2019届人教数学A版 平面向量的数量积2 单元测试Word版含解析.doc

1、平面向量的数量积 2一、非坐标的求模1. 已知向量 a，b 满足|a| 2， |b|1，a 与 b 的夹角为 ，则 |a2b| .232. 已知向量 a 与 b 的夹角为 30，且| a| ，| b|2，则|ab| 的值为( )3A1 B. 13C13 D. 7 233. 已知向量 a，b 的夹角为 60，| a|2，|b| 1，则|a2 b| .4设向量 e1，e 2 是两个互相垂直的单位向量，且 a2e 1e 2，be 2，则| a2b|( )A2 B.2 5C2 D45. 已知非零向量 a，b 满足 ab0，|a|3，且 a 与 ab 的夹角为 ，则|b|( )4A6 B3 2C2 D3

2、26. 设 a，b 均为单位向量，则“ ”是“ab”的（ ）abA 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件7. 设 ,ab是向量，则“ ab”是“ +ab”的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. 已知 a，b，e 是平面向量，e 是单位向量若非零向量 a 与 e 的夹角为 ，向量 b 3满足 b24eb+3=0，则| ab|的最小值是（ ）A 1 B +1 C2 D2339. 已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若(52)(12 2)0，则|的最大值是 10. 已知向量 a，b

3、满足|a| 1，|b|2，则| ab|ab| 的最小值是 ，最大值是 11已知向量 a(1,1)，b( 1,1)，设向量 c 满足(2ac)(3 bc) 0，则| c|的最大值为 12. 已知向量 a，b，c 共面，且均为单位向量，ab0，则 |abc|的取值范围是( )A 1， 1 B1， 2 2 2C ， D 1,12 3 213. 如图，在梯形 ABCD 中， | |2，CDA ， 2 ，E 为 AB 的中点，DA 3 DA CB (01)若| |t(t 为大于零的常数)，当| |取得最小值时，实数 .DP DC DC PE 14. 在平面内，定点 A， B， ， 满足 AurBCur，

4、AurB=r Cu=r = 2，动点 P， M满足 =1， PMr，则2M的最大值是 （ ）.A. 43 B. 49 C. 3764 D. 3724 学 15. 已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值是 ，最ab12bab大值是 .二、非坐标的求夹角1. 已知|a| 1， |b|2，a(ab)3，则 a 与 b 的夹角为( ) , ,k A. B.3 6C. D22. 已知两个非零向量 a，b 满足 a(ab) 0，且 2|a|b|，则a，b( )A30 B60C120 D1503. 已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）ba,|4|aba2A. B. C. D.323654. 已

5、知向量 a，b 满足 a(2,0)，|b|1，若| ab| ，则 a 与 b 的夹角是 75已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60，则|e 12e 2| .三、坐标的夹角1. 已知向量 ， ，则 与 夹角的大小为 .3,1a1,bab2. 已知向量 ， ，则 （ ）2,BA2,3BCABCA. B. C. D.3045601203. 已知 a(1,3) ，b(2，1)，且 a 与 b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 4. 已知 a(1,2)，b(1,1) ，且 a 与 ab 的夹角为锐角，求实数 的取值范围5. 平面向量 ， ， ，且 与 的夹角等于 与 的2,1a,4bRbacmc

6、acb夹角，则 .m6. 已知向量 a(3,0)，b( 5,5)，c(2，k)(1)求向量 a 与 b 的夹角；(2)若 bc，求 k 的值；(3)若 b(ac)，求 k 的值7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ，n( sin x，c os x)，x .(22， 22) (0，2)(1)若 mn，求 tan x 的值；(2)若 m 与 n 的夹角为 ，求 x 的值3四、投影1. 若向量 a(2,3)，b(4,7)，ac0，则 c 在 b 方向上的投影为 2. 已知点 ， ， ， ，则向量 在 方向上的投1,A,2B,1C3,4DABCD影为（ ）.A B C D232532315

7、23.如图，在圆 C 中，点 A，B 在圆上，则 的值( )AB AC A只与圆 C 的半径有关B既与圆 C 的半径有关，又与弦 AB 的长度有关C只与弦 AB 的长度有关D是与圆 C 的半径和弦 AB 的长度均无关的定值五、应用（垂直）1. 设向量 a(x，x1)，b(1,2) ，且 a b，则 x .2已知向量 a(1，1)，b(6，4) 若 a(t ab) ，则实数 t 的值为 3. 已知向量 a(1，m)，b(3 ，2)，且(ab) b，则 m( )A8 B6C6 D84. 已知 e1，e 2 是互相垂直的单位向量若 e1e 2 与 e1e 2 的夹角为 60，则实数 3的值是 参考答

