1、专题十八 平抛运动（精讲）一、平抛运动1定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在重力作用下的运动。2性质：平抛运动是加速度为 g 的匀加速曲线运动，其运动轨迹是抛物线。3平抛运动的条件：（1） v00，沿水平方向；（2）只受重力作用。4研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。5基本规律（如图所示）：以抛出点为原点，水平方向（初速度 v0方向）为 x 轴，竖直向下方向为y 轴，建立平面直角坐标系，则：（1）水平方向：做匀速直线运动，速度 vx v0，位移 x v0t。（2）竖直方向：做自由落体运动，速度 vy gt，位移 y gt2。12（3）合速度： v
2、 ，方向与水平方向夹角为 ，则 tan 。v2x v2yvyvx gtv0合位移： s ，方向与水平方向的夹角为 ，tan 。x2 y2yx gt2v06平抛运动六个重要结论（1）飞行时间：由 t 知，时间取决于下落高度 h，与初速度 v0无关。2hg（2）水平射程： x v0t v0 ，即水平射程由初速度 v0和下落高度 h 共同决定，与其他因素无关。2hg（3）落地速度： v ，以 表示落地速度与 x 轴正方向间的夹角，有 tan v2x v2y v20 2gh ，所以落地速度只与初速度 v0和下落高度 h 有关。vyvx 2ghv0（4）做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反
3、向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示。（5）做平抛（或类平抛）运动的物体在任一时刻，设其速度方向与水平方向的夹角为 ，位移与水平方向的夹角为 ，则 tan 2tan 。如图。（6）平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持 vx=v0，竖直方向，加速度恒为 g，速度vy=gt，从抛出点看，每隔 t 时间的速度的矢量关系如图所示。这一矢量关系有两个特点：任意时刻 v 的速度水平分量均等于初速度 vo；任意相等时间间隔 t 内的速度改变量均竖直向下，且 v=vy=gt。7平抛运动的分解方法与技巧（1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度。（2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑
4、分解位移。（3）两种分解方法：沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动。【题 1】 （多选）对于平抛运动，下列说法正确的是A落地时间和落地时的速度只与抛出点的高度有关B平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动C做平抛运动的物体，在任何相等的时间内位移的增量都是相等的D平抛运动是加速度大小、方向不变的曲线运动【答案】BD【题 2】如图所示，某同学将一枚飞镖从高于靶心的位置水平投向竖直悬挂的靶盘，结果飞镖打在靶心的正下方。忽略飞镖运动过程中所受空 气阻力，在其他条件不变的情况下，为使飞镖命中靶心，他在下次投掷时可以A换用
5、质量稍大些的飞镖B适当增大投 飞镖的高度C到稍远些的地方投飞镖D适当减小投飞镖的初速度【答案】B 【解析】飞镖做的是平抛运动，飞镖打在靶心的正下方说明飞镖竖直方向的位移太大，根据平抛运动的规律 可得，水平方向上 x v0t，竖直方向上 h gt2，所以要想减小飞镖竖直方向的位移，在水平位移12不变的情况下，可以适当增大投飞镖的初速度来减小飞镖的运动时间，故 D 错误；初速度不变时，时间不变，适当增大投飞镖的高度，可以使飞镖命中靶心，飞镖的质量不影响平抛运动的规律，故 A 错误，B 正确；在稍远些地方投飞镖，则运动时间变长，下落的高度变大，不会击中靶心，故 C 错误。【题 3】 （多选）飞镖运动
6、于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为人们日常休闲的必备活动。一般打飞镖的靶上共标有 10 环，第 10 环的半径最小。现有一靶的第 10 环的半径为 1 cm，第 9 环的半径为2 cm以此类推，若靶的半径为 10 cm，在进行飞镖训练时，当人离靶的距离为 5 m，将飞镖对准第 10环中心以水平速度 v 投出， g10 m/s 2。则下列说法中正确的是A当 v50 m/s 时，飞镖将射中第 8 环线以内 B当 v50 m/s 时，飞镖将射中第 6 环线C若要击中第 10 环的线内，飞镖的速度 v 至少为 50 m/s2D若要击中靶子，飞镖的速度 v 至少为 25 m/s2【答案】BD二、四
