1、2018 年高考数学一轮复习 第五章 数列 课时达标 30 等比数列及其前 n 项和 理解密考纲主要考查等比数列的通项公式，等比中项及其性质，以及前 n 项和公式的应用，三种题型均有涉及一、选择题1等比数列 x,3x3,6 x6，的第四项等于( A )A24 B0 C12 D24解析：由题意知(3 x3) 2 x(6x6)，即 x24 x30，解得 x3 或 x1(舍去)，所以等比数列的前 3 项是3，6，12，则第四项为24.2已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn x3n1 ，则 x 的值为( C )16A B C D13 13 12 12解析：当 n1 时， a1 S1 x ，16当
2、n2 时， an Sn Sn1 x(3n1 3 n2 )(x3n 116) (x3n 2 16)2 x3n2 ，因为 an是等比数列，所以 a1 ，a2q 2x32 23 2x3由得 x ，解得 x .16 2x3 123(2017云南昆明模拟)在等比数列 an中，若 a3， a7是方程 x24 x20 的两根，则 a5的值是( B )A2 B C D2 2 2解析：根据根与系数之间的关系得 a3 a74， a3a72，由a3 a740，所以 a30， a140， a4a148， a70， a110，则 2a7 a112 22a7a112 8，当且仅当Error!即 a72， a114 时取等
3、号，故 2a7 a11的最小值为2a4a14 168，故选 B二、填空题7在各项均为正数的等比数列 an中，若 a21， a8 a62 a4，则 a6的值是 4.解析：设公比为 q，则由 a8 a62 a4，得 a1q7 a1q52 a1q3， q4 q220，解得q22( q21 舍去)，所以 a6 a2q44.8等比数列的各项均为正数，且 a1a54，则log2a1log 2a2log 2a3log 2a4log 2a55.解析：由等比数列的性质可知 a1a5 a2a4 a ，于是，由 a1a54 得 a32，故23a1a2a3a4a532，则 log2a1log2 a2log2 a3lo
4、g2 a4log2 a5log2( a1a2a3a4a5)log2325.9(2017江苏徐州模拟)若等比数列 an满足： a2 a420， a3 a540，则公比q2；前 n 项和 Sn2 n1 2.解析：由 a2 a420， a3 a540，得Error! 即Error!解得 q2， a12，所以 Sn 2 n1 2.a1 1 qn1 q 2 1 2n1 2三、解答题10已知递增的等比数列 an的前 n 项和为 Sn， a664 ，且 a4， a5的等差中项为 3a3.(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.na2n 1解析：(1)设等比数列 an
5、的公比为 q(q0)，由题意，得Error!解得Error!或Error!(舍去)，所以 an2 n.(2)因为 bn ，na2n 1 n22n 1所以 Tn ，12 223 325 427 n22n 1Tn ，14 123 225 327 n 122n 1 n22n 1所以 Tn 34 12 123 125 127 122n 1 n22n 1 ，12(1 14n)1 14 n22n 1 23 4 3n322n 1故 Tn .89 16 12n922n 1 89 4 3n922n 111(2017天津模拟)已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S1 ,2S2,3S3成等差数列，且 S4
6、 .4027(1)求数列 an的通项公式；(2)求证： Sn .32解析：(1)设等比数列 an的公比为 q，因为 S1,2S2,3S3成等差数列，所以4S2 S13 S3，即 4(a1 a2) a13( a1 a2 a3)，所以 a23 a3，所以 q .a3a2 13又 S4 ，即 ，解得 a11，所以4027 a1 1 q41 q 4027an n1 .(13)(2)证明：由(1)得Sn .a1 1 qn1 q1 (13)n1 13 321 (13)n因为 nN *，所以 0 n1，(13)所以 01 n1，(13)所以 Sn .321 (13)n3212(2017湖北华中师大附中期中)
7、已知数列 an是等差数列， bn是等比数列，且a1 b12， b454， a1 a2 a3 b2 b3.(1)求数列 an和 bn的通项公式；(2)数列 cn满足 cn anbn，求数列 cn的前 n 项和 Sn.解析：(1)设 an的公差为 d， bn的公比为 q，由 b4 b1q3，得 q3 27，从而 q3， bn23 n1 .b4b1 542又 a1 a2 a33 a2 b2 b361824， a28， d a2 a1826， an a1( n1) d26( n1)6 n4. an6 n4， bn23 n1 .(2)cn anbn4(3 n2)3 n1 .令 Sn413 043 173 2(3 n5)3 n2 (3 n2)3 n1 ，则 3Sn413 143 273 3(3 n5)3 n1 (3 n2)3 n两式相减得2 Sn4133 133 233 n1 (3 n2)3 n，2 Sn413 23 33 n(3 n2)3 n2(76 n)3n7 Sn7(6 n7)3 n.
