1、第二章 第 3 节 函数的奇偶性与周期性1 (2018长春市二模)下列函数中，既是奇函数又在(0，)单调递增的函数是( )A ye xe x B yln(| x|1)C y D y xsin x|x| 1x解析：D 选项 A、B 中的函数为偶函数；选项 C 中的函数虽然是奇函数，但是在(0，)上不是单调递增函数故选 D.2设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A f(x)g(x)是偶函数B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数D| f(x)g(x)|是奇函数解析：C 因为 f(x)是奇函数， g
2、(x)是偶函数，所以有 f( x) f(x)， g( x) g(x)，于是 f( x)g( x) f(x)g(x)，即 f(x)g(x)为奇函数，A 错；|f( x)|g( x)| f(x)|g(x)，即| f(x)|g(x)为偶函数，B 错；f( x)|g( x)| f(x)|g(x)|，即 f(x)|g(x)|为奇函数，C 正确；|f( x)g( x)| f(x)g(x)|，即 f(x)g(x)为偶函数，所以 D 也错3 (2018保定市一模)已知函数 f(x)Error!设 g(x) ，则 g(x)是( )f xx2A奇函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增B奇函数，在(，0)上递减，
3、在(0，)上递减C偶函数，在(，0)上递增，在(0，)上递增D偶函数，在(，0)上递减，在(0，)上递减解析：B 根据题意， g(x) Error!其定义域关于原点对称f xx2设 x0，则 x0， g( x) g(x)；设 x0，则1 x 2 1x2 x0， g( x) g(x)，故 g(x)为奇函数又 g(x) x2 在区间1 x 2 1x2 1x2(0，)上递减，则 g(x)在(，0)上也递减故选 B.4 (理科)(2018青岛市模拟)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1)为偶函数，且f(1)2，则 f(4) f(5)的值为( )A2 B1C1 D2解析：A f(x1)为偶函数，
4、 f(x)是奇函数， f( x1) f(x1)， f(x) f( x)， f(0)0， f(x1) f( x1) f(x1)， f(x2) f(x)， f(x4) f(x22) f(x2) f(x)，则 f(4) f(0)0， f(5) f(1)2， f(4) f(5)022，故选 A.4 (文科)已知 f(x)lg 是奇函数，则使 f(x)g(0)g(1)54答案： f(1)g(0)g(1)8(2018郴州市一模)已知定义在 R 上的偶函数满足： f(x4) f(x) f(2)，且当x0,2时， y f(x)单调递减，给出以下四个命题： f(2)0； x4 为函数 y f(x)图象的一条对称
5、轴；函数 y f(x)在8,10单调递增；若方程 f(x) m 在6，2上的两根为 x1， x2，则 x1 x28.上述命题中所有正确命题的序号为 _ .解析： f(x)是定义在 R 上的偶函数， f( x) f(x)，可得 f(2) f(2)在 f(x4) f(x) f(2)中令 x2 得 f(2) f(2) f(2)， f(2) f(2)0， f(x4) f(x)，函数 f(x)是周期为 4 的周期函数又当 x0,2时， y f(x)单调递减，结合函数的奇偶性画出函数 f(x)的简图，如图所示从图中可以得出： x4 为函数 y f(x)图象的一条对称轴；函数 y f(x)在8,10单调递减
6、；若方程 f(x) m 在6，2上的两根为 x1， x2，则 x1 x28.答案：9已知函数 f(x)Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)由(1)知 f(x)在1,1上是增函数，要使 f(x)在1， a2上单调递增结合 f(x)的图象知Error!所以 1a3，故实数 a 的取值范围是(1,310已知函数 f(x)是定义在 R
7、上的奇函数，且它的图象关于直线 x1 对称(1)求证： f(x)是周期为 4 的周期函数；(2)若 f(x) (0x1)，求 x5，4时，函数 f(x)的解析式x解：(1)证明：由函数 f(x)的图象关于直线 x1 对称，有 f(x1) f(1 x)，即有 f( x) f(x2)又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，故有 f( x) f(x)故 f(x2) f(x)从而 f(x4) f(x2) f(x)，即 f(x)是周期为 4 的周期函数(2)由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，有 f(0)0.x1,0)时， x(0,1， f(x) f( x) .x故 x1,0时， f(x) .x
8、x5，4时， x41,0，f(x) f(x4) . x 4从而， x5，4时，函数 f(x) . x 4能力提升组11函数 f(x)满足 f(x)f(x2)13，若 f(1)2，则 f(99)等于( )A13 B2 C. D.213 132解析：D f(x)f(x2)13， f(x2) ，13f x则 f(x) ，故 f(x)f(x2) 13，13f x 2 13f x 13f x 2即 f(x)f(x2)13， f(x2) f(x2)，故函数 f(x)的周期为 4， f(99) f(3) .13f 1 13212(2018潍坊市一模)设函数 y f(x)(xR)为偶函数，且 xR，满足 f
9、f(x32)，当 x2,3时， f(x) x，则当 x2,0时， f(x)( )(x12)A| x4| B|2 x|C2| x1| D3| x1|解析：D xR，满足 f f ，(x32) (x 12) xR，满足 f f ，(x32 32) (x 32 12)即 f(x) f(x2)若 x0,1时，则 x22,3， f(x) f(x2) x2， x0,1 .若 x1,0，则 x0,1 .函数 y f(x)(xR)为偶函数， f( x) x2 f(x)，即 f(x) x2， x1,0 .若 x2，1，则 x20,1，则 f(x) f(x2) x22 x4， x2，1 .即 f(x)Error!
10、，故选 D.13若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调增函数如果实数 t 满足 f(ln t) f 2f(1)时，那么 t 的取值范围是 _ .(ln1t)解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f f(ln t) f(ln t) f(|ln t|)(ln 1t)则有 f(ln t) f 2f(1)2f(ln t)2f(1)(ln 1t)f(|ln t|)f(1)|ln t|1 te.1e答案： (1e， e)14设 f(x)是(，)上的奇函数， f(x2) f(x)，当 0 x1 时， f(x) x.(1)求 f()的值；(2)当4 x4 时，求 f(x)的图象与
11、x 轴所围成图形的面积；(3)写出(，)内函数 f(x)的单调区间解：(1)由 f(x2) f(x)，得f(x4) f(x2)2 f(x2) f(x)， f(x)是以 4 为周期的周期函数 f() f(14) f(4) f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数与 f(x2) f(x)，得 f(x1)2 f(x1) f( x1)，即 f(1 x) f(1 x)从而可知函数 y f(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时， f(x) x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示设当4 x4 时， f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为 S，则 S4 S OAB44.(1221)(3)函数 f(x)的单调递增区间为4 k1,4 k1( kZ)，单调递减区间为4 k1,4 k3( kZ)