7、种常见平抛运动的时间计算方法1对着斜面的平抛运动如图所示方法：分解速度 vx v0 vy gttan 可求得 tv0vy v0gt v0gtan 【题 4】如图所示，倾角为 37的斜面长 l1.9 m，在斜面底端正上方的 O 点将一小球以 v03 m/s的速度水平抛出，与此同时静止释放顶端的滑块，经过一段时间后小球恰好能够以垂直斜面的方向击中滑块。 （小球和滑块均可视为质点，重力加速度 g 取 10 m/s2，sin 370.6，cos 370.8） ，求：（1）抛出点 O 离斜面底端的高度；（2）滑块与斜面间的动摩擦因数 。【答案】 （1）1.7 m （2）0.125【解析】 （1）设小球击
8、中滑块时的速度为 v，竖直速度为 vy，由几何关系得 tan 37v0vy设小球下落的时间为 t，竖直位移为 y，水平位移为 x，由运动学规律得 vy gt， y gt2， x v0t12设抛出点到斜面最低点的距离为 h，由几何关系得 h y xtan 37由以上各式得 h1.7 m。（2）在时间 t 内，滑块的位移为 x，由几何关系得 x lxcos 37设滑块的加速度 为 a，由运动学公式得 x at212对滑块由牛顿第二定律得 mgsin 37 mg cos 37 ma 由以上各式得 0.125。2顺着斜面的平抛运动如图所示方法：分解位移 x v0t y gt212tan 可求得 tyx
9、 2v0tan g【题 5】如图所示，从倾角为 斜面足够长的顶点 A，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出 ，第一次初速度为 v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为 1，第二次初速度为 v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为 2，若 v2v1，试比较 1和 2的大小 A 1 2 B 12y1。所以 Q 点在 c 点的下方，也就是第三颗炸弹将落在 bc 之间，故 A 正确，B、C、D 错误。方法 4 利用重要推论求解平抛运动问题1问题简述：有些平抛运动问题按照常规的方法进行合成、分解、计算，虽然也能够解决问题，但是过程复杂，计算繁琐，如果选择平抛运动的一些重要推论则
10、问题会相对简便很多。2方法突破：（1）推论：做平抛运动的物体，任意时刻速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。推论：做平抛运动的物体在任一时刻或任一位置时，设其速度方向与水平方向的夹角为 ，位移与水平方向的夹角为 ，则 tan 2tan 。（2）本题的关键是理解箭头指向的含义箭头指向代表这一时刻速度的方向，而不是位移方向，本题若用基本方法求解需要列出 56 个方程，求解麻烦而且容易出错，联想到利用平抛运动的重要推论求解，避免了复杂的运算。【题 11】如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖甲与竖直墙壁成 53角，飞镖乙与竖直墙壁成 37角，两者相距为 d。假设飞镖
11、的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离为多少？（sin 370.6，cos 370.8）【答案】 L24d7代入数值得： L 。24d7方法 5 利用等效法求解类平抛运动问题（见后面的类平抛运动）四、平抛运动中相遇与临界问题1平抛运动中相遇问题抛体相遇问题要比运动学中的追及相遇问题复杂，因为它不再是一直线运动，通常是采用分解方法分别对两个运动方向独立分析，再根据时间相等进行解答。也可以巧取参考系，使问题更加简单。两条平抛运动轨迹的相交处是两物体可能相遇处，两物体要在此处相遇，必须同时到达此处。【题 12】如图所示， A、 B 两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间 t 在空中相遇。若两球的
12、抛出速度都变为原来的 2 倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为A t B t C D22 t2 t4【答案】C2平抛运动中的临界问题极限分解法在临界问题中的应用分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突现出来，找到产生临界的条件。【题 13】一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是 0.4 m，一小球以水平速度 v 飞出， g 取10 m/s2，欲打在第四台阶上，则 v 的取值范围是A m/st3t2 B t1 t1、 t2 t2、 t3 t3C t1 t3 t2 D t1t3t2。当平抛三小球时，小球 b 做平抛运动，竖直方向运动情况与
