1、3.4导数在实际生活中的应用,第3章 导数及其应用,1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.,学习目标,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点 生活中的优化问题,1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.,优化问题,数学建模,题型探究,类型一 几何中的最值问题,例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.
2、点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度).(1)将S表示为的函数；,命题角度1平面几何中的最值问题,解答,BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，).,5 000(sin sin cos )，(0，).,解答,(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.,S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1).令S0，,当变化时，S，S的变化情况如下表：,此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.,平面图
3、形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.,反思与感悟,跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.,解答,设点B的坐标为(x,0)，且0x0，得0x20；令V0，得20x30.,(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.,反思与感
4、悟,跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.,答案,解析,设矩形的长为x cm，则宽为(10x)cm (0x10).由题意可知圆柱体积Vx2(10x)10x2x3.V20x3x2，,类型二 实际生活中的最值问题,例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；,解答,命题角度1利润最大问题,当00；当x(9,10时，W0.所以当x9时，W取得最大值，,综合知，
5、当x9(千件)时，W取得最大值为38.6万元.,答当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.,反思与感悟,解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本；(2)利润每件产品的利润销售件数.,解答,所以a2.,(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,解答,210(x3)(x6)2,3x15时，f(x)0；当10x15时，f(x)0；当t(8,9)时，y0，故t8时，y取最大值.,1,2,3,4,5,设长方体的底面边长为x m，则
6、高为(62x)m，0x3，则长方体的体积为V(x)x2(62x)6x22x3，V(x)12x6x2.令V(x)0，得x2或x0(舍去).当x(0,2)时，函数V(x)是增函数；当x(2,3)时，函数V(x)是减函数，当x2时，V(x)max428(m3).,2.用长为24 m的钢筋做成一个长方体框架，若这个长方体框架的底面为正方形，则这个长方体体积的最大值为_ m3.,8,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,300,1,2,3,4,5,令P(x)0，得x300.,1,2,3,4,5,4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方
7、米10元，则该容器的最低总造价是_元.,答案,解析,160,1,2,3,4,5,令y0，得x2.所以当x2时，ymin160(元).,1,2,3,4,5,5.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；,解答,设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2).由已知条件，得24k22，于是有k6.
8、所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？,解答,根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,1,2,3,4,5,故当x12时，f(x)取得极大值.因为f(0)9 072，f(12)11 664.所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.,规律与方法,1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；(3)比较函数在区间端点和使f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.2.正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路.另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用.,本课结束,
