资源网（ ） ，您身边的高
7、考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)1 P(B).4.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.5.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.古典概型的概率公式： P(A) .A包 含 的 基 本 事 件 的 个 数基 本 事 件 的 总 数4.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几
8、何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.几何概型的概率公式： P(A) .构 成 事 件 A的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 （ 面 积 或 体 积 ）二、解题指南：1.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：(1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；(2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1 P( )，即运用逆向思维(正难则反)，特别A是“至多” 、 “至少”型题目，用间接法
9、就显得比较简便2.古典概型确定基本事件的两种方法(1)列举法：适合于较简单的试验(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事件时，( x， y)可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同3.对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法(1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时(2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和高考资源网（ ）
10、，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决考点 1、基本的古典概型问题 例 1.从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，分别记为 a， b，则 logab 为整数的概率是_【答案】16【解析】从 2,3,8,9 中任取两个不同的数字，( a， b)的所有可能结果有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共 12 种，其中 log283，log 392 为整数，所以 logab 为整数的概率为 .16例 2.某中学调
11、查了某班全部 45 名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如表(单位：人)参加书法社团 未参加书法社团参加演讲社团 8 5未参加演讲社团 2 30(1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 8 名同学中，有 5 名男同学 A1， A2， A3， A4， A5,3 名女同学B1， B2， B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1被选中且 B1未被选中的概率解题反思：计算古典概型的概率可分三步(1)算出基本事件的总个数 n；(2)求出事件 A 所包含的基本事件个数 m；(3)代入公式求出概率 P.解题时可
12、根据需要灵活选择列举法、列表法或树形图法.考点 2、具有复杂背景的古典概型问题例 3. (1)从集合2,3,4,5中随机抽取一个数，记为 a，从集合1,3,5中随机抽取一个数，记为 b，则向量 m( a， b)与向量 n(1，1)垂直的概率为( )高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 A. B. C. D.16 13 14 12【答案】A【解析】由题意可知( a， b)可能的情况有(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,1)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)，共 12 种因为 m n，即 mn0，所
13、以有 a1 b(1)0，即a b，所以满足条件的有(3,3)，(5,5)，共 2 个，故所求的概率为 . 16（2）将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为 a， b，则直线 ax by0 与圆( x2) 2 y22 无公共点的概率为( )A. B. C. D.16 512 712 23【答案】B（3）从某工厂抽取 50 名工人进行调查，发现他们一天加工零件的个数在 50 至 350 之间，现按生产的零件的个数将他们分成六组，第一组50,100)，第二组100,150)，第三组150,200)，第四组200,250)，第五组250,300)，第六组300,350，相应的样本频率分布直方图如图所
14、示(1)求频率分布直方图中的 x 的值；(2)设位于第六组的工人为拔尖工，位于第五组的工人为熟练工，现用分层抽样的方法在这两类工人中抽取一个容量为 6 的样本，从样本中任意取 2 个，求至少有 1 名拔尖工的概率【解析】(1)根据题意，(0.002 40.003 6 x0.004 40.002 40.001 2)501，解得 x0.006 0.(2)由题知 50 名工人中拔尖工有 3 人，熟练工有 6 人，从中抽取容量为 6 的样本，则其中拔尖工有 2 人，熟练工有 4 人可设拔尖工分别为 A1， A2，熟练工分别为 B1， B2， B3， B4，则从样本中任取 2 个的情况有：A1B1， A
15、1B2， A1B3， A1B4， A2B1， A2B2， A2B3， A2B4， A1A2， B1B2， B1B3， B1B4， B2B3， B2B4， B3B4，高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 共 15 种其中，至少有 1 名是拔尖工的情况有 A1B1， A1B2， A1B3， A1B4， A2B1， A2B2， A2B3， A2B4， A1A2，共9 种，故至少有 1 名拔尖工的概率是 .915 35解题反思：分析复杂背景的古典概率问题(1)阅读理解问题的具体背景；(2)分析对应的基本事件，从而化归为古典概率问题解决；考点 3、基本的几何概型问题例 4
16、. （1）在区间2，3上随机选取一个数 x，即 x1，故所求的概率为( )A. B. C. D.45 35 25 15【答案】B【解析】在区间2，3上随机选取一个数 x，且 x1，即2 x1，故所求的概率为 P .35(2)如图，在等腰直角 ABC 中，过直角顶点 C 作射线 CM 交 AB 于 M，则使得 AM 小于 AC 的概率为_【答案】34（3）.在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD A1B1C1D1 内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为_【答案】112【解析】设“点 P 到点 O 的距离大
17、于 1”为事件 A.则事件 A 发生时，点 P 位于以点 O 为球心，以 1 为半径的半球的外部. V 正方体 2 38， V 半球 1 3 . P(A) 1 .43 12 23 23 2323 12解题反思： 基本的几何概型的解题思路1对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关
18、的几何概型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型考点 5、具有复杂背景的几何概型问题（1）已知矩形 ABCD 中， AB2 BC2，现向矩形 ABCD 内随机投掷质点 P，则满足 0 的概率是PA PB A. B C. D4 4 4 16 16 16【答案】A(2).设复数 z( x1) yi(x， yR)，若| z|1