13、第一次相同，小球 a， c 在斜面上做类平抛运动，沿斜面向下方向的运动与第一次相同，所以 t1 t1， t2 t2， t3 t3，故选 A、B、C。【题 22】光滑水平面上，一个质量为 2 kg 的物体从静止开始运动，在前 5 s 受到一个沿正东方向、大小为 4 N 的水平恒力作用；从第 5 s 末开始改为正北方向、大小为 2 N 的水平恒力作用了 10 s，求物体在 15 s 内的位移和 15 s 末的速度大小及方向。【答案】135 m，方向为东偏北 角，满足 tan 10 m/s，方向为东偏北 4525 2【解析】如图所示，物体在前 5 s 内由坐标原点起向东沿 x 轴正方向做初速度为零的
14、匀加速直线运动，其加速度为ax m/s22 m/s 2F1m 42另一个是沿 y 轴正方向（正北方向）做初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 ay m/s21 F2m 22m/s2经 10 s 沿 y 轴正方向的位移 y ayt 1102 m50 m12 2 12沿 y 轴正方向的速度 vy ayt2110 m/s10 m/s设 15 s 末物体到达 Q 点，则 QO m135 m，方向为东偏北y2 x1 x2 2 502 25 100 2 角，满足 tan 2515 s 末的速度为 v1 m/s10 m/s tan 1v2x v2y 102 102 21010所以 45即方向为东偏北 45
15、角。八、体育运动中的平抛运动问题在体育运动中，像乒乓球、排球、网球等都有中间网及边界问题，要求球既能过网，又不出边界，某物理量（尤其是球速）往往要有一定的范围限制，在这类问题中，确定临界状态，画好临界轨迹，是解决问题的关键点。1乒乓球的平抛运动问题【题 23】一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L1和 L2，中间球网高度为 h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g。若乒乓球的发射速率 v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v 的最大取值
16、范围是A v L1 L12 g6h g6hB v L14 gh 4L12 L22 g6hC v L12 g6h 12 4L12 L22 g6hD v L14 gh 12 4L12 L22 g6h【答案】D2足球头球的平抛运动问题【题 24】如图所示为足球球门，球门宽为 L。一个球员在球门中心正前方距离球门 s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角（图中 P 点） 。球员顶球点的高度为 h。足球做平抛运动（足球可看成质点，忽略空气阻力） ，则A足球位移的大小 x L24 s2B足球初速度的大小 v0 g2h(L24 s2)C足球末速度的大小 v g2h(L24 s2) 4ghD足球初速度的方向
17、与球门线夹角的正切值 tan L2s【答案】B3网球的平抛运动问题【题 25】一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出。第一只球飞出时的初速度为 v1，落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的 A 点处。如图所示，第二只球飞出时的初速度为 v2，直接擦网而过，也落在 A 点处。设球与地面碰撞时没有能量损失，且不计空气阻力，求：（1）网球两次飞出时的初速度之比 v1 v2；（2）运动员击球点的高度 H 与网高 h 之比 H h。【答案】 （1）13 （2）43【解析】 （1）第一、二两球被击出后都做平抛运动，由平抛运动的规律可知，两球分别被击出至各自第一次落地的时间是相等
18、的。由题意知水平射程之比为： x1 x213，故平抛运动的初速度之比为 v1 v213。（2）第一只球落地后反弹做斜抛运动，根据运动对称性可知 DB 段和 OB 段是相同的平抛运动，则两球下落相同高度 H h 后水平距离 x1 x22 x1，根据公式 H gt12， H h gt22，12 12而 x1 v1t1， x1 v1t2， x2 v2t2，综合可得 v1t2 v2t22 v1t1， 故 t12 t2，即 H4（ H h） ，解得 H h43。4排球的平抛运动问题【题 26】如图所示，排球场总长为 18 m，设球网高度为 2 m，运动员站在网前 3 m 处正对球网跳起将球水平击出，取重力加速度 g10 m/s 2。（1）若击球高度为 2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；（2）当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？【答案】 （1）3 m/sv12 m/s （2） m10 23215若球恰好触网，则球在网上方运动的时间： t2 s s。2 h0 Hg 2 2.5 210 110得排球触网的临界击球速度值 v2 m/s3 m/s。x2t2 31/10 10要使排球既不触网又不越界，水平击球速度 v 的取值范围为：3 m/sv 12 m/s。10 2