8、案平面向量的数量积一、非坐标的求模1. 解析：(a2b) 2a 24ab4b 24421 44，| a2b|2.( 12)答案：22. 解析：选 A 由向量 a 与 b 的夹角为 30，且|a| ，|b| 2，3可得 ab| a|b|cos 30 2 3，332所以|a b| a b2 a2 b2 2ab 1.3 4 233. 解析：法一：易知|a2b| 2 .|a|2 4ab 4|b|24 42112 4 3法二：(数形结合法)由|a|2b| 2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形OACB，如图，则| a2b| |.又AOB 60，所以|a 2b|2 .OC 3答案：2 34

9、解析：选 B 向量 e1，e 2 是两个互相垂直的单位向量，|e 1|1，|e 2|1，e 1e20，a2e 1e 2，be 2，a 2b2e 1e 2，|a 2 b|24e 4e 1e2e 5，21 2|a 2 b| .55. 解析：选 D 由非零向量 a，b 满足 ab0，可知两个向量垂直，由|a|3，且 a 与ab 的夹角为 ，说明以向量 a，b 为邻边，ab 为对角线的平行四边形是正方形，所以4|b|3.6. C7. D 解析 因为 220a+ba+bab，所以由此可知， “ ”是“ ”的既不充分也不必要条件 .故选 D.8. A9. 解析：因为 0，| |1，所以(52)(122)6

10、010244 20，即 2|25 12(5 12 )，当 与 512 共线时，| 最大，所以 4|2(5 12) 225| |2120 144| |225144169，所以| | .132答案：13210. 解析：法一：由向量三角不等式得，|ab| |ab|(ab) (ab)|2b| 4.又 ，|ab| |ab|的最大值为 2|a b| |a b|2 a b2 a b22 a2 b2 5.5法二：设 a，b 的夹角为 .|a |1 ，|b| 2，|a b |ab| a2 b2 a b2 .5 4cos 5 4cos 令 y ，5 4cos 5 4cos 则 y2102 .25 16cos20，

11、c os20,1，y 216,20 ，y4,2 ，即| ab|ab|的最小值为 4，最大值为 2 .5 5答案：4 2 511解析：设 c( x，y )，2ac(2x,2y)，3bc( 3x,3y )，则由题意得(2x)(3x)(2y)(3 y)0，即 2 2 ，表示以 为圆心， 为(x 12) (y 52) 132 ( 12，52) 262半径的圆，所以| c|的最大值为 .26答案： 2612. 解析：选 A 因为 ab0，所以|ab| 2a 22a bb 22，所以|ab| ，所以2|a b c|2a 2b 2c 22ab 2( ab)c32(ab)c.当 c 与(ab)同向时，( ab

12、)c 最大，|a b c|2 最小，此时(ab)c| ab c|cos 0 ，|abc| 232 ，所以|abc| min2 2 1.当 c 与(a b)反向时，( ab)c 最小，| abc| 2 最大，此时(ab) c|ab c|cos 2 ，| abc |232 ，所以| abc| max 1.所以|abc| 的取值范围为2 2 2 1， 12 213. 解析： ， (1) ，DP DC PC DC (1)PE PC CB BE ，DC 12DA 14DA 12DC (12 )DC 34DA 2tc os t， 2t 2， 24，DC DA 3 DC DA 2 2t2 t 2 ，PE (

13、12 ) 94 32(12 ) (12 )t 34 2716当 t ，即 时， 2 取得最小值 .(12 ) 34 12 34t PE 2716| |的最小值为 ，此时 .PE 334 12 34t答案： 学 12 34t14. B 解析 甴已知易得 120ADCBCo， 学 DAur2ur. 以 为原点，直线 A为 x轴建立平面直角坐标系，则2,0， 1,3， 1,3.设 ()Pxy，由已知 PAr，得 21xy.又 MCur，所以 ,，所以 3,2xyBMur.因此22222 13134xyxyBMur.它表示圆 2()上的点 ， 与点 ， 距离平方的 14，所以22max149314Bu

