1、2019 届人教 A 版（文科数学） 球的体积和表面积 单元测试一、选择题1三个球的半径之比为 1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的A1 倍 B2 倍C 倍 D 倍95 74【答案】C2一个球的外切正方体的表面积等于 6 cm2，则此球的体积为A B34cm36cm8C D316 3【答案】C 【解析】设球的直径为 2R，则正方体的棱长为 2R，正方体的表面积为 64R2=6(cm2),解得 R= (cm).所1以球的体积为 .3341(cm)86V3如图所示，某几何体的三视图是三个半径均为 1 的圆，且每个圆中的直径相互垂直，则它的体积为A B6 3C D43 2【答案】
2、D【解析】由题意可知几何体是一个球，被 2 个经过球心的垂直平面所截，上面保留相对的 2 个，下部保留 2 个相对的 的球体，剩余几何体的体积是原几何体的一半，为 = 18 321故选 D【名师点睛】三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.学 4一平面截一球得到直径为 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是 2 cm，则该球的体积是25A12 cm 3 B36 cm3C D108 cm 36cm【答案】B 【解析】设
3、球心为 O，截面圆心为 O1，连接 OO1，则 OO1 垂直于截面圆 O1.如图， 5某几何体是由两个同底面的三棱锥组成，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的面积为A B2a 2aC D3 4【答案】C【解析】由题可知，该几何体是由同底面不同棱的两个三棱锥构成，其中底面是棱长为 的正三角2a形，一个是三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 的正三棱锥，另一个是棱长为 的正四面体，如图所a示:【名师点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解 (2)若球
4、面上四点 P，A，B，C 构成的三条线段 PA，PB， PC 两两互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有关元素“补形” 成为一个球内接长方体，利用 4R2a 2b 2c 2 求解解本题时，由三视图可得该几何体为同底面不同棱的两个三棱锥构成，补成正方体即可求出该几何体外接球的面积.6中国古代数学家名著九章算术中记载了一种名为“堑堵”的几何体，其三视图如图所示，则其外接球的表面积为A B43 4C D8 6【答案】B【名师点睛】解决该题的关键是将根据三视图将几何体还原，从而得到该几何体是半个长方体的三棱柱，利用长方体的外接球的特征求得结果.7圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一
5、个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯r视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则1620A B 1 2C D4 8【答案】B【解析】由正视图和俯视图知：该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都是 ，r圆柱的高是 ，所以该几何体的表面积是 ，因2r2 214254Srrr为该几何体的表面积为 ，所以 ，解得： ，故选 B162025608球面上有三个点 A，B，C ，其中 AB=18,BC=24,AC=30，且球心到 A，B，C 所在平面的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为A20 B30C D103 153【答案】C 9已知 是某球面上不共面的四点，且 ，则此球,ABCD1
6、,2,ABCDBACD的体积为A B32 3C D 4【答案】A【解析】因为 所以 ，1,2,BCBAC,BACD，因为 ，所以 是边长为 1 的正方体的四个顶点，外接球半径为 ，D,A32因此球的体积为 故选 A.34,2【名师点睛】若球面上四点 构成的三条线段 两两互相垂直，且,PBC,PABC，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用 求,PAaBbc 224Rabc解求解本题时，先根据勾股定理得 ，再补成正方体得外接球的半径，最后根据,AD，球的体积公式得结果. 学 10一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A B 1 2
7、C D3 4【答案】B二、填空题11若三个球的表面积之比为 149，则这三个球的体积之比为 .【答案】1827【解析】设三个球的半径分别为 ，123R,三个球的表面积之比为 149， 149，即 R12 R 22R 32=149，214R223 =123,得 =1827，2332 V 2V 3= = =1827.11323132【思路点拨】先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比. 12圆柱形容器内盛有高度为 8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同) 后，水恰好淹没最上面的球(如图所示) ，则球的半径是 cm【答案】4 【解析】设球的半径为 r，则由 可得
8、 ，解得 3=V球 水 柱322486rr4r13过长方体的一个顶点的三条棱长分别是 1、2、 ，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表5面积是 【答案】 10【名师点睛】本题考查球的表面积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属中档题.求解时，根据长方体外接球的性质可得：球心在长方体体对角线的中点上，可得球的半径，即可求球的表面积14正三棱锥的高为 ，底面边长为 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切，则此球的表面积是 126【答案】 8526【解析】如图，球 是正三棱锥 的内切球， 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径 OPABCOR是正三棱锥的高，即 是 边中点， 在 上， 的
9、边长为 ，所以PH1HEHAEBC 62，所以 ，可以得到 ，326E31PBPSSE 3，由等体积法得： ，所以24ABCS PABCOPABCOPBVVACV，解得： ，所以此球的表面积116336RR2362是 学 2485S【名师点评】球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径来求出 ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法 R三、解答题15某几何体的三视图如图所示：（1）求该几何体的表面积；（2）求该几何体的体积【答案】 （1）24；（2） .283【解析】由三视图知，此几何体由上下两部分组成，其中上边是一个半径为 1 的半球，下边是一个棱长为 2 的正方体.（1）SS 半球 S 正方体表面积 S 圆 4126221 224.1（2）VV 半球 V 正方体 132 38 .416在球心的同侧有相距 9 cm 的两个平行截面，它们的面积分别为 49 cm2 与 400 cm2.试求球的表面积【答案】2500 cm 2.【解析】如图为球的轴截面，由球的截面性质知，AO 1BO 2，且 O1、O 2 分别为两截面圆的圆心，则OO1AO 1，OO 2BO 2. 学 . 设球的半径为 R.O 2B2=49， O 2B=7 cm.同理 O1A2=400，O 1A=20 cm，设 OO1=x cm，则 OO2=(x9) cm.