19、，则 y x 的概率为( )A. B. C. D. 34 12 12 1 12 1 14 12【答案】D 【解析】因为复数 z( x1) yi(x， yR)且| z|1，所以| z| 1，即( x1)（ x 1） 2 y22 y21，即点( x， y)在以(1，0)为圆心、1 为半径的圆及其内部，而 y x 表示直线 y x 左上方的部分(图中阴影弓形)，所以所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，即 P .14 12 1211 12 14 12(3).在区间，内随机取出两个数分别记为 a， b，则函数 f(x) x22 ax b2 2有零点的概率为高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师
20、踊跃来稿，稿酬丰厚。 ( )A.1 B.1 C.1 D.1 8 4 2 34【答案】B(4)一只蜜蜂在一个棱长为 30 的正方体玻璃容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体玻璃容器的 6 个表面的距离均大于 10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为 【答案】127【解析】由题意，可知当蜜蜂在棱长为 10 的正方体区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公式，知蜜蜂飞行是安全的概率为 .103303 127解题反思： 有复杂背景的几何概型问题的解题思路(1)理解问题的具体背景，并能抽象出对应的几何概型(2)当题干是双
21、重变量问题，一般与面积有关系.(3)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域；若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.1一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1 000 个大小相同的小正方体，若将这些小正方体均匀地搅混在一起，则任意取出一个正方体其三面涂有油漆的概率是( )高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 A. B C. D112 110 325 1125【答案】D【解析】小正方体三面涂有油漆的有 8 种情况，故所求概率为 P .81 000
22、 11252如图，已知曲线 C1： y ，曲线 C2和 C3是半径相等且圆心在 x 轴上的半圆，在曲线 C1与 x 轴所2x x2围成的区域内任取一点，则所取的点来自于阴影部分的概率为( )A. B C. D37 12 47 58【答案】B【解析】由题意知，曲线 C1与 x 轴所围成的区域的面积为 ，阴影部分的面积 S 阴影 ( )2 ，则 2 2 12 4所取的点来自于阴影部分的概率 P .123连掷两次骰子分别得到点数 m， n，则向量( m， n)与向量(1，1)的夹角 90的概率是( )A. B C. D512 712 13 12【答案】A4公园里有一个边长为 6 米的正方形鱼池 AB
23、CD，工人师傅在池子上方设计了一座造型独特的走廊，走廊(不包括边界)距 A、 B 的距离都大于 3 米，且走廊上任意点 O 都满足 DOC 为锐角(鱼池中满足以上条件的地方均为走廊区域)小朋友李明在池子边随机抛掷了一枚硬币，则这枚硬币恰好落在走廊上的概率为( )A. B 1 C. D1 3 3 4 4【答案】D【解析】由题意知走廊应满足如下三个条件：(1)在以点 A 为圆心，3 为半径的圆外；(2)在以点 B 为圆心，3 为半径的圆外；(3)在以 CD 为直径的圆外高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 因此，结合图形可知，硬币落在走廊上的概率 P1 1 . 32
24、66 45已知函数 f(x) x3 ax2 b2x1，若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任13取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为( )A. B C. D79 13 59 23【答案】D【解析】 f( x) x22 ax b2，要使函数有两个极值点，则 4 a24 b20，即 a2b2，( a， b)的取值共 339 种结果，其中(1,0)，(2,1)，(2,0)，(3,0)，(3,1)，(3,2)6 种满足 a2b2，则 P .69 236从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生
25、、星期日安排一名女生的概率为( )A. B C. D13 512 12 712【答案】A7.在区间 和 分别取一个数,记为 , 则方程 表示焦点在 轴上且离心率小于15,24ab21xyabx的椭圆的概率为（ ）32A B C D 115321732312高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 8从 1,2,3,4 这四个数字中依次取(不放回)两个数 a， b，使得 a24 b 的概率是_【答案】12【解析】基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(4,3)，共 12 个，符合条件的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(
26、4,1)，(4,2)，(4,3)，共 6 个，因此使得 a24 b 的概率是 . 129.如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，有一动点在此长方体内随机运动，则此动点在三棱锥 A A1BD 内的概率为_.高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 【答案】16【解析】因为 VA A1BD VA1 ABD AA1S ABD AA1S 矩形 ABCD V 长方体 ，故所求概率为13 16 16 .VA A1BDV长 方 体 1610已知向量 a(2,1)， b( x， y)(1)若 x， y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,
27、5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 ab1 的概率；(2)若 x， y 在连续区间1,6上取值，求满足 ab0 的概率11为了解某市的交通状况，现对其 6 条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表评估的平均得分 (0,6 (6,8 (8,10全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级(2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超 0.5 的概率【解析】 (1)6 条道路的平
28、均得分为 7.5，5 6 7 8 9 106所以该市的总体交通状况等级为合格(2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5”从 6 条道路中抽取 2 条的得分组高考资源网（ ） ，您身边的高考专家欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 成的所有基本事件为：(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共 15 个基本事件事件 A 包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)共 7 个基本事件，所以 P(A) .71512某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为 x， y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动()求小亮获得玩具的概率；()请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由