14、r.故选 B.-22Dy xPMCB A15. 解析 解法一：如图所示， 和 是以 为邻边的平行四边形的两条对a+b,ab角线，则 ， 是以 为圆心的单位圆上的一动点，构造22210abAO2 个全等的平行四边形 ，平行四边形 所以 AOBDECABCa+b易知当 ，B，C 三点共线时， 最小，此时 ；4B当 时， 最大，此时 A25A解法二:222ababab2 coscosba a-ba+b EABD O C( 是向量 ， 的夹角).210254coscs10256cosab所以当 时， 取得最小值 4；当 时，2ab20取得最大值 .ab5二、非坐标的求夹角1. 解析：选 D 设 a 与

15、 b 的夹角为 ，由题意知|a|1，|b|2，a(ab)a 2ab1 212cos 3，cos 1.又 0，a 与 b 的夹角为 .2. 解析：选 B 由题知 a2ab，而 cosa，b ，所以a，bab|a|b| |a|22|a|2 1260.3. 略4. 已知向量 a，b 满足 a(2,0)，|b|1，若| ab| ，则 a 与 b 的夹角是 7解析：由|ab | ，得(ab) 2a 22abb 242ab17，7ab1，|a |b|cosa ，b1，cos a，b .又a，b0，12a，b 的夹角为 .3答案：35解析：单位向量 e1 与 e2 的夹角为 60，|e 1|e 2|1，e

16、1e2| e1|e2|cos 60 ，12|e 12e 2| .e21 4e1e2 4e2 1 2 4 3答案： 3三、坐标的夹角1. 略2. 解析：选 A 因为 ， ，BA (12，32) BC ( 32，12)所以 .BA BC 34 34 32又因为 | |cosABC11cosABC ，BA BC BA BC 32所以 cosABC .32又 0 ABC180，所以ABC30.3. 解析：由题意可得 ab0，且 a，b 不共线，即Error! 解得 5，且 .53答案： ( 5， 53) ( 53， )4. 解：a 与 ab 均为非零向量，且夹角为锐角，a(ab)0，即(1,2)(1，

17、2)0.(1)2(2)0. .53当 a 与 ab 共线时，存在实数 m，使 abma，即 (1，2)m(1,2) ，Error! 解得 0.即当 0 时， a 与 a b 共线，综上可知，实数 的取值范围为 (0，)( 53，0)5. 略6. 解：(1)设向量 a 与 b 的夹角为 ，a(3,0)，b( 5,5)，ab3(5)0515，|a| 3，|b| 5 ， 52 52 2cos .ab|a|b| 15352 22又0， .34(2)bc，5k52，k2.(3)ac(5，k)，又 b(ac)，b(ac)0，555k0，k5.7. 解：(1)若 mn，则 mn0. 由向量数量积的坐标公式得

18、 sin x cos x0，22 22tan x1.(2)m 与 n 的夹角为 ，m n|m|n|cos ，3 3即 sin x cos x ，22 22 12sin .(x 4) 12又x ，(0，2)x ，4 ( 4，4)x ，即 x .4 6 512四、投影1. 解析：ac0，ca(2，3)，cb 82113，且| b| ，65c 在 b 方向上的投影为|c|cosc，b | c| .cb|c|b| cb|b| 1365 655答案：6552. 略3. 解析：选 C 如图，过圆心 C 作 CDAB，垂足为 D，则 | AB AC AB |cosCAB | |2.AC 12AB 的值只与弦

19、 AB 的长度有关AB AC 五、应用（垂直）1. 解析：a b，ab0，即 x2(x1)0，x .23答案：232解析：a(1，1)，b(6，4) ，t ab(t6，t4)又 a(tab) ，则 a(tab)0，即 t6t 40，解得 t5.答案：53. 解析：选 D 法一：因为 a(1 ，m) ，b(3，2) ，所以 ab(4，m2)因为(ab) b，所以( ab) b0，所以 122(m2)0，解得 m8.法二：因为(ab)b，所以(ab)b0，即 abb 23 2m3 2(2)2162m0，解得 m8.4. 解析：因为 ，3e1 e2e1 e2| 3e1 e2|e1 e2| 3 21 2故 ，解得 . 答案：3 21 2 12 33 33